基于基帶S 模式信號(hào)的聯(lián)合TOA 估計(jì)算法研究

第五瑤光，宮峰勛

(中國民航大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院,天津 300300)

0 引言

多點(diǎn)定位系統(tǒng)中，信號(hào)到達(dá)時(shí)間(time of arrival,TOA)的精確提取與估計(jì)對民用航空飛機(jī)的實(shí)時(shí)高精確度監(jiān)視起到了至關(guān)重要的作用.可靠的TOA 估計(jì)算法，可以在定位、導(dǎo)航與授時(shí)(positioning，navigation and timing,PNT)體系中為民航領(lǐng)域提供精確與穩(wěn)定的定位服務(wù).

Chan等[1]提出自卷積算法，通過卷積峰值位置結(jié)合最小二乘法求解TOA 和脈沖寬度，可用于部分參數(shù)已知的信號(hào)，但是對信噪比(signal to noise ratio,SNR)有較高的要求.D'amico等[2]提出通過測量窗口中信號(hào)的能量變化估計(jì)TOA 的算法，但是只在中高SNR 時(shí)具有較高估計(jì)精確度.譚釧章等[3]提出自相關(guān)結(jié)合倒序累加的TOA 估計(jì)算法，可用于各種調(diào)制雷達(dá)信號(hào)，但是在低SNR時(shí)，精確度只能達(dá)到微秒級.

以往的算法大多在低SNR 時(shí)難以對TOA 進(jìn)行有效的提取與估計(jì)，為降低廣域多點(diǎn)定位范圍內(nèi)終端(進(jìn)近)和航路上飛機(jī)的定位偏差，當(dāng)今TOA 估計(jì)算法仍有許多理論方法和技術(shù)難題亟待攻克.

本文根據(jù)被動(dòng)式多點(diǎn)定位與二次雷達(dá)工作原理之間的聯(lián)系，引入駐留時(shí)間概念，提出對基站接收到的基帶S 模式應(yīng)答信號(hào)做匹配濾波和非相干積累，從而實(shí)現(xiàn)SNR 為-15～0 dB 的S 模式信號(hào)TOA 的精確估計(jì)，為低SNR 信號(hào)TOA 估計(jì)問題的研究提供了一定參考.

1 S 模式信號(hào)與TOA 估計(jì)

1.1 S 模式信號(hào)模型

如圖1 所示，為S 模式應(yīng)答信號(hào)形式，其數(shù)學(xué)模型s(t) 可以表示為[4]

圖1 S 模式應(yīng)答信號(hào)形式

式中：t與n分別為時(shí)間與離散時(shí)間序列號(hào)；b[n] 為數(shù)組 [1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,b1,b2,···,b56/112]，其中b1,b2,···,b56/112為數(shù)據(jù)塊中每個(gè)bit 的曼徹斯特編碼；p(t) 為脈寬T=0.5 μs 的方波脈沖.

由于S 模式應(yīng)答信號(hào)報(bào)頭具有特定的時(shí)序關(guān)系，通常提取其前導(dǎo)脈沖，采用時(shí)間戳標(biāo)記法對S 模式信號(hào)進(jìn)行TOA 估計(jì)[5].以S 模式信號(hào)前導(dǎo)四脈沖為研究對象，設(shè)置每個(gè)子脈沖邊沿時(shí)間均為國際民航組織(International Civil Aviation Organization,ICAO)規(guī)定中的最大值[6]，即上升沿0.1 μs，下降沿0.2 μs，仿真模型如圖2 所示，采樣頻率為40 MHz，其中子脈沖寬度均為0.65 μs，四脈沖總寬度為5.15 μs，1/2 幅值處的有效脈沖寬度為5 μs.

圖2 S 模式應(yīng)答信號(hào)前導(dǎo)脈沖模型

1.2 TOA 精確度評估

TOA 估計(jì)精確度可以通過時(shí)間戳標(biāo)記誤差的均方根(root mean square error,RMSE)值來衡量.假設(shè)理論上時(shí)間戳應(yīng)標(biāo)記在N0采樣點(diǎn)，實(shí)際標(biāo)記在了Ne采樣點(diǎn)，經(jīng)過G次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，可得TOA 估計(jì)的RMSE 表達(dá)式為

式中：Nei為第i次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的時(shí)間戳標(biāo)記點(diǎn)；Ts為采樣間隔.ERMS值越小，代表TOA 估計(jì)精確度越高.

2 背景簡析

2.1 被動(dòng)式多點(diǎn)定位系統(tǒng)

圖3 為被動(dòng)式多點(diǎn)定位系統(tǒng)示意圖，其工作原理是通過直接接收并處理飛機(jī)對二次雷達(dá)A/C、S模式詢問的應(yīng)答信號(hào)或廣播式自動(dòng)相關(guān)監(jiān)視系統(tǒng)(automatic dependent surveillance-broadcast,ADS-B)對飛機(jī)進(jìn)行定位[7].

圖3 被動(dòng)式多點(diǎn)定位示意圖

本文以被動(dòng)式多點(diǎn)定位系統(tǒng)工作方式為背景，接下來，針對飛機(jī)對S 模式二次雷達(dá)詢問的應(yīng)答這類情況，進(jìn)行詳細(xì)分析.

2.2 二次雷達(dá)駐留時(shí)間

圖4 為雷達(dá)掃描過程示意圖，二次雷達(dá)掃描波束具有一定寬度，波束完全掃描過飛機(jī)需要的時(shí)間為駐留時(shí)間，這段時(shí)間內(nèi)雷達(dá)可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行獲取、檢測和測量[8].

當(dāng)飛機(jī)距離地面站很遠(yuǎn)時(shí)，飛機(jī)的長度近似為一個(gè)點(diǎn)，波束邊沿掃描過飛機(jī)機(jī)體的時(shí)間可以忽略不計(jì)，因此，駐留時(shí)間Td的長短主要取決于天線波束寬度 θ 和天線轉(zhuǎn)速r，其表達(dá)式為

在飛機(jī)被波束覆蓋的駐留時(shí)間內(nèi)，二次雷達(dá)能夠以一定的脈沖重復(fù)頻率向“點(diǎn)名”的飛機(jī)發(fā)送S 模式詢問信號(hào)[9]，可以詢問的次數(shù)M為

式中，F(xiàn)PR為脈沖重復(fù)頻率.飛機(jī)接收到雷達(dá)在駐留時(shí)間內(nèi)發(fā)射的M個(gè)詢問信號(hào)后，會(huì)發(fā)送相應(yīng)的應(yīng)答信號(hào)，該應(yīng)答信號(hào)群組包含相同數(shù)據(jù)，地面基站接收后送入航跡處理器做點(diǎn)跡凝聚處理，最終合成一個(gè)目標(biāo)應(yīng)答報(bào)告.通常駐留時(shí)間內(nèi)需要接收至少4 個(gè)有效S 模式應(yīng)答信號(hào)才能將數(shù)據(jù)合成點(diǎn)跡[10].

為方便分析，將飛機(jī)和S 模式二次雷達(dá)相關(guān)參數(shù)設(shè)置為一些典型值，如表1 所示.

表1 飛機(jī)與雷達(dá)參數(shù)

將以上參數(shù)分別帶入式(3)、(4)，可以計(jì)算出駐留時(shí)間為45 ms，在該時(shí)間內(nèi)，飛機(jī)移動(dòng)了10.35 m，二次雷達(dá)能夠發(fā)射9 次詢問信號(hào).

在被動(dòng)式多點(diǎn)定位系統(tǒng)中，基站可能會(huì)接收到與二次雷達(dá)S 模式應(yīng)答信號(hào)長碼格式具有相同脈沖串的ADS-B 信號(hào)，及空中交通預(yù)警和空中防撞系統(tǒng)(traffic collision avoidance system,TCAS)中的S 模式應(yīng)答信號(hào)，這兩種信號(hào)并不存在駐留時(shí)間的概念，可以通過提取信號(hào)數(shù)據(jù)塊前5 bits 的不分段(downlink format,DF)字段值對其進(jìn)行區(qū)分[11]，具體區(qū)分方法如表2 所示.

表2 不同S 模式信號(hào)分類

3 聯(lián)合TOA 估計(jì)算法

3.1 匹配濾波

設(shè)經(jīng)過采樣后的離散S 模式應(yīng)答信號(hào)前導(dǎo)脈沖為s(n)，其高電平采樣點(diǎn)數(shù)為r1.根據(jù)匹配濾波器原理，信號(hào)s(n) 經(jīng)過匹配濾波器的輸出y1(n)為

式中：h(n)=s(N-n) 為匹配 濾波器 沖激響應(yīng)；Rs為s(n) 的自相關(guān)函數(shù)；N為s(n) 的總采樣點(diǎn)數(shù).當(dāng)n=N時(shí)，匹配濾波器輸出y1(n) 取得最大值r1.

設(shè)接收端僅受到均值為0，方差為 σ2的高斯白噪聲w(n) 影響，則接收信號(hào)r(n)為

r(n) 經(jīng)過匹配濾波器后的輸出Y(n)為

式中：j為卷積過程中的離散時(shí)間序列；y0(n) 為噪聲w(n) 經(jīng)過匹配濾波器的輸出，仍然服高斯分布，其平均功率Py0為

在N采樣點(diǎn)處，匹 配濾波輸 出Y(n) 取得最大值和SNR，其信號(hào)噪聲功率比RSNPM可以表示為

由上式可知，信號(hào)長度越長，采樣頻率越高，峰值點(diǎn)處的SNR 提升效果越好.

在匹配濾波輸出最大值點(diǎn)處標(biāo)記時(shí)間戳可對信號(hào)進(jìn)行TOA 估計(jì)[12].但是隨著SNR 的降低，匹配濾波輸出峰值點(diǎn)產(chǎn)生偏移，如圖5 所示，當(dāng)采樣頻率為40 MHz時(shí)，未加噪S 模式信號(hào)前導(dǎo)脈沖模型經(jīng)過匹配濾波后，時(shí)間戳理論上應(yīng)當(dāng)標(biāo)記在第207 個(gè)采樣點(diǎn)；當(dāng)信號(hào)SNR 降至-15 dB時(shí)，其匹配濾波輸出最大值點(diǎn)在第212 個(gè)采樣點(diǎn)，與理論時(shí)間戳標(biāo)記點(diǎn)有5 個(gè)采樣點(diǎn)的偏差，進(jìn)而導(dǎo)致TOA 估計(jì)的RMSE值急劇增加.因此考慮對駐留時(shí)間內(nèi)的接收信號(hào)做匹配濾波后進(jìn)行非相干積累，通過能量累積原理提高TOA估計(jì)精確度.

3.2 平方律非相干積累

對駐留時(shí)間內(nèi)的Nncoh個(gè)信號(hào)的匹配濾波輸出做平方律非相干積累[13]，即功率積累，得到Z(n) ：

式中：Yk(n)和y0k(n) 分別為第k個(gè)接收信號(hào)rk(n) 和 其噪聲經(jīng)匹配濾波后的輸出；Znp(n) 為噪聲部分.N采樣點(diǎn)處Z(n) 的信號(hào)噪聲功率比RSNPF為

為衡量平方律非相干積累對匹配濾波輸出最大值點(diǎn)處的信號(hào)噪聲功率比的提升效果，將RSNPF與RSNPM相除可得

下面通過仿真評估平方律非相干積累對S 模式信號(hào)前導(dǎo)四脈沖匹配濾波輸出的SNR 提升效果.

如圖6 所示，采樣頻率為40 MHz時(shí)，隨著基帶信號(hào)SNR 不斷增加，非相干積累對匹配濾波輸出最大值點(diǎn)處的信噪功率比提升效果整體呈上升趨勢，并且非相干積累信號(hào)數(shù)目越多，SNR 越高，提升效果越好，具體提升效果如表3 所示.因此，在本文基帶信號(hào)SNR 研究范圍-15～0 dB內(nèi)，平方律非相干積累能夠有效提升匹配濾波輸出信號(hào)在N采樣點(diǎn)處的SNR.

表3 SNR 與非相干積累信噪功率比提升效果的關(guān)系

圖6 非相干積累的信號(hào)噪聲功率比提升效果

如圖7 所示，當(dāng)采樣頻率為40 MHz，SNR 為-15 dB時(shí)，2 個(gè)和6 個(gè)信號(hào)的匹配濾波輸出經(jīng)平方律非相干積累后的輸出，最大值點(diǎn)的時(shí)間戳分別標(biāo)記在第205 和207 個(gè)采樣點(diǎn)，對比圖5，可見隨著積累信號(hào)數(shù)目增加，SNR 提高，信號(hào)最大值點(diǎn)特征愈加明顯，從而能夠更準(zhǔn)確地標(biāo)記時(shí)間戳.

圖7 前導(dǎo)脈沖經(jīng)匹配濾波和非相干積累后的輸出

3.3 算法流程

綜上所述，聯(lián)合TOA 估計(jì)算法流程為：首先分別對飛機(jī)駐留時(shí)間內(nèi)基站接收到的Nncoh個(gè)S 模式應(yīng)答信號(hào)的前導(dǎo)四脈沖rk(n) 做匹配濾波，然后取其輸出Yk(n) 的幅度絕對值做平方運(yùn)算，再將這Nncoh個(gè)平方運(yùn)算后的信號(hào)進(jìn)行累加，得到經(jīng)過平方律非相干積累后的信號(hào)Z(n)，并在其最大值點(diǎn)處進(jìn)行時(shí)間戳標(biāo)記，最后在時(shí)鐘同步條件下提取TOA.具體算法流程如圖8 所示.

4 算法仿真分析

在匹配濾波TOA 估計(jì)算法的對比下，從非相干積累信號(hào)數(shù)目、采樣頻率、估計(jì)誤差分布三個(gè)方面對聯(lián)合算法估計(jì)S 模式信號(hào)TOA 的性能進(jìn)行分析與評估.

4.1 非相干積累信號(hào)數(shù)目對算法性能的影響

如圖9 所示，為采樣頻率40 MHz，1 個(gè)信號(hào)通過匹配濾波法和2、7、13、15 個(gè)信號(hào)通過聯(lián)合算法估計(jì)TOA 的RMSE 值.可見，積累信號(hào)數(shù)越多，RMSE越小，聯(lián)合算法在SNR 越低時(shí)具有越高的精確度.第2 個(gè)積累信號(hào)的加入對匹配濾波算法精確度的提升能力最好，SNR 為-15 dB時(shí)，能夠減少匹配濾波法約60%的RMSE，13 個(gè)信號(hào)參與非相干積累后，聯(lián)合算法精確度可達(dá)24.238 ns.

圖9 信號(hào)經(jīng)匹配濾波和聯(lián)合算法估計(jì)TOA 的精確度(40 MHz)

4.2 采樣頻率對算法性能的影響和限制

如圖10 所示，提高采樣頻率至100 MHz，SNR為-15 dB時(shí)，聯(lián)合算法可通過積累5 個(gè)信號(hào)達(dá)到23.582 ns 精確度，遠(yuǎn)少于40 MHz 時(shí)所需積累信號(hào)數(shù)目，程序用時(shí)243.9 μs.第2 個(gè)信號(hào)的加入將匹配濾波法RMSE 降低了75%.對比圖9，可知提高采樣頻率，在相同SNR 和積累信號(hào)數(shù)目下，聯(lián)合算法的精確度也得以提高.

圖10 信號(hào)經(jīng)匹配濾波和聯(lián)合算法估計(jì)TOA 的精確度(100 MHz)

根據(jù)以上分析，非相干積累信號(hào)數(shù)目決定了聯(lián)合算法的精確度.如圖11 所示，為聯(lián)合算法達(dá)到25 ns以下精確度時(shí)所需要的最少非相干積累信號(hào)數(shù)目.當(dāng)采樣頻率為100 MHz，聯(lián)合算法所需信號(hào)數(shù)目始終小于等于40 MHz，并且SNR 在-8 dB 以上時(shí)，僅需1 個(gè)積累信號(hào)即可達(dá)到25 ns 以下的精確度，小于40 MHz 采樣頻率時(shí)對應(yīng)的SNR 在-4 dB.因此，通過提高采樣頻率，聯(lián)合算法可以采用更少的信號(hào)達(dá)到相同精確度要求.

如圖12 所示，SNR 為-15 dB，聯(lián)合算法達(dá)到25 ns以下精確度時(shí)，采樣頻率與所需最少積累信號(hào)數(shù)目之間的關(guān)系.提高采樣頻率，最少積累信號(hào)數(shù)目呈階梯下降趨勢，但是在部分采樣頻率時(shí)，可能會(huì)有1 個(gè)上下的波動(dòng)，導(dǎo)致該現(xiàn)象產(chǎn)生的原因有：

圖12 采樣頻率與最少非相干積累信號(hào)數(shù)目的關(guān)系

1) 當(dāng)信號(hào)時(shí)間長度不是采樣間隔的整數(shù)倍時(shí)，信號(hào)模型在時(shí)間軸上被不完全采樣，使得采樣信號(hào)與信號(hào)模型存在細(xì)微差別.

2) 仿真實(shí)驗(yàn)中高斯白噪聲取值具有隨機(jī)性，噪聲對每一次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果均有不同影響.

根據(jù)2.2 節(jié)分析，實(shí)際可參與非相干積累的信號(hào)數(shù)目受到雷達(dá)工作參數(shù)的限制，通常不多于9 個(gè).因此，如圖12 和圖13 所示，當(dāng)基帶信號(hào)SNR 為-15 dB，聯(lián)合算法需要至少53 MHz 采樣頻率，通過9 個(gè)信號(hào)參與非相干積累，可以達(dá)到24.302 ns 精確度.

圖13 信號(hào)經(jīng)匹配濾波和聯(lián)合算法估計(jì)TOA 的精確度(53 MHz)

4.3 TOA 估計(jì)誤差分布

如圖14 和圖15 所示，分別為基帶信號(hào)，SNR 為-15 dB，采樣頻率為53 MHz時(shí)，1 個(gè)信號(hào)經(jīng)過匹配濾波和多個(gè)信號(hào)經(jīng)過聯(lián)合算法進(jìn)行1 000 次TOA 估計(jì)的誤差分布，主要誤差值在表4 中列出.當(dāng)聯(lián)合算法中有2 個(gè)信號(hào)參與非相干積累時(shí)，其誤差分布相比匹配濾波誤差更加集中，當(dāng)積累信號(hào)數(shù)目增加至9 個(gè)后，誤差值大幅減小.因此相比匹配濾波法，聯(lián)合算法具有更好的精確度和穩(wěn)健性.

表4 聯(lián)合算法誤差分布

圖14 匹配濾波TOA 估計(jì)誤差分布

圖15 聯(lián)合算法TOA 估計(jì)誤差分布

5 結(jié)束語

本文從被動(dòng)式多點(diǎn)定位系統(tǒng)中基站在二次雷達(dá)駐留時(shí)間內(nèi)接收到的二次雷達(dá)S 模式應(yīng)答信號(hào)出發(fā)，以子脈沖上升沿為0.1 μs，下降沿為0.2 μs 的S 模式前導(dǎo)四脈沖信號(hào)為研究對象，提出了適用于SNR 為-15～0 dB 的聯(lián)合TOA 估計(jì)算法，能夠有效提高S 模式應(yīng)答信號(hào)的TOA 估計(jì)精確度至ICAO 規(guī)定的25 ns以下.通過仿真實(shí)驗(yàn)分析得出，提高采樣頻率、SNR和非相干積累信號(hào)數(shù)目，能夠提高聯(lián)合算法的精確度.對于SNR 為-15 dB 的基帶信號(hào)，聯(lián)合算法需要至少53 MHz 采樣頻率，因此使用聯(lián)合算法時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況，盡量提高采樣頻率.該算法雖運(yùn)算簡單，但具有較高的精確度與穩(wěn)健性，為提高廣域多點(diǎn)定位的定位精確度提供了一種有效的方法.