證明圓中線段相等的幾個途徑

孫鴿林

圓的知識是平面幾何中的重要內(nèi)容.它與平行線、等腰三角形、相似三角形、特殊四邊形的知識有著密切的聯(lián)系.因此，證明圓中線段相等的方法靈活多樣，而且很復(fù)雜.對此，筆者歸納了如下幾種證明方法，以期對同學(xué)們解題有所幫助.

一、利用“等角對等邊”

等角對等邊是指在同一三角形中，如果兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.?? 它是判定等腰三角形的重要依據(jù)，也是證明線段相等的重要方法.在求證圓中線段相等問題時，當(dāng)所要證明的兩條線段是同一個三角形的兩邊，同學(xué)們可以利用“等角對等邊”的性質(zhì)，證得兩邊所對的角相等，這樣就能證得這兩條線段相等.

例 1? 如圖 1，在 Rt△MNP 中，∠MPN = 90° ， 以 MP 為直徑的⊙O 交 MN 于點 Q，過點Q 作⊙O 的切線RS 交NP 于點 S.求證：NS = QS.

分析

證明

評注：利用“等角對等邊”證明圓中線段相等，關(guān)鍵在于證明圓中同一個三角形的兩個角相等，而證明兩角相等則可以從同位角、內(nèi)錯角相等，以及全等三角形等方面予以考慮.

二、利用“全等三角形對應(yīng)邊相等”

我們都知道，全等三角形的對應(yīng)邊相等.在證明圓中線段相等時，若圓中所要證明的線段不在同一個三角形中，此時同學(xué)們要注意思考圓中待證的兩條線段所在的三角形是否全等，然后借助兩個三角形全等，得出它們的對應(yīng)邊相等，即所證的目標線段相等.

例2如圖2，在⊙O 中，P、Q 分別是半徑 OM、ON 上的點，且 MP =NQ，點 R 為弧 MN 的中點，連接 RP、RQ.求證：RP =RQ.

分析：

證明：

評注：利用“全等三角形對應(yīng)邊相等”是證明圓中線段相等的一種有效方法.它的關(guān)鍵點是在圓中尋找或構(gòu)造全等三角形，再利用“全等三角形對應(yīng)邊相等”這一性質(zhì)證明線段相等.

三、利用“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”

由圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理可知，在同圓或等圓中，倘若兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量是相等的，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也是相等的.因此，在求證圓中線段相等時，若題目涉及圓心角、弧、弦、弦心距等時，同學(xué)們要注意結(jié)合已知條件，巧用圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系定理及推論來解答問題.

例3如圖3所示，MN 是☉O 的直徑， MP 為弦，過弧 MP 的中點 Q 作 QR ⊥ MN 于點 S.求證：QR =MP.

分析：根據(jù)題意和圖形，很容易看出 QR、MP 是圓中的兩條弦，所以要證明 QR =MP，可以從圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系入手.

證明：

評注：利用“圓心角、弧、弦、弦心距關(guān)系定理及推論”是證明圓中線段相等的常用方法之一.如果所證明的相等線段是弦、弦心距、弓形高中的一種，就可以通過證明其他的量相等，從而證得所需要的結(jié)論.