一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

?云南省曲靖市馬龍區(qū)第三中學(xué) 劉 陳

一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系,可用來判斷三角形的形狀,求代數(shù)式的值,構(gòu)造倍根方程,求代數(shù)式的最值,求參數(shù)的值等,這些應(yīng)用一方面體現(xiàn)了根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的價(jià)值,另一方面也使學(xué)生體會(huì)到了不同數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系,有利于加深學(xué)生對這一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的理解與掌握.

1 判斷三角形的形狀

當(dāng)一元二次方程的系數(shù)或它的兩個(gè)根是三角形的邊長時(shí),一元二次方程和三角形之間就有了聯(lián)系,利用一元二次方程根的情況可以判斷三角形的形狀[1].

例1已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0是關(guān)于x的一元二次方程.

(1)當(dāng)x=-1時(shí),你能確定△ABC的形狀嗎?為什么?

(2)當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí),你能確定△ABC的形狀嗎?為什么?

解析：(1)由題意,把x=-1代入方程,得a+c-2b+a-c=0,整理得a=b.因?yàn)閍,b,c分別為△ABC三邊的長,所以△ABC為等腰三角形.

(2)由題意,Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,整得得b2+c2=a2.因?yàn)閍,b,c分別為△ABC三邊的長,所以由勾股定理的逆定理,得△ABC為直角三角形.

評注：當(dāng)三角形的三邊為一元二次方程的系數(shù)時(shí),三角形的形狀與一元二次方程根的情況也有了聯(lián)系,本題設(shè)置的兩個(gè)問題對此做了很好的詮釋.

2 求代數(shù)式的值

所以m的值為2,△ABC的面積為1．

評注：本題第(2)小題以m作為聯(lián)系的紐帶,根據(jù)第一個(gè)方程中根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值,然后代入關(guān)于a,b的方程中消去m,從而顯現(xiàn)出a,b的本質(zhì),再與勾股定理的逆定理結(jié)合,使問題轉(zhuǎn)化為幾何問題[2].

3 求代數(shù)式的最值

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求與兩根有關(guān)的代數(shù)式的值,也可以求代數(shù)式的最值.當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí),根的判別式大于或等于0,可以據(jù)此求得字母的取值范圍,當(dāng)所求代數(shù)式化為含有該字母的代數(shù)式時(shí),就可以求得它的最值.

例3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系反映了一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系,相應(yīng)的命題被稱為韋達(dá)定理,根據(jù)韋達(dá)定理解決下面問題:

(1)已知m,n是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個(gè)根,試計(jì)算m+n與mn的值;

(2)因?yàn)閷?shí)數(shù)m,n滿足m2-m-1=0,n2-n-1=0且m≠n,所以m,n可看作方程x2-x-1=0的兩根.根據(jù)韋達(dá)定理,得m+n=1,mn=-1.

(3)因?yàn)閤1,x2是方程2x2+4x+m=0的兩個(gè)根,所以Δ=42-4×2×m≥0,即m≤2.

評注：當(dāng)a≥b(b為常數(shù))時(shí),a有最小值,且最小值為b;當(dāng)a≤b(b為常數(shù))時(shí),a有最大值,且最大值為b.

4 探討代數(shù)式的值能否為定值

對于與一元二次方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值能否為定值這類問題,應(yīng)先假設(shè)這個(gè)代數(shù)式的值能為定值,從而建立方程求得字母的值,然后檢驗(yàn)這個(gè)值能否滿足原方程有實(shí)根,使原方程有實(shí)根的值就是符合題意的值.

例4已知關(guān)于x的方程kx2+(1-k)x-1=0.

(1)若該方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求k的取值范圍．

解：(1)根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義,得k≠0且Δ=(1-k)2-4k×(-1)>0,整理,得(1+k)2>0,解得k≠0且k≠-1.

評注：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是在方程有實(shí)根的情況下進(jìn)行討論的,所以利用根與系數(shù)關(guān)系得到的字母的值,一定要看這個(gè)值是否在方程有實(shí)根時(shí)求得的字母取值范圍之內(nèi).只有在這個(gè)取值范圍之內(nèi)的值才是符合題意的值.

積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一.以上四種類型有關(guān)根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,有利于學(xué)生明白二者之間的依存關(guān)系,以及如何利用這兩個(gè)工具解答相關(guān)問題,也有利于學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn),促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.