平面向量綜合問(wèn)題分類導(dǎo)析

陳元菊

［摘 要］平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要概念與工具。平面向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)與幾何的雙重身份。平面向量既體現(xiàn)“形”的直觀特征，又體現(xiàn)“數(shù)”的運(yùn)算特征，因而平面向量是聯(lián)系幾何圖形和代數(shù)運(yùn)算的紐帶，平面向量還是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)交匯和聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介。平面向量與代數(shù)、幾何以及三角都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，是高中數(shù)學(xué)眾多知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的交匯點(diǎn)。平面向量的引入，能大大拓寬學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路，為高考試題的命制提供了一個(gè)相對(duì)豐富的脈絡(luò)。在高考中，平面向量常與解三角形、三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識(shí)進(jìn)行綜合考查。鑒于平面向量的重要作用，文章重點(diǎn)分類探析平面向量綜合問(wèn)題，以期幫助數(shù)學(xué)教師了解平面向量在高考中題型的變化和發(fā)展趨勢(shì)。

［關(guān)鍵詞］平面向量；綜合問(wèn)題；解三角形；三角函數(shù)；平面幾何；解析幾何

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）17-0017-04

高中數(shù)學(xué)知識(shí)縱橫聯(lián)系、互相滲透。高考數(shù)學(xué)試題突出考查知識(shí)的全面性和綜合性，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的交匯和融合，試題往往設(shè)計(jì)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處，特別注重考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力。平面向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)和幾何的雙重身份，是一種溝通代數(shù)、幾何與三角的重要工具。下面筆者以例題解析的形式，分別探討平面向量與其他知識(shí)的綜合，以期幫助數(shù)學(xué)一線教師了解平面向量在高考中題型的變化和發(fā)展趨勢(shì)。

一、平面向量與解三角形的綜合

平面向量與解三角形的綜合體現(xiàn)在：平面向量的幾何意義與三角形幾何特征的聯(lián)結(jié)，三角形的邊長(zhǎng)向量描述為向量的模，三角形內(nèi)角（或內(nèi)角的補(bǔ)角）的向量描述為向量的夾角，平面向量的加法、減法、數(shù)量積運(yùn)算可溝通三角形邊、角運(yùn)算，正弦定理、余弦定理、三角形面積公式也都和平面向量運(yùn)算有著直接或間接的聯(lián)系。

平面向量與解三角形的綜合知識(shí)：

在[△ABC]中，內(nèi)角[A、B、C]所對(duì)的邊分別為[a、b、c]，[D]是邊[BC]的中點(diǎn)，則有：

∴[2·BC·（-cosB）=1]，∴[2·BC·cosB=-1] （1）

由三角形的余弦定理可得

[AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB]

∴[32=22+BC2-4·BC·cosB]? （2）

點(diǎn)評(píng)：在這個(gè)問(wèn)題中平面向量數(shù)量積運(yùn)算發(fā)揮了牽線搭橋的作用，利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算建立起了三角形的邊長(zhǎng)與內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系，把問(wèn)題由向量計(jì)算轉(zhuǎn)化為三角形的邊長(zhǎng)與內(nèi)角計(jì)算。此題余弦定理的應(yīng)用也很關(guān)鍵，進(jìn)一步溝通了三角形邊和內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，在求解過(guò)程中運(yùn)用了方程思想。

點(diǎn)評(píng)：此題對(duì)學(xué)生思維能力的考查力度大，用常規(guī)方法去解題無(wú)從下手。由點(diǎn)[D]是邊[AC]的中點(diǎn)聯(lián)想到三角形中線向量的性質(zhì)，向量的平方等于向量模的平方，而向量的模即是三角形中有關(guān)線段的長(zhǎng)度。此題解題過(guò)程中平面向量的切入，起到了“一點(diǎn)突破，全線貫通”的作用，特別是在計(jì)算過(guò)程中，平面向量數(shù)量積貫通了三角形的邊、角的關(guān)系。平面向量運(yùn)算與三角形邊、角運(yùn)算高度契合，可以體會(huì)到平面向量與解三角形的綜合，給了這樣的問(wèn)題一個(gè)創(chuàng)新思路。

平面向量與解三角形的綜合規(guī)律總結(jié)：

1.以平面向量為載體，交叉綜合解三角形；

2.以三角形為載體，利用平面向量數(shù)量積和模的概念等脫去平面向量的“外衣”，轉(zhuǎn)化為三角形的邊、角問(wèn)題。

二、平面向量與三角函數(shù)的綜合

平面向量與三角函數(shù)的綜合也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，平面向量與三角函數(shù)綜合問(wèn)題一般是以三角函數(shù)為背景，根據(jù)平面向量的加法、減法、數(shù)乘向量、數(shù)量積等運(yùn)算性質(zhì)，將平面向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題來(lái)解答。此類問(wèn)題往往融合向量的數(shù)量積、向量的模 、向量的坐標(biāo)表示以及三角函數(shù)的性質(zhì)、公式、化簡(jiǎn)、最值，具有覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、解法靈活的特點(diǎn)。

平面向量與三角函數(shù)的綜合常涉及向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題中平面向量本質(zhì)上只是作為知識(shí)背景或載體的形式出現(xiàn)，考查重點(diǎn)實(shí)際為三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙?shí)施三角函數(shù)知識(shí)與平面向量知識(shí)的轉(zhuǎn)化。

平面向量與三角函數(shù)的綜合規(guī)律總結(jié)：

題目條件給出平面向量的坐標(biāo)中包含有三角函數(shù)的形式，一般通過(guò)平面向量平行、垂直、向量模、數(shù)量積的運(yùn)算，將平面向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，然后再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解。

三、平面向量與平面幾何的綜合

平面向量與平面幾何的綜合問(wèn)題的解題關(guān)鍵是：根據(jù)平面向量在平面圖形中的幾何意義，將平面幾何的問(wèn)題化歸為平面向量的問(wèn)題來(lái)處理，或者將平面向量的問(wèn)題化歸為平面幾何的問(wèn)題來(lái)處理。

平面向量與平面幾何的綜合知識(shí)：

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合平面向量共線定理，把幾何問(wèn)題中三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)換成向量共線，參數(shù)[t]的引入，把平面向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于[t]的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)可求得最小值。

點(diǎn)評(píng)：解決涉及平面幾何圖形的向量運(yùn)算問(wèn)題常有兩種方法：一是定義法，二是坐標(biāo)法。定義法即根據(jù)平面向量的幾何性質(zhì)，建立起平面幾何與平面向量的關(guān)系，用平面向量表示問(wèn)題中的有關(guān)幾何元素，如平面向量的三角形加法法則、平行四邊形加法法則、三角形減法法則、數(shù)量積的定義，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題。坐標(biāo)法即把平面幾何圖形構(gòu)造到平面直角坐標(biāo)系中，賦予圖形中有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、有關(guān)平面向量的坐標(biāo)，一旦引入向量的坐標(biāo)表示，向量的加減、向量的模、向量的數(shù)量積等運(yùn)算，就都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就可以將形與數(shù)緊密結(jié)合在一起。對(duì)于長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形中的向量運(yùn)算，可以考慮建立直角坐標(biāo)系，用平面向量的坐標(biāo)法解決，把幾何關(guān)系“翻譯”成向量坐標(biāo)運(yùn)算，這樣可以大大優(yōu)化解題過(guò)程。

平面向量與平面幾何的綜合規(guī)律總結(jié)：

平面向量與平面幾何的綜合問(wèn)題考查平面幾何問(wèn)題中向量知識(shí)的運(yùn)用，常以平面幾何的基本圖形（如三角形、四邊形等）為背景，從平面向量的“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面特征入手進(jìn)行思考。如果重點(diǎn)考查平面向量的“數(shù)”的特點(diǎn)，就要從平面向量的代數(shù)運(yùn)算上去突破，可以建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行向量運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。如果重點(diǎn)考查平面向量的“形”的特點(diǎn)，就要從平面向量的幾何意義上去突破，這就需要選擇兩個(gè)合適的向量作基底，根據(jù)平面向量的幾何意義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中“形”的問(wèn)題。

四、平面向量與解析幾何的綜合

從“形”的角度看，平面向量是有方向的線段；從“數(shù)”的角度看，平面向量的坐標(biāo)可以用它的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示；在思想方法上，平面向量和解析幾何保持高度一致，所以平面向量和解析幾何有著天然的內(nèi)在聯(lián)系。平面向量的形式和語(yǔ)言經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何問(wèn)題中，涉及平行（共線）、垂直、夾角、長(zhǎng)度、軌跡等問(wèn)題的處理，解決問(wèn)題的基本思路有兩種：一是利用平面向量坐標(biāo)表示，把幾何推理、證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，即把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”；二是將平面向量代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為平面圖形的位置關(guān)系，即把“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”。

平面向量與解析幾何的綜合：

1.以平面向量為載體，在平面向量與解析幾何知識(shí)層面上進(jìn)行整合，幾何元素之間的平行、垂直、共線等關(guān)系運(yùn)用平面向量的語(yǔ)言來(lái)描述和解析，綜合考查學(xué)生對(duì)平面向量的加法、減法，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及其幾何意義，以及對(duì)圓錐曲線的定義和性質(zhì)的理解。

2.以平面向量作為工具，在平面向量與解析幾何應(yīng)用層面上進(jìn)行整合，考查學(xué)生對(duì)平面向量的概念、加減運(yùn)算幾何意義、坐標(biāo)表示、數(shù)量積幾何意義、平面向量共線定理的理解。另外，圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及有關(guān)角度、長(zhǎng)度、軌跡等問(wèn)題，都可應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算來(lái)解決。

A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心

解析：∵拋物線的解析式為[x2=-8y]，準(zhǔn)線為[y=2]，∴[A（0，2）]，

設(shè)[MN]的中點(diǎn)為[P]，由向量加法法則得

∴[PB]垂直平分線段[MN]。

設(shè)直線[MN]的方程為[y=kx+2]，與[x2=-8y] 聯(lián)立消去[y]，得[x2+8kx+16=0]，由[Δ>0?64k2-4×16>0?k2>1]，

點(diǎn)評(píng)：處理解析幾何中的垂直問(wèn)題，可根據(jù)平面向量垂直的充要條件[a·b=0?a⊥b]（[a、b]是非零向量）。

平面向量與解析幾何的綜合規(guī)律總結(jié)：

1.解析幾何中復(fù)雜的推理、位置關(guān)系可根據(jù)平面向量的幾何意義，運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)向量坐標(biāo)演化成簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)；二是利用平面向量平行或垂直的充要條件。

2.某些解析幾何問(wèn)題若用常規(guī)方法去解決，會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算繁雜而導(dǎo)致失敗，不妨利用平面向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，即把平面向量作為工具去探索圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，回歸到解析幾何的基本思想方法，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

綜上可知，平面向量與解三角形、三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何的綜合，凸顯了平面向量的交匯性和工具性。平面向量與代數(shù)、幾何、三角都具有相當(dāng)高的融合性，平面向量使整個(gè)高中數(shù)學(xué)教材體系更富有活力，平面向量為學(xué)生解決問(wèn)題提供了一種有效捷徑。用平面向量作為工具處理有關(guān)問(wèn)題，簡(jiǎn)練優(yōu)美，極具優(yōu)越性。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解平面向量的兩個(gè)核心特征：幾何特征和代數(shù)特征，把握平面向量與其他知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行平面向量與其他知識(shí)間的綜合，樹(shù)立應(yīng)用平面向量解決問(wèn)題的意識(shí)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 余華安.例談平面向量在解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2008（Z1）：64-66.

［2］? 王紅革，許志勇，沈婕.高考中“平面向量”測(cè)試對(duì)教學(xué)的反撥效應(yīng)分析：以普通高考（天津卷）為例［J］.考試研究，2014（2）：3-9.

［3］? 干亞清.平面向量在解析幾何中的應(yīng)用［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（14）：46-47，40.

［4］? 伊建軍.平面向量題型與高考走勢(shì)［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2008（2）：26-28.

［5］? 陳利民.平面向量及其運(yùn)用［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2013（2）：1-4.