關(guān)于Euler函數(shù)的一個(gè)非線性不定方程的可解性

肖盈，姜蓮霞

(1.喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什844000；2.喀什大學(xué) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究中心，新疆 喀什 844000)

Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論研究中的一個(gè)重要函數(shù)。在數(shù)論中,數(shù)論函數(shù)方程可解性的討論一直是令人關(guān)注的研究領(lǐng)域[1]。對(duì)于包含Euler函數(shù)形如

φ(x1…xn)=k1φ(x1)+…+knφ(xn)

(1)

的線性方程可解性問題有著不少的研究結(jié)果,文獻(xiàn)[2]討論了方程φ(x1x2)=11φ(x1)+11φ(x2)的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[3]討論了方程φ(x1x2)=7φ(x1)+13φ(x2)的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[4]討論了方程φ(x1x2x3)=6(φ(x1)+φ(x2)+φ(x3))的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[5]討論了方程φ(x1x2x3)=φ(x1)+2φ(x2)+3φ(x3)的所有整數(shù)解。

對(duì)于包含Euler函數(shù)φ(n)的形如

φ(x1…xn)=k1φ(x1)+…+knφ(xn)+c

(2)

的非線性方程可解性問題的研究有著豐富的研究結(jié)果,文獻(xiàn)[6]討論了方程φ(x1x2)=φ(x1)+6φ(x2)+6的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[7]討論了方程φ(x1x2)=φ(x1)+28φ(x2)+28的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[8]討論了方程φ(x1x2)=3φ(x1)+ 4φ(x2)+16的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[9]討論了方程φ(x1x2)=4φ(x1)+7φ(x2)+28的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[10]討論了方程φ(x1x2)=7φ(x1)+8φ(x2)+16的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[11]討論了方程φ(x1x2)=9φ(x1)+16φ(x2)+24的所有整數(shù)解;文獻(xiàn)[12]討論了方程φ(x1x2)=k1φ(x1)+k2φ(x2)+c2的可解性,其中k1,k2,c為勾股數(shù)且gcd(k1,k2,c)=1;文獻(xiàn)[13]討論了方程φ(x1x2x3)=3φ(x1)+4φ(x2)+5φ(x3)-14的整數(shù)解;文獻(xiàn)[14]討論了方程φ(x1x2x3x4)=φ(x1)+ 2φ(x2)+3φ(x3)+4φ(x4)+6的所有整數(shù)解。對(duì)方程(2)的可解性問題,本文將討論當(dāng)n=2,k1=7,k2=8,c=18的情況,即討論方程

φ(mn)=7φ(m)+8φ(n)+18

(3)

的可解性,利用初等方法給出其全部的正整數(shù)解。

1 引理

引理1[15]對(duì)任意的正整數(shù)m與n,若m|n,則φ(m)|φ(n)。

引理2[15]對(duì)任意的正整數(shù)m與n,有

其中d為m與n的最大公因數(shù)。

引理3[16]當(dāng)n≥2時(shí),有φ(n)

2 主要定理及證明

定理1不定方程(3)有正整數(shù)解(m,n)=(11,69),(11,92),(11,138),(22,69),(83,15), (83,16),(83,20),(83,24),(83,30),(166,15),(9,93),(9,186),(18,93),(9,99),(9,198),(18,99),(18,18),共17組。

證明令gcd(m,n)=d,則d|n,d|m。由引理1可得φ(d)|φ(n),φ(d)|φ(m),則有φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d),其中m1,n1∈Z+,其中Z+為正整數(shù)集合。結(jié)合引理2,有

dm1n1φ(d)。

再由方程(3),有φ(d)(dm1n1-7m1-8n1)=18。結(jié)合引理3,則有φ(d)=1,2,6,18。以下就φ(d)的值分別加以討論。

情況1當(dāng)φ(d)=1,此時(shí)d=1,2,且

dm1n1-7m1-8n1=18。

(4)

1)當(dāng)d=1時(shí),由式(4)有m1n1-7m1-8n1=18,從而有(m1-8)(n1-7)=74,則有:

2)當(dāng)d=2時(shí),由式(4)有2m1n1-7m1-8n1=18,即(m1-4)(2n1-7)=46,則有:

情況2當(dāng)φ(d)=2,此時(shí)d=3,4,6,且

dm1n1-7m1-8n1=9。

(5)

1)當(dāng)d=3時(shí),由式(5)有3m1n1-7m1-8n1=9,可得(3m1-8)(3n1-7)=83,則有:

2)當(dāng)d=4時(shí),由式(5)有4m1n1-7m1-8n1=9,即(4m1-8)(4n1-7)=92,則有:

3)當(dāng)d=6時(shí),由式(5)有6m1n1-7m1-8n1=9,可得(3m1-4)(6n1-7)=55,則有:

情況3當(dāng)φ(d)=6,此時(shí)d=7,9,14,18,且

dm1n1-7m1-8n1=3。

(6)

1)當(dāng)d=7時(shí),由式(6)有7m1n1-7m1-8n1=3,可得(7m1-8)(n1-1)=11,則有:

此時(shí)上述方程不存在正整數(shù)解,因而此時(shí)方程(3)無整數(shù)解。

2)當(dāng)d=9時(shí),由式(6)有9m1n1-7m1-8n1=3,可得(9m1-8)(9n1-7)=83,則有:

3)當(dāng)d=14時(shí),由式(6)有14m1n1-7m1-8n1=3,可得(7m1-4)(2n1-1)=7,則有:

此時(shí)上述方程不存在正整數(shù)解,因而此時(shí)方程(3)無整數(shù)解。

4)當(dāng)d=18時(shí),由式(6)有18m1n1-7m1-8n1=3,可得(9m1-4)(18n1-7)=55,則有:

情況4當(dāng)φ(d)=18,此時(shí)d=19,27,38,54,且

dm1n1-7m1-8n1=1。

(7)

將d=19,27,38,54逐一代入式(7)解相應(yīng)的不定方程均不存在正整數(shù)解,因而此時(shí)方程(3)無整數(shù)解。

綜合以上4種情況的討論,可得定理1。證畢。