針對相干信號DOA估計的改進(jìn)MUSIC算法*

吳志勇,饒 偉,,賈鳳勤

(1.江西軟件職業(yè)技術(shù)大學(xué) 網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院,南昌 330041;2.南昌工程學(xué)院 信息工程學(xué)院,南昌 330099)

0 引 言

入射信號波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)估計是陣列信號處理中的一個重點研究內(nèi)容,已廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、地震勘探、移動通信和醫(yī)療等領(lǐng)域[1-2]。近幾十年來,DOA估計涌現(xiàn)了大量的研究成果,其中多重信號分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)法[3]是白噪聲下不相關(guān)信號DOA估計的經(jīng)典算法,通過信號子空間與噪聲子空間的正交性構(gòu)造空間譜函數(shù)來進(jìn)行信號DOA估計。但是,該算法需要進(jìn)行譜峰搜索,所以具有計算量特別大的弊端。

相干信號的DOA估計一直以來都是空間譜估計領(lǐng)域的一個熱點和難點問題。要實現(xiàn)對相干信號的DOA估計,首先需要對其進(jìn)行解相干預(yù)處理以恢復(fù)相干信號協(xié)方差矩陣的秩。為此,學(xué)者們提出了許多方法,其中最為經(jīng)典的解相干方法為空間平滑(Spatial Smoothing,SS)方法[4-8]。SS算法包括前向空間平滑(Forward Spatial Smoothing,FSS)[4-5]算法和前后向空間平滑(Forward/Backward Spatial Smoothing,FBSS)[6-8]算法。SS算法的原理就是將陣列分成多個大小相同的重疊子陣,然后對各子陣列信號協(xié)方差矩陣求平均,以恢復(fù)協(xié)方差矩陣的秩。但是該方法是以減小陣列孔徑為代價的,并且不論信號是否相干所能估計的信號數(shù)都限制在被減小的陣列(即子陣)孔徑內(nèi)。

與空間平滑策略不同,文獻(xiàn)[9]提出了另一種相干信號DOA估計的方法,即通過使用對稱陣列傳感器獲得一個秩與輸入信號相干性無關(guān)的Toeplitz矩陣。但是該方法并未用到接收信號協(xié)方差矩陣的全部信息,估計性能較低。文獻(xiàn)[10]提出了一種應(yīng)用聯(lián)合對角化策略估計相干信號DOA的方法。使用該方法時不需要知道信源信息(如入射信號數(shù)),但是其估計精度較低。文獻(xiàn)[11]提出了一種在不知道信源數(shù)的情況下進(jìn)行DOA估計的方法,首先通過構(gòu)造Toeplitz矩陣來去相關(guān),然后利用Toeplitz矩陣的聯(lián)合對角化結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出了一種DOA估計方法。使用該方法時不需要知道入射信號數(shù),但是在信噪比較低時估計性能不好,并且在陣元數(shù)相同的情況下所能估計的信號數(shù)較少。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于Toeplitz矩陣的相干信號旋轉(zhuǎn)不變信號參數(shù)估計(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques,ESPRIT)算法,首先通過特征向量元素與參考元素的相關(guān)函數(shù)構(gòu)造Toeplitz矩陣,并通過奇異值分解得到兩個信號子空間,最后利用ESPRIT算法估計出相干信號的DOA。但是該算法最后只能利用ESPRIT算法實現(xiàn)DOA估計,所以估計精度方面會受到ESPRIT自身的限制。

為了在不犧牲陣列孔徑的同時進(jìn)一步提升相干信號的DOA估計性能,并且針對MUSIC算法不能有效估計出相干信號DOA的問題,本文提出了一種改進(jìn)的MUSIC算法,簡稱為I-MUSIC(Improved MUSIC)算法。其主要思想源于,不管信號相干與否,陣列接收信號矩陣的協(xié)方差矩陣的最大特征值所對應(yīng)的特征向量都是所有信號源導(dǎo)向矢量的線性組合[12-13]。因此,I-MUSIC算法首先選取了信號協(xié)方差矩陣的兩個最大特征值所對應(yīng)的特征向量,并利用特征向量中的各元素與第一個元素間的相關(guān)函數(shù)來構(gòu)造兩個特定的Toeplitz矩陣,然后利用前后向空間平滑的思想得到這兩個矩陣的無偏估計并求和,最后利用MUSIC算法從中估計出相干信號DOA。仿真實驗結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1 信號模型

本文改進(jìn)方法采用的是均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA),如圖1所示。假設(shè)該ULA由M個陣元組成,且令第一個陣元位于原點位置,陣元間距為d(d=λ/2,λ為信號波長)。

圖1 均勻線陣結(jié)構(gòu)

(1)

式中:x(t)=[x1(t),x2(t),…,xQ(t)]T為Q個陣元接收信號組成的數(shù)據(jù)向量;a(θi)=[1,e-jπsin(θi),…,e-j(M-1)πsin(θi)]T,1≤i≤Q,表示第i個相干信號對應(yīng)的陣列導(dǎo)向矢量;A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θQ)]為相干信號的陣列流形矩陣,S(t)=[s1(t),s2(t),…,sQ(t)]T為相干信號源向量;n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T是方差為δ2的高斯白噪聲向量,且與所有入射信號源不相關(guān)。

陣列接收信號x(t)的協(xié)方差矩陣R為

R=E[x(t)xH(t)]=ARSAH+δ2I。

(2)

式中:E[·]表示期望;RS=E[S(t)SH(t)]為入射信號協(xié)方差矩陣;I為主對角線為“1”,其余位置全部為“0”的單位矩陣。

2 改進(jìn)算法

由文獻(xiàn)[12-13]可知,無論信號是否相干,信號協(xié)方差矩陣R的最大特征值所對應(yīng)的特征向量都是所有信源導(dǎo)向向量的線性組合。因此,可選擇最大的兩個特征值λ1和λ2對應(yīng)的最大特征向量u1和u2來實現(xiàn)去相干。

令

u1=[u11,u21,…,u(M-1)1,uM1]T,

(3)

把上式向量中的第一個元素u11作為參考元素,則u11與各元素的相關(guān)函數(shù)表示為

(4)

進(jìn)而可得

[r(0),r(1),…,r(M-1)]=

(5)

同理,用r(-k+1)表示各元素與u11的相關(guān)函數(shù)為

(6)

進(jìn)而可得

[r(-M+1),r(-M),…,r(0)]=

(7)

由式(5)和式(7)構(gòu)建一個新的Toeplitz矩陣Y1:

(8)

式中:r(k-1)=r*(-k+1)。

對于Toeplitz矩陣Y1,可利用前后向空間平滑思想構(gòu)造其對應(yīng)的無偏估計矩陣[14-16]:

(9)

式中:J是M×M的交換矩陣,即副對角線元素為“1”,其他元素全部為“0”的矩陣。

選取u2中的第一個元素u12作為參考元素,并按照上述相同的步驟可得到矩陣YY2,即

[r′(0),r′(1),…,r′(M-1)]=

(10)

[r′(-M+1),r′(-M),…,r′(0)]=

(11)

(12)

(13)

根據(jù)式(9)和式(13)構(gòu)建新的矩陣:

Y=YY1+YY2。

(14)

由文獻(xiàn)[10]、[12]和[17]可知,因為矩陣Y1和矩陣Y2是Toeplitz矩陣,經(jīng)過變換后的矩陣YY1和YY2也是Toeplitz矩陣,進(jìn)而矩陣Y也是Toeplitz矩陣,所以rank(Y)=Q,即Toeplitz矩陣Y的秩等于相干信號的個數(shù)。并且由文獻(xiàn)[18]和[19]可知,新方法構(gòu)造出的Toeplitz矩陣Y中同樣包含了各入射信號的波達(dá)方向信號,所以矩陣Y可以等效成相干入射信號的新協(xié)方差矩陣,因此可以通過協(xié)方差矩陣Y估計出相干信號的DOA,并且該矩陣的秩等于入射信號數(shù),對應(yīng)的陣列陣元數(shù)仍為M,即沒有陣列孔徑的損失。

接下來,利用MUSIC算法從Toeplitz矩陣Y中估計出相干信號DOA。

對矩陣Y進(jìn)行特征值分解可以得到

(15)

式中:U=[u1,…,uM];Σ=diag{λ1,…,λM},λ1≥…≥λQ>λQ+1=…=λM=σ2,其中diag{·}表示對角矩陣;Uss=[u1,…,uQ];Σss=diag{λ1,…,λQ};Unn=[uQ+1,…,uM];Σnn=diag{λQ+1,…,λM}。Uss的列張成的信號子空間與入射信號的導(dǎo)向矢量A的列張成的是同一個空間,并且信號子空間正交于由Unn的列張成的噪聲子空間,因此,MUSIC算法的空間譜函數(shù)為

(16)

對式(16)進(jìn)行譜峰搜索,其譜峰位置點處即為相干入射信號DOA。

綜上所述,本文提出的I-MUSIC算法步驟可歸納為圖2。

圖2 相干信號的改進(jìn)MUSIC算法步驟

3 仿真實驗

對于接收到的多個信號,一般可以用信號之間的互相關(guān)系數(shù)衡量它們之間的關(guān)聯(lián)程度。信號si(t)和sj(t)之間的相關(guān)系數(shù)可以表示為

(17)

相關(guān)系數(shù)滿足|ξij|≤1。當(dāng)|ξij|=0時,稱si(t)與sj(t)不相關(guān);當(dāng)0<|ξij|<1時,稱si(t)與sj(t)相關(guān);當(dāng)|ξij|=1時,稱si(t)與sj(t)相干。

仿真1 將I-MUSIC算法與MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法和文獻(xiàn)[12]的算法進(jìn)行仿真對比。設(shè)置3個相干信號,且入射角分別為-20°,5°,40°。陣列的陣元間距為半波長,陣元數(shù)為8,信噪比(signal-to-Noise Rasio,SNR)的定義為信號能量與噪聲能量的比值[20],信噪比越大表示信號的能量越大,噪聲越小,在進(jìn)行實驗仿真時效果越好。這里將信噪比設(shè)置為10 dB,快拍數(shù)為500,則各算法對信號DOA估計結(jié)果如圖3和表1所示。

圖3 I-MUSIC、MUSIC、FSS、FBSS算法的DOA譜估計

表1 文獻(xiàn)[12]算法信號DOA估計結(jié)果

由圖3和表1可以看出,當(dāng)信號為相干信號時,MUSIC不能有效的估計出3個相干信號,而I-MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法和文獻(xiàn)[12]算法可以很好地估計出所有的相干信號,且在譜估計算法中I-MUSIC的峰值更尖銳,性能最優(yōu)。由于文獻(xiàn)[12]算法是采用ESPRIT進(jìn)行DOA估計的,所以這里采用表格的形式對信號DOA結(jié)果進(jìn)行展示。

仿真2 設(shè)置3個相干入射信號,且角度分別為0°,7°,30°。陣列的陣元間距為半波長,陣元數(shù)為8,對比I-MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法和文獻(xiàn)[12]算法的DOA估計性能。為了更直觀地查看各算法的性能優(yōu)劣,這里采用了各算法DOA估計時的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)隨SNR和快拍數(shù)變化的頻譜圖進(jìn)行展示。RMSE定義為

(18)

1)相干信號的DOA估計性能隨SNR變化

固定快拍數(shù)為200,信噪比SNR從-10 dB變化到20 dB,各算法在對入射相干信號進(jìn)行DOA估計時的RMSE如圖4所示。

圖4 相干信號DOA估計的RMSE隨信噪比的變化

由圖4可以看出,針對入射相干信號的DOA估計,I-MUSIC算法的估計性能在各信噪比下均優(yōu)于其他算法,尤其是在信噪比較低的情況下優(yōu)勢更為明顯。

2)相干信號的DOA估計性能隨快拍數(shù)變化

固定信噪比為5 dB,快拍數(shù)從50變化到400,各算法在對入射相干信號進(jìn)行DOA估計時的RMSE如圖5所示。

圖5 相干信號DOA估計的RMSE隨快拍數(shù)的變化

由圖5可以看出,針對相干入射信號的DOA估計,本文所提的I-MUSIC算法估計性能在各快拍下均優(yōu)于其他算法。

仿真3 設(shè)置7個相干信號,且入射角分別為-60°,-40°,-20°,0°,20°,40°,60°,陣元數(shù)為8,信噪比為10 dB,快拍數(shù)為500,驗證I-MUSIC無陣列孔徑損失。I-MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法的信號DOA譜估計結(jié)果分別如圖6和圖7所示,文獻(xiàn)[12]算法的信號DOA估計結(jié)果如表2所示。

(b)FSS算法的DOA譜估計

(c)FBSS算法的DOA譜估計圖6 8個陣元7個相干入射信號時I-MUSIC、FSS、FBSS算法的DOA譜估計

圖7 8個陣元7個相干入射信號時I-MUSIC、FSS、FBSS算法的DOA譜估計

表2 文獻(xiàn)[12]算法對所有信號的DOA估計結(jié)果

對于M個陣元組成的陣列,FSS算法最多能夠識別出?M/2」個相干入射信號[7],FBSS算法最多能夠識別出?2M/3」個相干入射信號[7],均存在陣列孔徑損失,因此它們在此仿真實驗中(M=8)均無法成功識別出7個相干入射信號,如圖6(b)、(c)所示。但I(xiàn)-MUSIC和文獻(xiàn)[12]算法一樣,由于沒有犧牲陣列孔徑,所以均能成功識別出最多M-1 = 7個相干入射信號,如圖6(a)和表2所示。由于文獻(xiàn)[12]算法是采用ESPRIT算法進(jìn)行DOA估計的,所以這里采用表格的形式對DOA結(jié)果進(jìn)行展示。

值得注意的是,雖然文獻(xiàn)[12]算法和本文改進(jìn)算法一樣不存在孔徑損失,但其DOA估計性能不及本文算法。并且由于本文I-MUSIC算法與FSS算法以及FBSS算法都是利用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計的,都需進(jìn)行譜峰搜索,所以計算復(fù)雜度相類似。文獻(xiàn)[12]算法是利用ESPRIT算法進(jìn)行DOA估計的,盡管I-MUSIC算法在計算復(fù)雜度方面稍遜于文獻(xiàn)[12]算法,但是由于文獻(xiàn)[12]算法只能使用ESPRIT算法進(jìn)行DOA估計而不適用于MUSIC算法,所以不能將其運(yùn)用到MUSIC算法中進(jìn)一步提升DOA估計性能。

4 結(jié)束語

本文針對相干信號DOA估計,利用信號協(xié)方差矩陣中兩個最大特征值對應(yīng)的兩個特征向量,提出了一種改進(jìn)的MUSIC算法,即I-MUSIC,成功解決了MUSIC算法對相干入射信號無效的問題。理論分析和實驗結(jié)果表明,與文獻(xiàn)報道的方法相比,I-MUSIC算法無需犧牲陣列孔徑并且具有更優(yōu)的DOA估計性能。

本文是在均勻線陣的基礎(chǔ)上對相干信號DOA估計進(jìn)行研究的,而如何將算法擴(kuò)展到L型陣列、圓形陣列以及一些不規(guī)則陣列中去,是接下來的研究方向。