思維導(dǎo)圖與波利亞解題思想融合的教學(xué)實(shí)踐研究*
——以“二次函數(shù)”為例

?江蘇省連云港市東港中學(xué) 霍 云

數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是學(xué)生遷移運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、感知數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程.在新課程改革持續(xù)推進(jìn)的背景下,數(shù)學(xué)教育工作者如何在傳授知識(shí)的基礎(chǔ)上,促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)解題,是數(shù)學(xué)教學(xué)順應(yīng)新課程改革、提高教學(xué)質(zhì)效、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的應(yīng)有之義.波利亞的數(shù)學(xué)解題思想則為提高學(xué)生解題能力、教會(huì)學(xué)生思考提供了理論支撐.波利亞的解題思想具體地體現(xiàn)在《怎樣解題》一書(shū)中,他將解題過(guò)程分為“理解問(wèn)題、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、檢驗(yàn)回顧”四個(gè)步驟.思維導(dǎo)圖作為一種現(xiàn)代教育形式,可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化,從而幫助學(xué)生理解問(wèn)題、明晰解題思路.本文中以“二次函數(shù)”教學(xué)為例,探索思維導(dǎo)圖與波利亞解題思想的有機(jī)融合,提高學(xué)生問(wèn)題解決能力.

1 以圖示意,理解問(wèn)題

理解問(wèn)題是解決問(wèn)題的前提.在理解問(wèn)題的過(guò)程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生找出題目蘊(yùn)含的未知和已知信息,分析已知量與未知量的關(guān)系,幫助學(xué)生明確問(wèn)題的本質(zhì)、求解的條件和目標(biāo).在此環(huán)節(jié),教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)題目中的已知條件,整合已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn),繪制思維導(dǎo)圖,以圖示意,在梳理題目信息的過(guò)程中找到解題的關(guān)鍵信息.

例1根據(jù)“上加下減、左加右減”的圖象平移規(guī)律,分別畫(huà)出函數(shù)y=x2,y=2x2,y=-2x2,y=2x2-3,y=2(x+4)2,y=2(x+4)2-3的圖象.

師:以一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數(shù))為例,其中的系數(shù)a,b,c分別有什么作用?

生1:a的正負(fù)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向.

生2:a與b決定對(duì)稱(chēng)軸的位置.

生3:c決定拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

師:y=a(x-h)2+k(a≠0)是二次函數(shù)的什么形式?h和k的意義分別是什么?

生:頂點(diǎn)式.h和k分別是拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).

師:頂點(diǎn)式和一般式可以相互轉(zhuǎn)化嗎?如果可以,頂點(diǎn)式中的h和k與一般式中的系數(shù)a,b,c之間是否存在關(guān)系?存在怎樣的關(guān)系?

在師生的對(duì)話(huà)交流中,帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)和梳理關(guān)于二次函數(shù)圖象的知識(shí)點(diǎn),從而形成如圖1所示的思維導(dǎo)圖.

圖1 “以圖示意”思維導(dǎo)圖

2 按圖索旨,擬定計(jì)劃

擬定計(jì)劃是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,同時(shí)也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、引導(dǎo)學(xué)生形成解題思路的重要過(guò)程.波利亞解題思想認(rèn)為在擬定計(jì)劃階段,解題者在理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上,應(yīng)對(duì)要解決的問(wèn)題進(jìn)行模式識(shí)別,熟練運(yùn)用已有的解題經(jīng)驗(yàn)和掌握的數(shù)學(xué)思想方法,在知識(shí)遷移運(yùn)用的基礎(chǔ)上,產(chǎn)生題目的解決方案.按圖索旨,讓學(xué)生通過(guò)思維導(dǎo)圖重構(gòu)自身的知識(shí)結(jié)構(gòu),將零散的知識(shí)信息變?yōu)橄到y(tǒng)化的知識(shí)體系,使學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí),可以快速在腦海中找到解決問(wèn)題所需要的知識(shí).

例2將拋物線(xiàn)y=(x-3)2-4沿著直線(xiàn)y=2x-10的方向平移,平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,10),則平移后得到的拋物線(xiàn)的解析式是什么?

分析：例2是例1的延伸,學(xué)生面對(duì)此問(wèn)題時(shí),會(huì)在已有經(jīng)驗(yàn)中搜索關(guān)于此類(lèi)問(wèn)題的解題方法,根據(jù)“上加下減,左加右減”的平移規(guī)律,形成如圖2所示的思維導(dǎo)圖.同時(shí),在數(shù)學(xué)建模思想的作用下,設(shè)平移后的拋物線(xiàn)解析式為y=(x+h)2+k,根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)得出平移前的拋物線(xiàn)y=(x-3)2-4的頂點(diǎn)為(3,-4),且點(diǎn)(3,-4)在直線(xiàn)y=2x-10上,由此推斷出平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(-h,k)也在該直線(xiàn)上,將(-h,k)代入y=2x-10中,得k=-2h-10,又10=(0+h)2+k,很容易就會(huì)求出h和k的值,從而得到平移后的拋物線(xiàn)解析式.

圖2 “按圖索旨”思維導(dǎo)圖

3 以圖梳理,執(zhí)行計(jì)劃

執(zhí)行計(jì)劃是學(xué)生將解題思路具體化的階段,也是鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、養(yǎng)成良好答題習(xí)慣的重要過(guò)程.解題者可以通過(guò)思維導(dǎo)圖梳理解題思路,使解題過(guò)程的書(shū)寫(xiě)邏輯性更強(qiáng).

例3已知a∈R,二次函數(shù)f(x)=x|x-a|,求f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.

分析：該函數(shù)的關(guān)鍵為|x-a|的取值,結(jié)合定義域發(fā)現(xiàn),此題需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想,根據(jù)a的取值分為三種情況討論f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.本題的思維較為復(fù)雜,如圖3所示的思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生在復(fù)雜抽象的問(wèn)題情境中明晰解題過(guò)程,繪制思維導(dǎo)圖的過(guò)程也是拓展學(xué)生思維的過(guò)程.

圖3 “以圖梳理”思維導(dǎo)圖

4 借圖發(fā)散,檢驗(yàn)回顧

檢驗(yàn)回顧是促進(jìn)學(xué)生強(qiáng)化、內(nèi)化知識(shí)的過(guò)程,在幫助學(xué)生檢驗(yàn)問(wèn)題解決準(zhǔn)確性、梳理解題過(guò)程的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)問(wèn)題中蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn),以及解決問(wèn)題所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法,更新知識(shí)體系,同時(shí)思考是否存在更優(yōu)化的解題方法,積累解題經(jīng)驗(yàn).

例4某一運(yùn)動(dòng)服裝專(zhuān)賣(mài)店,在8月份上市了新設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)套裝,已知該運(yùn)動(dòng)套裝的進(jìn)價(jià)為180元/套,若售價(jià)為340元/套,則每月可以賣(mài)出50套,售價(jià)每下降10元每月就會(huì)多賣(mài)出6套運(yùn)動(dòng)套裝,為了獲得最大利潤(rùn),現(xiàn)將每套運(yùn)動(dòng)套裝降價(jià)x元(x為10的倍數(shù)),每月運(yùn)動(dòng)套裝的銷(xiāo)量為y(單位:套),月利潤(rùn)為W(單位:元).(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式;(2)如何確定售價(jià)才能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?

圖4 例4的解題思維導(dǎo)圖

根據(jù)波利亞解題思想與思維導(dǎo)圖的融合,在以圖示意、按圖索旨、以圖梳理、借圖發(fā)散的過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)理解問(wèn)題、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、檢驗(yàn)回顧的解題過(guò)程.一方面,幫助學(xué)生梳理解題思路,為學(xué)生指明解題思維方向,優(yōu)化解題過(guò)程,發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的解題能力;另一方面,在解題過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.