含有量詞命題的真假判斷技巧

■陳榮慶

含有量詞命題(全稱量詞命題、存在量詞命題)的真假判斷及其綜合應(yīng)用問題,是比較常見的一種基本題型,也是高考的?？碱}型。判斷全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;判斷存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只要在限定集合內(nèi)找到一個x=x0,使p(x0)成立即可。由此,產(chǎn)生一些與之相關(guān)的命題真假的判斷技巧與方法。

一、特值法判斷真假

含有量詞命題的真假判斷中,有時可以通過特殊值、特殊元素等進行合理驗證,根據(jù)特殊值代入原問題,即可判斷命題的真假。特值法經(jīng)常用來判斷存在量詞命題是真命題或用來判斷全稱量詞命題為假命題。

例1(多選題)下列命題中的假命題是( )。

A.?x∈R,tanx=1

B.至少有一個實數(shù)x,使得x2≤0

C.?x∈R,2x＞x2

D.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,A、B是存在量詞命題,C、D 是全稱量詞命題。通過特殊值代入對應(yīng)的命題,分析與判斷命題的真假。

解：A 中,當(dāng)x=45°時,tanx=1,所以此命題為真命題。B中,當(dāng)x=0時,x2=0≤0,所以此命題為真命題。C 中,當(dāng)x=2 時,2x=x2=4,不滿足2x＞x2,所以此命題為假命題。D 中,當(dāng)兩個無理數(shù)分別為時,其和不是無理數(shù),所以此命題為假命題。應(yīng)選CD。

在存在量詞命題中,特殊值代入使得結(jié)論成立時,則可以判斷該命題為真命題;在全稱量詞命題中,特殊值代入使得結(jié)論不成立時,則可以判斷該命題為假命題。

二、反例法判斷真假

含有量詞命題的真假判斷中,當(dāng)直接判斷存在一定困難時,借助相應(yīng)的反例來判斷更加有效。反例法常用來判斷全稱量詞命題的真假。

例2(多選題)現(xiàn)有下列命題,其中真命題是( )。

A.?x∈R,-x2＜0

B.所有素數(shù)都是奇數(shù)

C.?x∈R,x2-x-1=0

D.若p:?x∈N,x2≥1,則?p:?x∈N,x2＜1

分析：根據(jù)題設(shè)條件,A、B 中通過舉反例,利用特殊值的選取來判斷命題的真假。C中,利用方程的解進行判斷。D 中,全稱量詞命題的否定是存在量詞命題。

解：A 中,當(dāng)x=0 時,-x2=0,所以此命題為假命題。B中,因為2是素數(shù),但其不是奇數(shù),所以此命題為假命題。C 中,由方程x2-x-1=0,解得,所以此命題為真命題。D 中,因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,所以此命題為真命題。應(yīng)選CD。

在全稱量詞命題中,特殊值代入使得結(jié)論不成立時,則可以判斷該命題為假命題。

三、綜合法判斷真假

含有量詞命題的真假判斷中,借助相關(guān)知識間的綜合、條件間的關(guān)聯(lián)等進行必要的邏輯推理,利用綜合法,通過推理分析來判斷命題的真假。

例3(多選題)下列命題中的真命題是( )。

A.?x∈Z,x2的個位數(shù)字不等于3

B.設(shè)非空集合P,Q滿足P∩Q=P,?x?Q,都有x?P

C.存在鈍角三角形的內(nèi)角不是銳角或鈍角

D.?x∈(0,1),x2=

分析：通過對命題進行合理的推理與分析,將數(shù)的運算、集合的運算、三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識加以交匯與融合,進行綜合推理與分析。

解：A 中,?x∈Z,其個位數(shù)字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,則x2的個位數(shù)字是0,1,4,5,6,9,不可能等于3,符合題意,所以此命題為真命題。B中,由P∩Q=P,可知P?Q,則?x∈P,都有x∈Q,此時該命題為真命題,則其逆否命題為:?x?Q,都有x?P,根據(jù)原命題與逆否命題的關(guān)系知其也是真命題。C中,因為任意的鈍角三角形,其內(nèi)角和是180°,所以對應(yīng)的內(nèi)角是兩個銳角和一個鈍角,所以此命題為假命題。D 中,作出函數(shù)y=x2與的圖像(圖略),結(jié)合圖像可知交點坐標為(1,1),故不符合題意,此命題為假命題。應(yīng)選AB。

結(jié)合各命題中相關(guān)知識加以展開與綜合,或邏輯推理,或數(shù)學(xué)運算,然后直接分析與判斷相關(guān)命題的真假,這是判斷此類命題的真假時比較常用的技巧與方法。

四、否定法判斷真假

全稱量詞命題或存在量詞命題的真假判斷,可以轉(zhuǎn)化為原命題的否定的真假判斷。原命題是真命題(或假命題),其對應(yīng)的否定就是假命題(或真命題)。

例4判斷下列命題的真假。

(1)?x∈R,使得-x2-1≥0。

(2)存在一個負數(shù)x,使得

分析：判斷命題的真假需要進行必要的邏輯推理或數(shù)學(xué)運算,而通過命題的否定,直接分析否定命題的真假,從而可得原命題的真假。

解：(1)中命題的否定:?x∈R,-x2-1＜0。

因為?x∈R,-x2≤0,所以-x2-1≤0-1＜0,即-x2-1＜0成立,該命題的否定為真命題,所以(1)中的命題為假命題。

(2)中命題的否定:任意一個負數(shù)x,都有

因為任意一個負數(shù)x,都有成立,該命題的否定為真命題,所以(2)中的命題為假命題。

否定法判斷全稱量詞命題或存在量詞命題的真假時,往往先把相應(yīng)的命題加以否定,通過判斷對應(yīng)否定命題的真假,再反過來判斷原命題的真假。利用否定法的轉(zhuǎn)化來判斷命題的真假,有時可以更容易判斷。

1.若x∈A,且∈A,則稱A是伙伴關(guān)系 集 合。 集 合3,4}的所有非空子集中,具有伙伴關(guān)系的集合個數(shù)為( )。

A.15 B.16 C.64 D.128

2.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B∩A=B,則實數(shù)m的取值集合為____。