一類退化中心附近的Melnikov展開式

尚德生

(山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東 淄博 255049)

平面動力系統(tǒng)分支理論研究中的一個重要的課題就是中心型奇點附近的極限環(huán)分支研究。當一個平面系統(tǒng)的奇閉軌是同宿或異宿于雙曲鞍點時,已經(jīng)有比較完善的理論和應(yīng)用成果[1-3]。當奇閉軌是同宿或異宿于非雙曲鞍點,或者更加復(fù)雜的退化奇點(如退化鞍點或尖點)時的分支研究,卻非常復(fù)雜。對于奇點是冪零鞍點和冪零尖點的情形下的奇閉軌分支,已有比較系統(tǒng)的討論[2,4-5],并陸續(xù)對不同類型的相關(guān)微分系統(tǒng)作了討論和應(yīng)用[6-8]。對更進一步的退化奇點情形的同宿或異宿分支問題,文獻[9]對退化尖點環(huán)附近的Melnikov函數(shù)展開式作了一些探索。雖然中心奇點附近的極限環(huán)分支研究成果非常豐富,但是主要集中于初等中心附近的Hopf分支研究,對非初等中心附近的分支問題研究卻比較困難,學(xué)者利用Melnikov函數(shù)法討論了冪零中心附近的展開及應(yīng)用[10-11],對于冪零奇點的分類也給出了相應(yīng)的討論[12]。

本文在文獻[2,5,9-10]的啟發(fā)下,對一類退化中心附近的Melnikov函數(shù)的展開式進行探討,并對m=1,n=1或2的情況,給出比較直觀的結(jié)果。

考慮微分系統(tǒng)

(1)

式中p(x,y),q(x,y) 為x,y的多項式。

假設(shè)在ε=0時,對應(yīng)的Hamilton系統(tǒng):

(2)

相應(yīng)的Hamilton函數(shù)H(x,y)=h滿足H(x,y)=H1(x)+H2(y),且H1(x),H2(y)滿足:

說明:i)當m=n=1時,原點是未擾系統(tǒng)(2)的初等中心;ii)當m,n中一個等于1,另一個大于1時,原點是系統(tǒng)(2)的冪零中心;iii)當m,n都大于1時,原點是系統(tǒng)(2)的退化中心。

不失一般性,假設(shè)H1(2m)(0)>0,H2(2n)(0)>0,而且未擾系統(tǒng)(2)存在圍繞原點(0,0)的一簇周期閉軌Lh,h∈Jα=(0,α),其中α>0。由假設(shè),不妨設(shè)H1(y),H2(x)滿足:

其中

的零點個數(shù)來確定。

因此根據(jù)格林公式,只需要討論系統(tǒng)(1)的一階Melnikov函數(shù):

(3)

式中:

其中δ∈Rn是系統(tǒng)(1)的擾動參數(shù)。

H1(x)=u2m,H2(y)=v2n,

(4)

且滿足xu>0,yv>0成立。

若設(shè)

(5)

(6)

這樣將式(5)、式(6)代入式(3)得

(7)

利用周期軌Lh關(guān)于坐標軸的對稱性,并借助計算機軟件計算得到

(8)

(9)

利用對稱性容易得到

(10)

且有下述結(jié)論成立。

(11)

(12)

證明這里只需要計算

首先利用分部積分法,得

即得

整理可得式(11)成立。

同樣利用分部積分法可得

即

整理可得式(12)成立。

因為對任意i,j存在唯一的非負整數(shù)l,k,r,s,使得i=ml+r,j=nk+s,其中0≤r≤m-1,0≤s≤n-1。根據(jù)引理1遞推可以得到引理2。

引理2對非負整數(shù)i,j=0,1,2,…,有

(13)

引理3當0≤r

(14)

因此,利用式(7)、式(8),結(jié)合引理1—引理3, 可得Melnikov函數(shù)在h=0 附近的展開式。

定理1在Hamilton函數(shù)滿足前面所給退化中心的假設(shè)下, 系統(tǒng)(1)在退化中心附近的Melnikov函數(shù)展開式為

M(h,δ)=

(15)

說明: 定理1中, 當n=1時,則有s=0, 這時式(15)變?yōu)?/p>

這個結(jié)果與文獻[10]的結(jié)果相同。

在m=2,n=1時, Melnikov函數(shù)展開式有推論1。

推論1在m=2,n=1時,系統(tǒng)(1)在冪零中心附近的Melnikov函數(shù)展開式為

(16)

式中展開式的系數(shù):

推論1的證明,利用引理1—引理3和定理1, 利用

在m=2,n=2時, Melnikov函數(shù)展開式有推論2。

推論2在m=2,n=2時,系統(tǒng)(1)在退化中心附近的Melnikov函數(shù)展開式為

(17)

式中展開式的系數(shù):

其中

推論2的證明,利用引理1—引理3和定理1, 得到:

而且

本文用一個例子加以說明。

例1對系統(tǒng)

(18)

式中q(x,y)=y(a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4)+

y3(a5+a6x+a7x2)+a8y5。

(19)

為使得變換

(20)

成立,可設(shè)x=φ(u),其中

(21)

代入式(20),借助計算機軟件計算可遞推得

當j為偶數(shù)時,ej=0,且

這樣根據(jù)推論1直接計算可得

(22)

式中:

C0=7.416 299a0;

C1=2.221 441a0+4.442 883a2+

13.328 649a5;

C2=3.090 124a0+4.120 166a2+

4.944 199a4+3.388 852a5+

6.777 705a7+24.720 996a8;

C3=5.939 271a0+7.127 125a2+

7.775 045a4+4.165 203a5+

5.553 604a7+5.553 604a8;

C4=53.115 806a0+60.703 778a2+

64.274 589a4+7.248 379a5+

8.698 054a7+6.180 249a8;

C5=32.443 266a0+36.048 073a2+

37.615 380a4+14.915 668a5+

17.046 478a7+9.898 784a8。

直接計算可得雅可比行列式

因此得到系統(tǒng)(18)在原點附近至少有5個極限環(huán)存在。