“模型思想”在2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷中的應(yīng)用探析

福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué) (350319) 周 丹

福建省福清市進(jìn)修學(xué)校 (350300) 林新建

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量、圖形有關(guān)的故事,使數(shù)學(xué)走出了自我封閉的世界,構(gòu)建了與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.在解題過(guò)程中,“模型思想”的建立,能幫助我們更好地挖掘模型或者建構(gòu)模型,從而將復(fù)雜的問(wèn)題化歸轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),在教學(xué)中具有實(shí)際的意義.以下就“模型思想”在2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷中的應(yīng)用作一探析,以饗讀者.

一、挖掘模型

應(yīng)用“模型思想”在題中挖掘所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)模型,借助找出的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化運(yùn)算,將問(wèn)題輕松解決.

A.-6 B.-5 C.5 D.6

評(píng)析：本題中強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的眼光去直觀想象并進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,一步步地抽象出菱形模型,是“模型思想”的應(yīng)用,整個(gè)過(guò)程進(jìn)行邏輯推理,培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2 (第12題)若x,y滿(mǎn)足x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析：由|MA|=|NB|可知,線(xiàn)段MN中點(diǎn)與線(xiàn)段AB中點(diǎn)重合,這樣就可以將問(wèn)題抽象為中點(diǎn)重合模型進(jìn)行求解.

評(píng)析：本題通過(guò)數(shù)學(xué)抽象,抽象出中點(diǎn)重合的模型,注重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查,中點(diǎn)模型的給出可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,而圓錐曲線(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算實(shí)際上是基于數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理下的運(yùn)算簡(jiǎn)化,進(jìn)一步也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

二、建構(gòu)模型

應(yīng)用“模型思想”,借助一些現(xiàn)有模型特征構(gòu)建滿(mǎn)足題意的新模型,或通過(guò)觀察、分析數(shù)學(xué)式子特征,建構(gòu)適當(dāng)?shù)哪Ｐ?幫助問(wèn)題更好、更快地解決.

A.-3 B.-2 C.0 D.1

評(píng)析：本解法先通過(guò)對(duì)模型的初步識(shí)別,發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型與兩角和余弦公式的模型類(lèi)似,由此受到啟發(fā),通過(guò)待定系數(shù)法建構(gòu)合理的建模,實(shí)現(xiàn)從特殊到一般,再?gòu)囊话愕教厥獾霓D(zhuǎn)化,實(shí)際上也是數(shù)學(xué)抽象的培育過(guò)程.

例5 (第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)<-1,求a的取值范圍;

評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生分析觀察數(shù)學(xué)式子,猜測(cè)探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論,給出解釋或證明,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象,數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理,數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

三、結(jié)語(yǔ)

“模型思想”的培養(yǎng),不止可以幫助學(xué)生快速地挖掘或建構(gòu)合理的模型來(lái)解決問(wèn)題,從而有效地簡(jiǎn)化求解途徑,還能通過(guò)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.在“模型思想”的培養(yǎng)過(guò)程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察,用數(shù)學(xué)的思維去思考,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去概括,進(jìn)一步使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和關(guān)鍵能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).