論數(shù)學(xué)題目難度的主觀性及對(duì)解題教學(xué)的啟示

張清仕

【摘要】題目的客觀難度與教師和學(xué)生對(duì)題目的難度體驗(yàn)并非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，不同知識(shí)背景和能力直接影響數(shù)學(xué)題目難度的體驗(yàn).題目難度實(shí)際上同時(shí)具有客觀性和主觀性兩種屬性，而一般難度評(píng)價(jià)模型中包含的大多是體現(xiàn)平均意義上的客觀因素，很少包含難度的主觀性因素.文章從認(rèn)識(shí)論的視角，把解題過程中主觀體驗(yàn)到的難度歸為四個(gè)可以相對(duì)識(shí)別的類型區(qū)間，教師和學(xué)生可以在相對(duì)一致的難度語境內(nèi)進(jìn)行對(duì)話，從而減少師生之間的溝通障礙和誤讀幾率，增強(qiáng)解題教學(xué)的效果.

【關(guān)鍵詞】題目難度，主觀體驗(yàn)，解題教學(xué)

引 言

數(shù)學(xué)題目的難度不僅決定了能否有效區(qū)分學(xué)生的不同能力，而且是數(shù)學(xué)教學(xué)效果評(píng)估中的一個(gè)重要參考因素.一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)題目的難度屬于一種客觀標(biāo)準(zhǔn).比如，對(duì)高考試題的難度分析已經(jīng)成為評(píng)價(jià)試卷質(zhì)量的重要方面.但是在實(shí)踐中，不同的人對(duì)數(shù)學(xué)題目難度的認(rèn)識(shí)卻有很大不同：數(shù)學(xué)教師感知一道數(shù)學(xué)題目難不難，主要通過學(xué)生關(guān)于該題的平均成績來判斷；而對(duì)單個(gè)學(xué)生而言，一道題目的難與易，做題所花時(shí)間長短很可能是其感知題目難度的一個(gè)主要指標(biāo).由于不同教師和學(xué)生或者同一個(gè)學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段對(duì)難度的認(rèn)識(shí)也有差異，所以我們一直在談?wù)摰臄?shù)學(xué)題目的難度可能并不只是一種客觀標(biāo)準(zhǔn)，也包含了個(gè)體對(duì)解題的主觀體驗(yàn).德國哲學(xué)家石里克認(rèn)為體驗(yàn)和認(rèn)知存在重大差別，對(duì)一個(gè)有著解題經(jīng)驗(yàn)的人來說，數(shù)學(xué)題目的難度大多屬于一種解題體驗(yàn)而非認(rèn)識(shí)，而對(duì)于沒有任何數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人來說，則很難真正體驗(yàn)難度，更無法認(rèn)識(shí)難度.正如波利亞所說：“我們更多的是靠‘感覺而非清楚的論證.”看似沒有任何異議的客觀性的“難度”概念已經(jīng)成為了一個(gè)認(rèn)識(shí)論意義上的教學(xué)理論和實(shí)踐問題.因此，文章主要分析討論數(shù)學(xué)題目難度的認(rèn)識(shí)論本質(zhì)及對(duì)解題教學(xué)的影響問題，即如何認(rèn)識(shí)解題過程中體現(xiàn)的主觀性難度？如何看待難度客觀性和主觀性之間的關(guān)系？在教學(xué)實(shí)踐中教師能否通過認(rèn)識(shí)難度的主觀性來改善解題教學(xué)的效果？

一、何為數(shù)學(xué)題目的難度

為了限定數(shù)學(xué)題目的范圍，文章對(duì)數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)題目進(jìn)行了區(qū)分：數(shù)學(xué)問題既包括已經(jīng)解決的，又包括尚未解決的.數(shù)學(xué)題目特指為了考查人們數(shù)學(xué)能力而專門設(shè)置的數(shù)學(xué)問題，并且這些數(shù)學(xué)問題已經(jīng)有標(biāo)準(zhǔn)答案.數(shù)學(xué)題目都是已經(jīng)解決的.文中所說的難度是指解數(shù)學(xué)題目的難度.

難度的完整表述為難易程度，一件事情的難度，用經(jīng)濟(jì)學(xué)術(shù)語來解釋的話，是指完成一件事情需要付出的成本，當(dāng)付出的成本越大，意味著難度也越大.解一道數(shù)學(xué)題需要付出哪些成本呢？這需要分兩種情況來看，一種是學(xué)生最終給出了正確答案，另外一種是學(xué)生未能給出正確答案.從解題時(shí)間看，如果完成了解題過程，那么完成解題的時(shí)間就是最直接的、可度量的成本；如果未能完成解題，那么時(shí)間就無法成為難度的度量標(biāo)準(zhǔn).由于解題過程是一個(gè)十分復(fù)雜的認(rèn)知和推理過程，無法完成解題的原因可能出現(xiàn)在解題過程中的任一階段.

比如，閱讀是解題的第一個(gè)步驟，以審題階段的讀題為例.按照羅增儒的劃分，解題過程可分為審題、思路探求、書寫解答三個(gè)階段，而僅審題階段又可分為四個(gè)步驟：①讀題—弄清字面含義；②理解—弄清數(shù)學(xué)含義③表征—識(shí)別題目類型；④深化—接近深層結(jié)構(gòu)，而未能完成解題的原因可能出現(xiàn)在任意階段.假設(shè)試卷上有一道字?jǐn)?shù)超過500字的應(yīng)用題，那么學(xué)生的第一個(gè)任務(wù)就是用最快的時(shí)間獲取題目的字面含義，也就是弄清題目在講一個(gè)什么樣的故事.這種情況下，假設(shè)學(xué)生都具有閱讀字面意義的基本能力，即假設(shè)每個(gè)人都有一個(gè)閱讀速度v，無論v值的大小，都能在一定時(shí)間內(nèi)完成.因此，獲取時(shí)間就可以成為度量題目閱讀難度的標(biāo)準(zhǔn).但是對(duì)于審題的第二個(gè)步驟—理解，就很難用時(shí)間來衡量了.

例1 已知x2∈{1，0，x}，求x.

這是一道基礎(chǔ)題，讀懂“字面含義”很容易，關(guān)鍵是從“符號(hào)信息”x2∈{1，0，x}中理解“數(shù)學(xué)含義”.這種理解的基礎(chǔ)是對(duì)集合概念的掌握程度，對(duì)于完全沒有學(xué)習(xí)或者理解集合概念的學(xué)生來說，再長時(shí)間也無法跨越這個(gè)障礙.對(duì)于已經(jīng)深刻理解集合概念的學(xué)生來說，理解時(shí)間是瞬時(shí)的.由此，定義理解速度來區(qū)分難度就變得非常困難，這種情況無法用時(shí)間來衡量題目的難易程度，只有“理解與不理解”的二元關(guān)系.當(dāng)然，這并不意味著這種難度是無法衡量的，我們可以從題目本身出發(fā)，通過與其他題目中的理解階段進(jìn)行對(duì)比，對(duì)于同一個(gè)學(xué)生，能夠準(zhǔn)確寫出理解含義的形式，則該題目審題過程中的理解較為容易，反之難度較大.

對(duì)上述兩個(gè)階段難度的分析可以看出，數(shù)學(xué)題目的難度既包含可用時(shí)間尺度度量的難度，也包含不能用時(shí)間尺度度量的難度.這意味著，對(duì)于一道完整的題目而言，直接準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)難度是非常困難的，需要通過類似計(jì)算股市指數(shù)一樣的計(jì)算方式，才可能將這兩種不同性質(zhì)的難度整合到一起.

比如，鮑建生等人認(rèn)為數(shù)學(xué)題難度有多個(gè)因素，主要包括探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)量5個(gè)因素，這些因素是題目本身蘊(yùn)含的客觀表現(xiàn)，但是這些因素本身并不能完全反映數(shù)學(xué)題目的難度.比如，背景和知識(shí)量這兩個(gè)因素具有相對(duì)性，不同的學(xué)生或者同一學(xué)生的背景和知識(shí)量并非恒定不變的.對(duì)于知識(shí)背景豐富的學(xué)生，題目所體現(xiàn)的難度可能相對(duì)較低，反之對(duì)于知識(shí)背景匱乏的學(xué)生，題目所含的背景可能更加復(fù)雜，難度也更大.也就是說，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)題目難度的估計(jì)是一個(gè)非常復(fù)雜的過程，僅僅靠分?jǐn)?shù)，得到的只是一個(gè)題目難度的總體結(jié)果，且這個(gè)結(jié)果只能作為分析學(xué)生整體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的依據(jù).而一般難度評(píng)價(jià)模型中的因素都只是一種平均意義的客觀因素，這些難度評(píng)估方法難以反映難度的主觀性，也很難作為教學(xué)實(shí)踐中提高具體某一項(xiàng)能力的精確指針.

關(guān)于難度，波利亞認(rèn)為，第一，題目的難度隨著研究領(lǐng)域的擴(kuò)大而增加；第二，題目的難度會(huì)隨著我們尚未掌握，但在解題中又必須用到的條件的數(shù)目增大而增加；第三，題目的難度通過考試進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.由于波利亞沒有區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)題目，因此第一點(diǎn)對(duì)于教學(xué)的意義不大；對(duì)于第二點(diǎn)，這就如同讓一個(gè)只懂加法的學(xué)生去做乘法題目一樣，不能為我們提供更多有價(jià)值的知識(shí).但是他指出前兩種方式是預(yù)先判斷，而具有統(tǒng)計(jì)學(xué)特征的考試則屬于預(yù)后判斷，這一點(diǎn)卻十分重要，因?yàn)轭A(yù)先判斷與主體對(duì)難度的體驗(yàn)方式直接相關(guān).從表征難度的方式看，難度主觀的體驗(yàn)主要有三種：

第一，學(xué)生的主觀表述.難度最直接的表現(xiàn)是學(xué)生的做題感受，當(dāng)一個(gè)學(xué)生完成一道數(shù)學(xué)題目，無論是做對(duì)了還是做錯(cuò)了，這種做題的難度感受很多時(shí)候只是一種直觀的、難以言狀的感覺.這種難度體驗(yàn)的最大問題在于表述的模糊性.當(dāng)教師向?qū)W生提問時(shí)，學(xué)生大多數(shù)只能說出一些零散的模糊感受，比如，不太懂題意或者不知道從哪里著手等.由于表述的準(zhǔn)確與否取決于學(xué)生的知識(shí)背景、表達(dá)能力和理解能力等一系列因素，需要教師引導(dǎo)來提高這種表述的準(zhǔn)確性.這點(diǎn)非常類似于病人找醫(yī)生看病的情況，當(dāng)病人某個(gè)部位疼痛時(shí)，醫(yī)生往往會(huì)引導(dǎo)式的發(fā)問，疼痛是壓痛、刺痛、鎮(zhèn)痛或者其他感受等.因此，學(xué)生根據(jù)自己解題過程中體驗(yàn)感受來表述時(shí)，需要有教師的引導(dǎo)發(fā)問，特別是在學(xué)生未能正確完成題目時(shí)更為重要.

第二，對(duì)學(xué)生書寫過程的分析.學(xué)生的解題過程直接反應(yīng)其解題的思維過程，我們從學(xué)生的解題書寫過程可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維變化路徑.這一點(diǎn)在幾何證明過程中體現(xiàn)的最為明顯.幾何證明的書寫過程是學(xué)生思路演進(jìn)的過程，通過分析可以獲取學(xué)生在哪個(gè)步驟出現(xiàn)了停頓，在哪個(gè)節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)了邏輯斷裂，這樣就可以分析題目難度對(duì)學(xué)生的影響.與分析學(xué)生的主觀表述相比，對(duì)書寫過程分析的客觀性和可靠性更強(qiáng)，更有利于教師掌握學(xué)生的真實(shí)情況.

第三，對(duì)題目結(jié)構(gòu)本身的分析.題目文本本身也是一個(gè)會(huì)說話的主體.在設(shè)計(jì)題目時(shí)，難度一定是出題者要考慮的重要因素.一般而言，出題者通過對(duì)完整命題的論證過程進(jìn)行分析（劃定論證區(qū)域）、切割（對(duì)特定區(qū)域?qū)嵤┣懈睿?、重組（確定哪些是條件、哪些是所求），最后形成一道數(shù)學(xué)題目.當(dāng)切割的條件越多或者切割的越深時(shí)，題目的難度也就越大.因此，通過分析題目本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，推測(cè)出題者切割和重組的方式，也可以確定題目的難度.

二、題目難度的主觀性認(rèn)識(shí)

通常情況下，與數(shù)學(xué)題目相關(guān)的主體類型有出題者、學(xué)生和教師（知道答案，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)判的人），其中最廣泛的關(guān)系是學(xué)生和教師.不同的知識(shí)背景和經(jīng)驗(yàn)，造成了學(xué)生和教師二者對(duì)難度體驗(yàn)的不同認(rèn)知，而題目難度的認(rèn)識(shí)主觀性只能存在于二者認(rèn)知的一致性區(qū)域內(nèi)，而要找出這種一致性，必須從認(rèn)識(shí)論的層面去分析.當(dāng)我們思考一個(gè)問題時(shí)，首先必須對(duì)問題進(jìn)行準(zhǔn)確理解，其次選擇思考分析問題的路徑，對(duì)思考對(duì)象進(jìn)行推理或者計(jì)算，最后得出結(jié)論.

如圖1，在解題的整個(gè)思考分析過程中，難度可能出現(xiàn)在理解問題、選擇徑路、推理計(jì)算、得出結(jié)論四個(gè)認(rèn)識(shí)階段.無論是學(xué)生還是教師，當(dāng)我們談?wù)摰诫y度時(shí)，在這四種難度認(rèn)識(shí)分類的框架下進(jìn)行討論，會(huì)很快形成較為一致的認(rèn)知感受.

以選擇路徑為例，其難度可進(jìn)一步細(xì)分為：無選擇型和不確定選擇型兩種.無選擇就是我們通常所說的題目不知道如何下手，不確定選擇就是知道多種處理方法，但不知道該用那種方法.下面通過一組例題加以詳細(xì)說明：

例2的選擇路徑有3條，而例3和例4的選擇路徑只有1條.如果學(xué)生一種方法都不知道，那么難度就屬于無選擇型；如果學(xué)生知道三種方法，但不知道例3、例4該用哪種方法，那么就屬于不確定選擇型難度.

從上述的例子中可以看出，這種選擇困難更多地表現(xiàn)為一種難題體驗(yàn)，很難歸為現(xiàn)有難度評(píng)價(jià)模型中的某個(gè)類型指標(biāo).對(duì)于學(xué)生而言，在掌握了例2中的方法后，不一定能成功解決例3和例4的題目，由此學(xué)生頭腦中會(huì)形成一種模糊的難度體驗(yàn).相反，從教師的角度看，例3和例4的解決方法已然在例2中有所體現(xiàn)，那么學(xué)生解決例3和例4時(shí)遇到的困難可能主要表現(xiàn)為計(jì)算能力，進(jìn)而忽視了認(rèn)識(shí)過程中“路徑選擇”所帶來的困難.對(duì)于學(xué)生和教師而言，上述題目的難度都可以分為這兩種類型，而教師和學(xué)生通過區(qū)別和認(rèn)識(shí)這兩種類型就能精準(zhǔn)對(duì)接學(xué)生需求與教學(xué)目標(biāo).

因此，無論什么類型的難度，當(dāng)我們把主觀體驗(yàn)的難度分別歸為這四個(gè)類型中的一個(gè)類型，那么這些類型實(shí)質(zhì)上可以作為相對(duì)識(shí)別題目難度主觀性的置信區(qū)間，教師和學(xué)生至少可以在相對(duì)一致的語境區(qū)間內(nèi)進(jìn)行對(duì)話，這就大大減少了師生之間的溝通障礙和誤讀幾率，從而提升解題教學(xué)的效果.

三、難度主觀性對(duì)解題教學(xué)的啟示

（一）對(duì)數(shù)學(xué)題目難度的不一致性認(rèn)識(shí)是影響解題教學(xué)效果的重要因素

很多情況下，教師和學(xué)生對(duì)難度認(rèn)識(shí)存在的主觀性差異，是造成教學(xué)效果不佳的原因之一.學(xué)生自身對(duì)題目難度的認(rèn)識(shí)存在先天困難（難度表述的模糊性），同時(shí)教師對(duì)難度的認(rèn)識(shí)與學(xué)生往往又存在顯著的差異，那么教師在幫助學(xué)生跨越難度時(shí)，往往會(huì)偏離二者的交匯點(diǎn).當(dāng)教師和學(xué)生的難度認(rèn)知一致性越大，教師和學(xué)生在解題教學(xué)過程中就可以形成一種同步效應(yīng)，從而改善解題教學(xué)的效果.

（二）對(duì)題目難度的深度分析應(yīng)成為解題教學(xué)的重要準(zhǔn)備環(huán)節(jié)

教師有時(shí)候也不能正確認(rèn)識(shí)難度.事實(shí)上，具有可操作性的解題辦法的題目，往往是較為容易的，難度集中在判斷題目屬于哪一類，而分類的依據(jù)也是可操作性的，二者本質(zhì)上是一致的.假如學(xué)生不知道操作的程序，就會(huì)覺得很難，而這種難度是很容易跨越的.題目的難度往往表現(xiàn)為兩個(gè)方面：一種是沒有固定模式的題目，比如，較為困難的幾何證明題；另外一種是方法太多，不知道如何運(yùn)用這些方法，比如，求函數(shù)值域時(shí)需要用到的各種方法.因此，教師在研究題目的難度時(shí)，應(yīng)盡量從認(rèn)識(shí)論的角度出發(fā)，按照?qǐng)D1所示的階段對(duì)難度進(jìn)行歸類，以期在課堂上能夠直接擊中學(xué)生產(chǎn)生困難的要害，然后在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行細(xì)致的講解分析.

（三）通過精確引導(dǎo)使學(xué)生跨越難度是解題教學(xué)的重要目標(biāo)

教師在教學(xué)提問時(shí)，往往太過籠統(tǒng).比如，教師經(jīng)常問：“這道題難嗎？”這個(gè)發(fā)問應(yīng)該變?yōu)椤霸诮膺@道題時(shí)，哪個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題？屬于何種問題？”通過精確提問，引導(dǎo)學(xué)生分析自己所處的解題環(huán)境，進(jìn)而使學(xué)生明白如何突破這個(gè)困境.要想達(dá)到精確提問，教師不僅需要對(duì)題目本身進(jìn)行剖析，而且重要的是對(duì)解題的主觀認(rèn)識(shí)路徑（不是解題本身的路徑，而是圖1中的一般性路徑）進(jìn)行分析.教師要對(duì)解題過程和學(xué)生知識(shí)能力進(jìn)行比較，確定學(xué)生無法克服的難度在哪里，這樣才能取得事半功倍的效果.

對(duì)數(shù)學(xué)題目難度的認(rèn)識(shí)論分析，意指不同主體對(duì)數(shù)學(xué)題目難度的一種認(rèn)識(shí)，分析難度在不同認(rèn)知主體中的認(rèn)識(shí)差異以及可能存在一致的領(lǐng)域，從而確定難度的主觀性.一個(gè)題目包含的不同解題方法是客觀的，但如何掌握和理解這些解題方法卻體現(xiàn)了主觀因素.通過研究數(shù)學(xué)題目難度的主觀性，可以使得教師和學(xué)生能夠更好地度量、理解和控制難度，最終達(dá)到更好的教學(xué)效果.

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