一元二次方程教學(xué)實踐中的逆向思維研究

? 白銀市第十一中學(xué) 金炳瑋

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開思維能力的培養(yǎng),而學(xué)生思維能力的強(qiáng)弱在一定程度上制約著教學(xué)效果的提升.因此,培養(yǎng)學(xué)生的思維,不僅對學(xué)生的學(xué)習(xí),而且對教師的教學(xué)都將產(chǎn)生積極影響.本文中以逆向思維的實踐為研究內(nèi)容,嘗試在厘清思維點及其正向、逆向變式的基礎(chǔ)上探究逆向思維的培養(yǎng)方法.

1 逆向思維及其內(nèi)涵理解

根據(jù)思維方向的差異,可將思維分為正向思維與逆向思維兩種.正向思維是常規(guī)思維,與知識的形成方向保持一致,體現(xiàn)為習(xí)慣性思維,具有普遍性[1].逆向思維常被認(rèn)定為創(chuàng)造性思維,與常規(guī)思維相反,是一種求異思維.

首先,教師對學(xué)生逆向思維進(jìn)行培養(yǎng),既是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn),也是協(xié)助學(xué)生調(diào)整心理狀態(tài)的過程,甚至可以讓學(xué)生的心理狀態(tài)得到重建.在教育領(lǐng)域,思維和心理一直是兩個相互影響、相互依存的對象.思維的培養(yǎng)影響學(xué)生心理的發(fā)展,如培養(yǎng)逆向思想能提高學(xué)生分析和解決一元二次方程及其實際應(yīng)用問題,增加學(xué)生自信心、成就感等.同時,心理的成熟程度也會影響思維培養(yǎng)的效果,如對于心理不夠成熟的學(xué)生,他們的逆向思維培養(yǎng)相對更加困難,對一元二次方程的逆向理解與應(yīng)用不夠理想.

其次,正向思維和逆向思維在哲學(xué)上既是對立的,也是統(tǒng)一的,既可作為單獨的個體,又能相輔相成[2].正向思維的習(xí)慣性、普遍性使得在分析一部分問題時容易出現(xiàn)片面性錯誤,而逆向思維可以有效彌補(bǔ)正向思維的這一局限性.因此,從正向思維出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,能讓學(xué)生找到更多不同的解決問題的途徑,讓思維得到發(fā)散,進(jìn)而更全面、更牢固、更熟練地掌握知識.只有這樣,才能靈活運用知識創(chuàng)造性地解決問題,這就是“熟能生巧”.

2 一元二次方程課堂實踐逆向思維點例析

教師在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維時,需找準(zhǔn)思維點,并在實踐中發(fā)揮其基礎(chǔ)性作用.下面借助例題進(jìn)行分析.

2.1 定義

例1( )是關(guān)于a的一元二次方程.

A.3a=5a-1

B.3a2+6a=(a-1)(3a+4)

D.a2-2a+1=0

解析：根據(jù)定義,一元二次方程中未知數(shù)的最高次數(shù)為2,所以選項A錯誤;選項B中(a-1)(3a+4)運算后雖有3a2,但與等式左邊3a2抵消了,所以選項B中的方程實際并無二次項;選項C的未知數(shù)在分母中,與定義不符,排除.故選項D正確.

例2已知關(guān)于a的方程(x-3)a|x|-1+6a+1=0是一元二次方程.求x的值.

解析：根據(jù)一元二次方程的定義,得x-3≠0,且|x|-1=2,所以x=-3.

例1是正向考查一元二次方程的定義,比較簡單,主要抓住一元二次方程的定義及幾個應(yīng)注意之處,如二次項系數(shù)不為零、未知數(shù)次數(shù)最高為2等.例2是逆向考查,學(xué)生在計算“|x|-1=2”時,忽略排除x≠3.事實上,例2中有一個隱含條件,那就是“二次項系數(shù)不為零”,它極易被忽略.

2.2 求方程的根

例3一元二次方程x2-4x=0的根是( ).

A.x1=0,x2=4 B.x1=0,x2=-4

C.x1=1,x2=-4 D.x1=-1,x2=4

解析：根據(jù)一元二次方程的根的求法,可先將x2-4x因式分解為x(x-4),于是有x(x-4)=0,最后解得x1=0,x2=4.故選擇答案:A.

例3是利用一元二次方程根的定義求根,而例4是已知一元二次方程的根求某個字母的值,前者是正向思維,后者是逆向思維.雖然這兩個例題的難度不大,但例4中的逆向思維,尤其是解關(guān)于a的一元二次方程有點難度.

2.3 根的判別式

例5對一元二次方程x2-x-1=0根的情況判斷正確的是( ).

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根

D.無實數(shù)根

解析：由已知可得Δ=5>0,所以一元二次方程x2-x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根.

故選答案:A.

例6如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,求k的取值范圍.

例5是正向思維題,比較簡單,且直接;例6是逆向思維,需根據(jù)一元二次方程根的情況反向計算出系數(shù)k的取值范圍.

2.4 根與系數(shù)的關(guān)系

A.-1 B.0 C.2 D.3

故選答案:D.

例7是正向思維,已知一元二次方程,求與兩根之和或兩根之積有關(guān)的代數(shù)式的值.例8是逆向思維,已知與兩根之和或兩根之積有關(guān)的代數(shù)式的值,求方程中待定字母的值.

3 總結(jié)

思維及數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)一直是教師教研的重要課題.在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維時,筆者認(rèn)為需注意以下三個方面.

首先,在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維時,及時關(guān)注學(xué)生的心理狀態(tài).例如,在講解例2、例4、例6、例8時,多注意學(xué)生上課狀態(tài)的變化,尤其是后進(jìn)生的學(xué)習(xí)狀態(tài).如果在面對逆向思維問題時學(xué)生的積極性不夠,那么建議從正向思維題進(jìn)行遷移或引申,這樣有利于降低問題難度,便于學(xué)生接受.

其次,在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維時,不能忽視正向思維的基礎(chǔ)性地位.例如,在引入例2、例4、例6、例8時,要從正向思維點的四個例題(即例1、例3、例5、例7)出發(fā),逐步展開和深入,循序漸進(jìn).

最后,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維時,還需注重學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng).逆向思維和發(fā)散性思維都是由正向思維出發(fā),但二者有明顯的不同.逆向思維與正向思維相對,且逆向思維的“落腳石”是正向思維.而發(fā)散性思維是由正向思維無限“發(fā)散”,形成“放射狀”思維,這種思維更靈活,對學(xué)生的素養(yǎng)要求更高.

例如,例7是正向思維,例8是逆向思維,二者是相似的題型,只是將“條件”與“結(jié)論”互換了.在解決問題時,例8中的逆向思維最終會走向例7中的正向思維這一“落腳石”.但是,如果命題者進(jìn)行如下命題,則體現(xiàn)了發(fā)散性思維:

關(guān)于x的方程x2+2kx+k2-2k+1=0有實數(shù)解,其中k

這樣命題不僅涉及的知識面廣,考查的力度更大,而且對學(xué)生的發(fā)散性思維有更高的要求.因此,教師也注意對學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).

總之,逆向思維的培養(yǎng)需要教師在教學(xué)上注意策略的應(yīng)用,不僅要注重正向思維的基礎(chǔ)性,也要找到正向思維過渡到逆向思維的思維點.