一題誘發(fā) 拓展利用 激發(fā)聯(lián)想 促進(jìn)遷移
——探索含45°角問題的研題訓(xùn)練

? 甘肅省定西市臨洮縣椒山初級中學(xué) 楊建霞

數(shù)學(xué)問題是啟發(fā)學(xué)生思維的源泉.教師在講解問題的過程中,只有抓住問題突破的方向,找到恰當(dāng)?shù)姆椒?才能正確啟發(fā)學(xué)生探究準(zhǔn)確的思維路徑,在此基礎(chǔ)上引領(lǐng)學(xué)生及時總結(jié)相關(guān)解題方法與思路,將數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)思想,再將數(shù)學(xué)思想沉淀為數(shù)學(xué)能力,從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng),至此,所訓(xùn)練的問題才能真正凸顯其價值[1].

波利亞在《怎樣解題》一書中說過這樣的話:“教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生分析問題,挖掘問題本質(zhì),尋求解題線索,辨析解題方法,有效地幫助學(xué)生提升分析和解決問題的能力.”

本文中以一道含有45°角的幾何問題為例展開研究分析,彰顯問題價值.

1 問題呈現(xiàn)

圖1

2 問題思考

圖2

初步結(jié)論:從上述問題的解析過程來分析,遇到45°的條件時往往可以構(gòu)造等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的三線合一或者基本性質(zhì)等展開進(jìn)一步推理,再結(jié)合相關(guān)的條件構(gòu)造全等三角形或者相似三角形,進(jìn)而解決邊之間的關(guān)系或角度相等等問題.

3 拓展利用

如圖3,在Rt△ABC中,∠C=90°,且滿足AC>BC,BD平分∠ABC,點E在BC上,∠EDB=45°,若BE=5CE,CD=3,試求AB的長.

圖3

分析：本題條件中顯然凸顯的是∠EDB=45°,根據(jù)已知經(jīng)驗,怎么構(gòu)造等腰直角三角形呢?有幾種可能性,其一過點E作BD的垂線,其二是過點B作DE的垂線.通過分析可以發(fā)現(xiàn),前者在推理過程中與已知條件聯(lián)系不上,故可考慮后者.如圖4,作BF⊥DE,交DE的延長線于點F,FN⊥BC于點N,FM⊥AC于點M,DH⊥AB于點H,連接CF.由△DMF≌△BNF,推理得到四邊形MCNF是正方形.設(shè)CE=a,則BE=5a.根據(jù)邊之間的關(guān)系可進(jìn)行突破、解答[2].

圖4

激發(fā)聯(lián)想:只考慮簡單的45°,可以直接構(gòu)造等腰直角三角形,從而找到問題的突破口,作出相關(guān)解答.若出現(xiàn)和為45°或者差為45°的情況,又該怎么處理呢?

例如,如圖5,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為平面內(nèi)的一點.當(dāng)點D在△ABC的外部,且滿足∠BDC-∠ADB=45°,請你證明線段CD與AD的數(shù)量關(guān)系.

圖5

本題中給出的條件是∠BDC-∠ADB=45°,這樣的條件顯然無法直接利用,根據(jù)上述問題給定的一種想法,可以在∠ADB外構(gòu)造新的45°,這樣就能滿足∠BDC=∠ADB+45°.如圖6,在邊AD外直接構(gòu)造等腰直角三角形,即過點A作AE⊥AD,且AE=AD,連接DE,CE,證△BAD≌△CAE(SAS),得∠ABD=∠ACE,再證△DOC≌△DOE,得CD=ED,即可解決問題.

圖6

結(jié)論升華:結(jié)合上面幾個問題的具體分析,我們發(fā)現(xiàn)如果遇到幾個角的差為45°角的問題時,可以根據(jù)相應(yīng)兩個角的位置,重新構(gòu)造等腰直角三角形,變差為和,再結(jié)合相關(guān)條件構(gòu)造全等三角形或相似三角形進(jìn)行分析研究[3].

4 促進(jìn)遷移

如果在解題過程中遇到兩角和為45°時,往往與等腰直角三角形相聯(lián)系,或利用角之間和的關(guān)系進(jìn)行等量代換,確定角與角之間的關(guān)系.

圖7

在這道試題中一個比較明顯的條件就是∠FEP+∠G=45°,如何轉(zhuǎn)化這個條件,形成推理條件呢?如圖8,根據(jù)∠FEP+∠FGO=45°和∠1=∠FGO+∠GOM,可以得到∠GOM=∠FEP;再根據(jù)∠GMO=∠PNE=90°,PE=GO,判斷得到△GOM≌△PEN(AAS);再得出G,R,P的坐標(biāo)分別為(-3,12),(3,6),(6,3);過點Q作QK垂直于x軸于點K,則QK=BK;最后利用直線BQ的解析式得出結(jié)論.

圖8

從這幾道試題的研究過程可以發(fā)現(xiàn),涉及到“45°”角的問題,通常構(gòu)造等腰直角三角形,或者和等腰三角形聯(lián)系起來,借助相關(guān)條件形成全等三角形或相似三角形.不管哪種形式,都要準(zhǔn)確判斷好構(gòu)造的方向,或者聯(lián)系內(nèi)在的隱形等腰三角形,這些都是解題的關(guān)鍵所在[2].

同樣地,遇到“60°”角的問題時,可以考慮構(gòu)造等邊三角形,借助等邊三角形的特殊性獲取更多的條件,以突破問題的疑難點.

綜上可以發(fā)現(xiàn),找到一種問題的解決思路,就能通過問題所體現(xiàn)的特點,舉一反三,這也是真正把握問題本質(zhì)的要求所在.在教學(xué)中要充分挖掘這類問題的功效,加強(qiáng)問題聯(lián)想訓(xùn)練,誘發(fā)學(xué)生解題思維,積極拓寬解題模式訓(xùn)練,同時也要注意增強(qiáng)問題的潛在價值,在訓(xùn)練過程中引導(dǎo)學(xué)生不斷深入探究,找到問題的模型,為提升綜合素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).