深度學(xué)習(xí)視域下數(shù)學(xué)教材內(nèi)容整合的實(shí)踐路徑

摘要：學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)整合是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展高階思維的重要途徑。教師可以從教材的內(nèi)容橫、縱向整合，教材內(nèi)容與教學(xué)資源的整合，跨學(xué)科內(nèi)容的整合入手，探索深度學(xué)習(xí)視域下數(shù)學(xué)教材內(nèi)容整合的具體實(shí)踐路徑。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)教材內(nèi)容；整合

深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)整體學(xué)習(xí)，以整合的知識為內(nèi)容，關(guān)注學(xué)習(xí)過程中的多維表征。深度學(xué)習(xí)視域下的課堂變革，需要教師對學(xué)科、學(xué)生、教學(xué)有全新的、正確的理解，需要教師具備整合觀和整體思想。學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)整合是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展高階思維的重要途徑。筆者積極嘗試對數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)整合，生成學(xué)習(xí)主題，并以問題為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的完整研究過程。

一、教材內(nèi)容的橫向和縱向整合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出，數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。教師是教材的理解者、參與者、實(shí)踐者，在組織教學(xué)時， 應(yīng)依據(jù)新課標(biāo)的要求和學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)及認(rèn)知規(guī)律，按照數(shù)學(xué)學(xué)科的知識特點(diǎn)和體系特征，對既定的教材內(nèi)容進(jìn)行適度的整合與重組，充分發(fā)揮教材內(nèi)容的價值，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

（一）教材內(nèi)容的橫向整合

橫向整合是一種基于結(jié)構(gòu)、基于關(guān)聯(lián)的整合，即將同一個結(jié)構(gòu)單元或者是不同單元但結(jié)構(gòu)、知識點(diǎn)類同的內(nèi)容通過優(yōu)化、重組、統(tǒng)整、融合，生成更有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的主題資源。

例如，北師大版數(shù)學(xué)教材四年級上冊“生活中的負(fù)數(shù)”單元，由于學(xué)生對負(fù)數(shù)不僅不陌生，而且有著較豐富的生活經(jīng)驗(yàn)積累，并且這兩課時的教材內(nèi)容關(guān)聯(lián)性非常強(qiáng)，所以教師可以將教材內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)整合，設(shè)計(jì)富有層次的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷深入認(rèn)識正負(fù)數(shù)的過程。首先，教師請學(xué)生說說自己對于正負(fù)數(shù)已經(jīng)有哪些認(rèn)識，并隨機(jī)在黑板上寫出了一些數(shù)，請學(xué)生來分類，激活學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。其次，教師以-2為例，請學(xué)生結(jié)合自己看到的例子，用喜歡的方式在紙上表示出它的意義（可以畫圖、列式、寫話）。教師選取并呈現(xiàn)幾位學(xué)生的思維過程，自然而然地借助典型實(shí)例通過直觀的板書將+2、-2這兩種意義相反的量加以區(qū)分。同時，教師將教材中溫度計(jì)的情境巧妙融入學(xué)生所舉的實(shí)例中，借助溫度計(jì)這個有效的工具，以對0攝氏度的解讀來凸顯0的作用以及正數(shù)、負(fù)數(shù)分別表示零上和零下溫度的含義，使學(xué)生對正負(fù)數(shù)意義的理解更進(jìn)了一步。最后，教師組織一個排序的活動，將黑板上原本提供給學(xué)生按正、負(fù)數(shù)分類的數(shù)依照從小到大的順序排列。學(xué)生在操作中生成了一個數(shù)軸，觀察數(shù)軸能夠看到正數(shù)和負(fù)數(shù)的排列方向、大小關(guān)系，正數(shù)和負(fù)數(shù)以“0”為分界等重要信息，拓寬了已知的數(shù)的領(lǐng)域的外延。

（二）教材內(nèi)容的縱向整合

縱向整合是指教師沿著知識發(fā)展的內(nèi)在脈絡(luò)，將不同學(xué)段的某一領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識以縱深的串聯(lián)形式重組，使學(xué)生從更寬闊的視野認(rèn)識和建構(gòu)知識體系，洞察數(shù)學(xué)知識的發(fā)展生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)。

例如，教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)教材四年級上冊“用數(shù)對確定位置”一課時，教師可將本節(jié)課的知識放在“確定位置”整體知識體系中。學(xué)生在低年級時已學(xué)過用一個數(shù)表示一維直線上某個物體的位置，如電影院排隊(duì)買票，從前往后數(shù)，淘氣是第3個。教師可利用學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)“找找我的好朋友”游戲情境，先請學(xué)生寫一寫自己最好的一個朋友在教室的位置，然后全班開展猜謎活動。學(xué)生對自己好朋友位置的描述彰顯了不同的思維水平，教師將學(xué)生的幾種典型原始思維一一呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在猜謎的過程中發(fā)現(xiàn)：僅憑一個數(shù)（即一個方位詞）不能準(zhǔn)確判斷出好朋友的位置，沒有說清數(shù)的方向，就會有不同的可能；觀察的角度不同也會帶來爭議；從而引發(fā)學(xué)生用一致的標(biāo)準(zhǔn)表示位置的需要，自然而然地生發(fā)出學(xué)習(xí)新的確定位置規(guī)則的需求。學(xué)生通過自學(xué)，了解到數(shù)學(xué)中對于“行”和“列”的規(guī)定，明確了需要用一對數(shù)（數(shù)對）才能表示出二維平面上某個物體的位置，如在教室里，淘氣坐在第2列第4行，用數(shù)對表示是（2，4）。教師請學(xué)生用數(shù)對重新表示自己好朋友的位置，再請學(xué)生來猜。這樣前后兩次游戲活動的對比，使學(xué)生進(jìn)一步感受到用數(shù)對確定位置的意義和價值。此時，教師并沒有停止引導(dǎo)學(xué)生探索的腳步，而是借助多媒體課件，引發(fā)學(xué)生思考，“在平面上，我們是用一對數(shù)，也就是數(shù)對表示某個物體的位置，如果平面再高一些，變成一個立體圖形，還能用數(shù)對表示某個物體的位置嗎？”學(xué)生紛紛提出“三維空間中物體的位置該如何表示”的猜想，此時恰當(dāng)?shù)牧舭捉o了學(xué)生更多探索的時空，更多自由的體驗(yàn)。這樣循著“點(diǎn)、線、面、體”的發(fā)展脈絡(luò)將“確定位置”的知識進(jìn)行縱向整合，便于學(xué)生從更寬闊的視野認(rèn)識和理解知識體系，使學(xué)生的思維得到跨越性的發(fā)展。

二、教材內(nèi)容與教學(xué)資源的整合

數(shù)學(xué)教材是主要的數(shù)學(xué)教材資源，除此以外，充滿趣味的數(shù)學(xué)繪本、操作探究的《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》等都是具有整合價值的優(yōu)質(zhì)資源。

（一）教材內(nèi)容與數(shù)學(xué)繪本的整合

數(shù)學(xué)繪本將數(shù)學(xué)知識巧妙地蘊(yùn)藏在生動有趣的故事情節(jié)中，圖文并茂、貼近兒童，尤其適合中低年級的數(shù)學(xué)教學(xué)。教師將數(shù)學(xué)繪本與現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教材內(nèi)容巧妙融合在一起，能順應(yīng)小學(xué)低中段兒童的身心發(fā)展特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，營造生動活潑的課堂氛圍。

例如，北師大版數(shù)學(xué)教材二年級上冊“數(shù)學(xué)好玩”單元中“尋找身體上的數(shù)學(xué)秘密”一課就有利用身體上的“尺子”估測物體長度的探究活動。測量概念和測量工具是數(shù)學(xué)中非常重要的知識點(diǎn)，在日常生活中，學(xué)生經(jīng)常會遇到突然要測量什么東西，手邊沒有尺子的情況。這時候，學(xué)生用手掌、腳印、步子、胳膊等來測量就是非常實(shí)用的方法。教師可將教材中的情境與數(shù)學(xué)繪本《我家漂亮的尺子》相融合，引導(dǎo)學(xué)生閱讀繪本。繪本的主人公是一個活潑可愛的小女孩，媽媽為她做連衣裙，可是怎么也找不到尺子，于是媽媽不用尺子，用了“媽媽手尺”來量，進(jìn)而介紹了“一拃”的概念。小女孩嘗試像媽媽一樣，也用手尺來量東西，電話機(jī)兩拃、椅背三拃，這時她發(fā)現(xiàn)用拃來量沙發(fā)長度太費(fèi)勁，便改用腳來測量，沙發(fā)的長度是10個腳印，于是“一腳”的概念也知道了。到院子里測量，發(fā)現(xiàn)院子太大，用腳來量太費(fèi)勁，小女孩又把兩腿分開，用步子來量了，一前一后兩個腳印的距離為“一步”。小女孩還想測測庭院中的大樹，大樹有多粗呢？用兩只胳膊緊緊抱住的長度為標(biāo)準(zhǔn)測量就行了，兩只手臂合圍的量叫作“抱”；樹干有多高呢？以兩只手臂伸展開的長度為標(biāo)準(zhǔn)測量就行了，兩只手臂左右平伸時，從一只手的中指端到另一只手的中指端的長度叫作“庹”。通過閱讀繪本，學(xué)生不僅了解了身體尺的基本概念，而且激發(fā)起濃厚的測量興趣，他們像書中的小女孩那樣用自己的身體尺測量周圍的事物，并能根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)摹吧眢w尺”，課桌長6拃，寬4拃；教室長17步，寬12步……就在這樣自主體驗(yàn)的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生深切地體會到自己身體的神奇之處及具備的數(shù)學(xué)價值，了解了數(shù)學(xué)對人們?nèi)粘Ｉ顚?shí)踐的貢獻(xiàn)。

（二）教材內(nèi)容與《實(shí)驗(yàn)手冊》的整合

《實(shí)驗(yàn)手冊》基于數(shù)學(xué)教材，提煉出適合學(xué)生操作探究的實(shí)驗(yàn)主題，通過動手動腦相結(jié)合的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，豐富學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷，在數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”與“再發(fā)現(xiàn)”的過程中，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)，親近數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)?！秾?shí)驗(yàn)手冊》的常態(tài)化使用，最有效的方法就是尋找與數(shù)學(xué)教材的結(jié)合點(diǎn)，將其作為片段融入數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容設(shè)計(jì)，彌補(bǔ)教材的思維缺失。

例如，北師大版數(shù)學(xué)教材六年級上冊“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”一課，課前經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生在生活中或多或少都接觸過百分?jǐn)?shù)，知道百分?jǐn)?shù)用途十分廣泛，衣食住行各個領(lǐng)域都有百分?jǐn)?shù)的身影。雖然學(xué)生對百分?jǐn)?shù)并不陌生，但對百分?jǐn)?shù)的意義并不清晰，因此這節(jié)課上探究百分?jǐn)?shù)的意義是教學(xué)重點(diǎn)。為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，教師借助多媒體課件將原有的教材情境調(diào)整為學(xué)生更感興趣的“姚明投籃”的情境。課件出示姚明三場比賽投籃情況的統(tǒng)計(jì)表，請學(xué)生比較姚明哪場比賽中的表現(xiàn)最優(yōu)秀，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)原有知識結(jié)構(gòu)中的各種比較方案行不通后，逐漸思考出更趨理想的比較方案，即比較每場比賽投籃的命中率（投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾）。學(xué)生獨(dú)立試算投籃命中率，再通分成分母是100的分?jǐn)?shù)，從而自然引出了百分?jǐn)?shù)，并嘗試概括出了姚明三場比賽投中的比率“64%、65%和60%”這三個百分?jǐn)?shù)表示的具體意義，即表示投中次數(shù)是投籃次數(shù)的百分之幾。隨后，教師將六年級上冊《實(shí)驗(yàn)手冊》中“奇妙百分率”的實(shí)驗(yàn)情境融入教學(xué)環(huán)節(jié)，“小明和小華進(jìn)行投籃比賽，每人都投40個球。比賽經(jīng)過了兩個階段，第一階段小明投籃的命中率為60%，小華投籃的命中率為50%；第二階段小明投籃的命中率為92%，小華投籃的命中率為90.625%?！闭垖W(xué)生預(yù)測誰投籃的命中率高，并說說預(yù)測的理由。大多數(shù)學(xué)生利用自己的直覺進(jìn)行判斷，認(rèn)為“小明兩階段投籃的命中率都比小華高，所以小明最終的投籃命中率一定比小華高”。接著，教師課件出示小明和小華兩階段投籃比賽的相關(guān)數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算與驗(yàn)證，將兩階段合起來，分別求出小明和小華投籃的總命中率。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然小華兩階段投籃的命中率都比小明低，但是總的投籃命中率卻超過了小明。學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，不僅進(jìn)一步理解了百分?jǐn)?shù)的含義，增強(qiáng)了數(shù)據(jù)分析觀念，而且體會到直覺有時并不可靠，還需要通過實(shí)際驗(yàn)證來加以證明，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)實(shí)證的意識。只有將直覺思維與邏輯思維結(jié)合起來，才能更好地促進(jìn)思維能力的發(fā)展。

三、跨學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的整合

跨學(xué)科整合，即多元學(xué)科整合。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，探尋數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的知識聯(lián)系點(diǎn)并充分挖掘利用，將相關(guān)學(xué)科內(nèi)容有機(jī)整合在一起，組成新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，能實(shí)現(xiàn)多維度的學(xué)習(xí)目標(biāo)，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)。

（一）數(shù)學(xué)教材內(nèi)容與科學(xué)學(xué)科的整合

從學(xué)科視角出發(fā)，數(shù)學(xué)與科學(xué)具有許多本質(zhì)聯(lián)系。數(shù)學(xué)和科學(xué)都旨在發(fā)現(xiàn)客觀世界的模式和關(guān)系；數(shù)學(xué)和科學(xué)都與真實(shí)的生活情境相聯(lián)系，需要數(shù)量推理。從課程的視角出發(fā)，兩者具有同樣的活動，如科學(xué)探究和實(shí)際問題解決等；兩者也具有許多重疊的內(nèi)容，包括平衡、守恒、恒等、測量、模型、模式、可能性、反射、折射、度量、對稱、系統(tǒng)、變量等。兩個學(xué)科所具有的共同之處越多，對學(xué)生而言越有意義，整合也越有效。根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，數(shù)學(xué)與科學(xué)教材內(nèi)容的整合，可打破以往涇渭分明的學(xué)科間的界限，將統(tǒng)一的主題、問題、概念、基本學(xué)習(xí)內(nèi)容加以融合，使學(xué)生在此過程中建立系統(tǒng)的思維方式，體驗(yàn)知識之間的聯(lián)系。

例如，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課“怎樣滾得遠(yuǎn)”就可以和科學(xué)中“斜面的作用”進(jìn)行整合。學(xué)生都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，搬運(yùn)油桶時，搭一個斜坡會省時省力很多。斜面工具是最簡單的機(jī)械之一，在日常生活和生產(chǎn)中，人們常常利用斜面來運(yùn)輸物體，以達(dá)到省力的目的。那么，怎樣的情況下才能最大限度地發(fā)揮斜面的作用呢？學(xué)生首先自主提出想要研究的問題：斜坡與地面成什么角度時，物體會滾得遠(yuǎn)一些？圍繞問題教師引導(dǎo)學(xué)生分組進(jìn)行科學(xué)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說話。首先，用木板搭一個斜坡，使斜坡與地面分別呈30°，45°和60°的角度，然后將圓柱形物體放在斜坡的頂上，輕輕松開手，讓物體自動往下滾，等物體停止?jié)L動后，量出它在地面上滾動的距離，每種角度都反復(fù)做三次測量，并記錄每次滾動的距離，求出平均數(shù)，每個小組還可以自主選擇一個其他的角度再來試試。通過比較實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，斜坡與地面角度不同，物體滾動的距離也不同；一開始斜坡與地面的角度變大，物體滾動的距離也就越遠(yuǎn)，但當(dāng)角度呈60°時，物體滾動的距離反而變短了，角度再大一點(diǎn)，物體滾動的距離更短；當(dāng)斜坡與地面呈45度角時物體滾動得最遠(yuǎn)。學(xué)生聚焦問題研究，經(jīng)歷利用科學(xué)實(shí)驗(yàn)收集、分析數(shù)據(jù)，獲得結(jié)論的實(shí)踐探究過程，體會到實(shí)驗(yàn)對比是研究問題的一種重要方法，體驗(yàn)到實(shí)驗(yàn)研究的價值和樂趣，培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

（二）數(shù)學(xué)教材內(nèi)容與信息科技學(xué)科的整合

將小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容與信息科技教材內(nèi)容有機(jī)整合，就是以數(shù)學(xué)知識為載體，把信息科技作為工具和手段滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，應(yīng)用信息科技培養(yǎng)學(xué)生解決相關(guān)問題的綜合能力。學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)和其他信息手段自主地獲取有價值的信息，學(xué)會使用網(wǎng)絡(luò)工具和信息手段進(jìn)行信息的搜集、處理、分析，解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題，能有效地培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。

例如，北師大版數(shù)學(xué)教材六年級上冊“感受黃金比”一課，“黃金分割比”（以下簡稱“黃金比”）是第六單元“比的認(rèn)識”課后的拓展內(nèi)容，包含的元素非常豐富，涉及的領(lǐng)域十分廣泛，而學(xué)生對“0.618”也并不陌生。教師充分查閱資料發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中有大量生動鮮活的資源可供學(xué)生自主選學(xué)，于是將這節(jié)課設(shè)計(jì)成微項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的模式。課上，教師首先引導(dǎo)學(xué)生針對“黃金比”提出自己想要了解的問題，學(xué)生提出：什么是黃金比？它和我們學(xué)過的“比”有什么聯(lián)系和區(qū)別？為什么叫黃金比？黃金比是誰發(fā)現(xiàn)的？在數(shù)學(xué)中有黃金比嗎？黃金比在生活中有哪些應(yīng)用等不同方向？帶著這些問題，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)利用網(wǎng)絡(luò)檢索工具搜尋、梳理相關(guān)信息的方法，請學(xué)生在課前先進(jìn)行自主研究。第二天的課上，學(xué)生紛紛帶來了自己的課前研究成果。有的學(xué)生將查閱的網(wǎng)絡(luò)資料梳理整合打印了下來；有的學(xué)生手繪了小報或思維導(dǎo)圖。教師請學(xué)生先在組內(nèi)交流自己的學(xué)習(xí)收獲，每人選取一個方面。接著，全班進(jìn)行展示分享，組代表匯報，其他同學(xué)適時補(bǔ)充。有的學(xué)生用一條簡單直觀的線段就解釋了黃金比的含義；有的學(xué)生介紹了古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)黃金比的小故事；有的學(xué)生揭示了五角星中蘊(yùn)藏的奧秘——五角星之所以十分美麗，是因?yàn)樗織l邊上相對應(yīng)的線段之間的長度關(guān)系都符合黃金比；有的學(xué)生展示了黃金比在藝術(shù)領(lǐng)域、建筑領(lǐng)域、日常生活等方面的應(yīng)用。學(xué)生再深入到數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，又知道了黃金矩形、黃金螺線、斐波那契數(shù)列，越發(fā)感受到黃金比的神奇之處，體味到其中蘊(yùn)含的豐富的美學(xué)價值。

總之，在整合數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的研究過程中，教師要注重積累典型課例，營造適合學(xué)生思維發(fā)展的課堂環(huán)境，要探究指向深度學(xué)習(xí)的整體性教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的完整研究過程，積累可以遷移的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗(yàn)，提升思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

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［2］王麗星.我這樣整合數(shù)學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）

作者簡介：康倩，江蘇省徐州市九龍湖小學(xué)高級教師。

課題項(xiàng)目：本文系徐州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“深度學(xué)習(xí)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)整體性教學(xué)的實(shí)踐研究”研究成果之一。課題編號：GH14-21-L449。