求軌跡方程方法研究

許莉

［摘 要］求軌跡方程是高中數(shù)學(xué)解析幾何常見的一類題型，由于動點運動規(guī)律給出的條件差別很大，很多學(xué)生找不出條件之間的聯(lián)系。文章總結(jié)了直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法、齊次化法等常用的解題方法，并配以相應(yīng)的數(shù)學(xué)例題，對這些方法進(jìn)行了歸納整理，以提高學(xué)生的解題能力。

［關(guān)鍵詞］軌跡方程；方法；交軌法

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）17-0013-05

求軌跡方程是解析幾何的重要內(nèi)容，也是高考中?？嫉念}型，很多學(xué)生在處理這類題目時會感到有些困難，因為不懂得尋找題干的內(nèi)在規(guī)律和知識之間的相互聯(lián)系，建立了坐標(biāo)系后，盡管進(jìn)行了大量的數(shù)學(xué)運算，仍然沒有辦法得到正確的軌跡方程。其實，求軌跡方程的方法是多種多樣的，只要能夠準(zhǔn)確審題，并運用正確的方法，問題自然就迎刃而解了。

首先，要了解“動點軌跡”的概念。我們把平面上具有某種共同屬性的動點的集合，叫作該動點的軌跡。動點的軌跡可以是平面上的點集，也可能是一些孤立的點，一般情況下是曲線或曲線段，高中階段主要研究直線或線段或圓錐截線段等。

其次，對“曲線”“方程”概念的了解。若曲線 [C ]與某一雙變量方程[f（x，y）=0]有下列對應(yīng)性關(guān)系：滿足方程的都是曲線上各點的坐標(biāo)。 如果通過解方程，所得的解都在同一條曲線上，這個方程就可以叫作曲線的方程。反之，給出曲線，就可以找到對應(yīng)的方程，這個方程就可以叫作曲線的方程。

再次，求動點軌跡方程的一般步驟為：

（1）建（建立合適的坐標(biāo)系）；

（2）設(shè)（設(shè)軌跡上的動點為[P（x，y）]）；

（3）列（列出動點所滿足的條件式）；

（4）代（根據(jù)條件特點，選擇等式，如距離、斜率等變換）；

（5）化（化簡所得的方程）。

最后，求動點軌跡方程的基本方法是借助直角坐標(biāo)系，使幾何的點集與代數(shù)的方程對應(yīng)起來。因此它的實質(zhì)是形數(shù)對應(yīng)、形數(shù)結(jié)合與轉(zhuǎn)化的思想方法。求軌跡方程的方法比較多，下面介紹常用的幾種方法。

一、直接法

如果動點運動的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，處理這些條件就不需要特別的技巧，直接列出符合出動點的等量關(guān)系式，這樣就可以直接得出軌跡方程，這種方法稱為直接法。

［例1］若線段AB的長度是一個定值[2a]，線段的兩個端點[A]和[B]分別在[y]軸和[x]軸上滑動，求[AB]中點[M]的軌跡方程。

分析：題目沒有給坐標(biāo)系，需要建立適當(dāng)?shù)淖?/p>

解： 設(shè)[M]點的坐標(biāo)為[（x，y）]，在直角三角形[AOB]中，由中線定理得

所以[M]點的軌跡是以[O]為圓心，[a]為半徑的圓。

直接法有下列幾種情況：

（1）如果題目中包含了已知等量關(guān)系，求動點的軌跡，可以直接用代數(shù)法表示，那么這些量關(guān)系就直接用代數(shù)法代入計算。

（2）題目未給出坐標(biāo)系時，需要根據(jù)題目設(shè)定的條件，選擇合適的坐標(biāo)系，列出符合條件的等式，這樣便可求得該圖形的軌跡方程。

（3）有時要使用符合題設(shè)的相關(guān)公式，使其式子中含有動點坐標(biāo)，進(jìn)行相應(yīng)的恒等變換。

（4）有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，它們之間的數(shù)量關(guān)系可以利用勾股定理、垂線定理、中線定理、連心線等平面幾何中的定理、性質(zhì)進(jìn)行分析。

分析：本題給出的條件已經(jīng)可以直接找出點[P]所滿足的式子，故而可以直接寫出點[P]滿足的方程，從而得到曲線[C]的方程。

解：設(shè)點[P（x，y）]，則[Q（-1，y）]，且[F（1，0）]。

故動點[P]的軌跡[C]的方程為[y2=4x]。

點評：雖然題目條件很難判斷動點[P]的運動規(guī)律是否符合某些曲線的定義，但題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，用向量推導(dǎo)出來，就能得到軌跡方程。因此，直接法在求軌跡方程的題目當(dāng)中的應(yīng)用是很廣泛的，需要引起學(xué)生的重視。在計算軌跡方程時，要求盡量簡單化，雖然這樣有時會使方程的同解性遭到破壞，但是可以通過畫圖檢驗，把漏點加進(jìn)去，或者把多余的點刪掉。

二、定義法

如果動點 [P] 的運動規(guī)律符合我們已知的某種曲線的定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線），可以先設(shè)出軌跡方程，然后在方程中根據(jù)已知的條件求出常數(shù)，就可以得到軌跡方程。

［例2］如圖3所示，[M（-2，0）]和[N（2，0）]是平面上的兩點，動點[P]滿足：[PM+PN=6]，求點[P]的軌跡方程。

分析：由已知，可根據(jù)橢圓的定義，判斷點[P]的軌跡為橢圓，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法，分別求解出[a、b]即可。

解：由已知，[M（-2，0）]和[N（2，0）]是平面上的兩點，動點[P]滿足[PM+PN=6>MN=4]，

由橢圓的定義可知，點[P]的軌跡是以[M（-2，0）]和[N（2，0）]為焦點，長軸為[6]的橢圓。

點評：求軌跡方程時，如果相關(guān)問題與圓錐曲線有關(guān)，要注意觀察動點 [P] 的軌跡與圓錐曲線的定義是否一致。如果符合我們熟悉的某條曲線的定義，那么可以先根據(jù)已知的情況確定軌跡方程，然后進(jìn)行計算，這樣軌跡的方程就可以得到了。同時，一定要注意所求的軌跡是完整的圓還是完整的橢圓、雙曲線、拋物線等，如果不是完整的曲線，就需要限定取值的范圍。

變式2.已知兩個定圓[O1]和[O2]，它們的半徑分別是1和2，且[O1O2=4]，動圓[M]與圓[O1]內(nèi)切，也與圓[O2]外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動圓圓心[M]的軌跡方程，并解釋軌跡是何種曲線。

分析：利用內(nèi)切和外切兩圓的充要條件，通過分析題目條件，符合雙曲線的定義。

解：如圖4所示，以[O1O2]的中點[O]為原點，[O1O2]所在直線為[x]軸建立平面直角坐標(biāo)系。由[O1O2=4]，得[O1（-2，0）]、[O2（2，0）]，設(shè)動圓[M]的半徑為[r]，則由動圓[M]與圓[O1]內(nèi)切，有[MO1=r-1]；由動圓[M]與圓[O2]外切，有[MO2=r+2]。

∴[MO2-MO1=3]，

∴點[M]的軌跡是以[O1]、[O2]為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支。

點評：應(yīng)用定義法的關(guān)鍵是要熟悉一些基本曲線的定義。比如橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線。

三、相關(guān)點法

相關(guān)點法：又稱代入法，即曲線中一個動點[P（x，y）]依賴于另一個動點[Q（x0，y0）]運動，則先假設(shè)曲線上任意一點為[P（x，y）]，另外一個相關(guān)點為[Q（x0，y0）]，根據(jù)條件，列出[x、y]與[x0、y0]的表達(dá)式，再反解[x0、y0]，代入[x0、y0]滿足的方程，即得動點軌跡方程。

分析：動點[M（x，y）]呈現(xiàn)了一定的規(guī)律運動，對于動點[M]所需滿足的條件不容易明確或計算。但動點[P]的軌跡已知或易得，可先以 [x0、y0]表示為[x、y]的函數(shù)，再將它代入[P]的軌跡方程式，將其整理后得到[M]的軌跡方程。

因此點[P]的軌跡方程為[x2+y2=2]。

點評： 如果點[P] 的運動是由另一點[M] 的運動引起的，而該點的運動規(guī)律已知，則可設(shè)從動點（求軌跡的動點）為[M（x0，y0）]，主動點（已知曲線上的點）為[P（x，y）]? ，根據(jù)這兩個點的關(guān)系求出曲線的方程。根據(jù)從動點與主動點坐標(biāo)的關(guān)系求出曲線方程，需要檢驗化簡后的方程的完備性和純粹性。

變式3.設(shè)[A、B]分別是直線[y=255x]和[y=-255x]上的兩個動點，并且[AB=25]，動點[P]滿足[OP=OA+OB]，求動點[P]的軌跡[C]的方程。

分析：題目出現(xiàn)了兩個動點，而且其中一個動點由另一個動點運動而改變，即可判斷可用相關(guān)點法。

點評：“相關(guān)點法”的基本步驟。

（1）設(shè)點。設(shè)從動點坐標(biāo)為[（x，y）]，主動點坐標(biāo)為[（x1，y1）]；

（3）代換。所求動點的軌跡方程可由已知曲線方程中的變量以關(guān)系式表示后求得。

四、參數(shù)法

參數(shù)法主要是應(yīng)用在動點橫縱坐標(biāo)關(guān)系難以直接建立聯(lián)系的情況下，引入一個中間變量，用這個中間變量消除參數(shù)，得到動點的軌跡方程，常選用的參數(shù)有[時間t]、[角度α]、[斜率k等]。

分析：點[P]的運動是由點[A]、點[B]的運動引起的，而[A]、[B]的變動又和斜率有關(guān)，所以可選直線的斜率為參數(shù)。

解：設(shè)[P（x，y）]，[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，過點（0，1）的直線為[y=kx+1]，

點評：本題通過引入?yún)?shù)、用參數(shù)法求解較為簡捷。應(yīng)用參數(shù)法求軌跡方程時，要選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)，參數(shù)必須能刻畫動點的運動變化，并且與動點坐標(biāo)有直接的內(nèi)在聯(lián)系，選定參數(shù)之后，即可當(dāng)作已知數(shù)，運用軌跡條件，求出動點的坐標(biāo)，即得軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)即得軌跡的普通方程。

變式4.已知曲線[C：y=x2]與直線[l：x-y+2=0]交于兩點[A（xA，yA）]和[B（xB，yB）]，且[xA<xB]。記曲線[C]在點[A]和點[B]之間那一段[L]與線段[AB]所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為[D]。設(shè)點[P（s，t）]是[L]上的任一點，且點[P]與點[A]和點[B]均不重合。若點[Q]是線段[AB]的中點，試求線段[PQ]的中點[M]的軌跡方程。

分析：由于點[P]在題目中已經(jīng)自帶了參數(shù)，通過參數(shù)法，將題目中的條件進(jìn)行化簡，即可得到軌跡方程。

點評：求軌跡方程時，如果其他方法都無法解決，就要大膽設(shè)參數(shù)，通過題設(shè)條件列出動點與參數(shù)之間的關(guān)系式，列方程后，利用方程組之間的關(guān)系消參，求出動點之間的關(guān)系式和軌跡方程。參數(shù)法的主要解題思想是：設(shè)而不求，這樣就可以大大減少了繁雜的運算，輕松得出軌跡方程。

五、交軌法

“交軌法”常用于求解兩條動直線的交點的軌跡方程。

分析：知道了點[P]為兩曲線的交點，那么交點方程的求解可采用兩種方法。一種是直接用這兩條曲線的方程求出交點方程，另一種是先列出交點參數(shù)方程的方程組，再轉(zhuǎn)換成一般方程進(jìn)行求解。哪一種方法更容易實施，就選擇哪一種方法。

解：設(shè)[P（x，y）]，[M（x1，y1）]，[N（x1，-y1）]，又[A1（-a，0）]，[A2（a，0）]

可得直線[A1M]的方程為：

當(dāng)[a=b]時，點[P]的軌跡是以原點為圓心、[a]為半徑的圓；當(dāng)[a≠b]時，點[P]的軌跡是橢圓。

點評：如果所求的點是兩條曲線的交點，可以試著將兩條曲線的方程聯(lián)立起來，求出交點的軌跡方程，也可以解方程組先求出交點坐標(biāo)的參數(shù)方程，再化作普通的方程。

[C0]相交于[A、B、C、D]四點，求直線[AA1]與直線[A2B]交點[M]的軌跡方程。

分析：題目要求的是兩直線的交點軌跡問題，故可以用“交軌法”進(jìn)行求解。

解：設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x1，-y1）]，又[A1（-a，0）]，[A2（a，0）]，

點評：什么時候選擇交軌法，在審題時經(jīng)常會有很明顯的條件指向，比如說求某兩種曲線的交點的軌跡等。

六、齊次化法

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）過點[P（1，1）]分別作斜率為[k1、k2]的橢圓的動弦[AB]、[CD]，設(shè)[M、N]分別為線段[AB、CD]的中點，若[k1+k2=1]，是否存在一個定點[T]，使得其在直線[MN]上，若存在，求出該定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

分析：本題可以觀察中點弦中點與斜率的關(guān)系，然后齊次化。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 楊健茹.高中數(shù)學(xué)探求軌跡方程的常用技法［J］.科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2014（15）：256.

［2］? 謝春娥，肖凌戇.基于優(yōu)效課堂的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的課堂評價研究［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2020（8）：42-46.