基于對(duì)稱K-L距離及決策者主觀偏好的混合屬性決策方案客觀權(quán)重確定方法

馬金山

(河南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，河南 焦作 454000)

在多屬性決策分析的諸要素中權(quán)重的作用舉足輕重。一般認(rèn)為主觀權(quán)重反映決策者的主觀意圖，而客觀權(quán)重則是由決策方案的數(shù)據(jù)特征客觀確定的，所以二者是不同的權(quán)重確定方法。如果說主觀權(quán)重體現(xiàn)人類認(rèn)識(shí)世界改造世界的判斷標(biāo)準(zhǔn)，那么客觀權(quán)重更多地體現(xiàn)某種自然規(guī)律[1]。比較常見的一些客觀權(quán)重的確定方法主要有方差最大化法[2]、熵權(quán)法[3]以及離差最大化法[4]等。隨著研究的深入，后來又產(chǎn)生一些新的客觀屬性權(quán)重的確定方法，如基尼系數(shù)法[5]和注水原理法[6]。在實(shí)際的決策應(yīng)用中，客觀權(quán)重往往并不是純粹的“客觀”，而是融入或者隱含了決策者的主觀偏好或意圖。因此，所謂的客觀權(quán)重實(shí)際上是狹義的，特指的是給出決策方案，以確定性數(shù)據(jù)表示的指標(biāo)值，并采用科學(xué)的方法，通過獲得決策方案特征的數(shù)據(jù)值所代表的權(quán)重。但事實(shí)是決策方案指標(biāo)值的獲取過程中有時(shí)會(huì)有決策者偏好的作用和影響，如在定性指標(biāo)的定量化時(shí)，群決策中針對(duì)同樣的決策評(píng)價(jià)對(duì)象專家所給出指標(biāo)值的不一致等。

隨著決策理論與方法的發(fā)展，含有不確定性信息的決策方法得到更多的關(guān)注和研究[7]。而當(dāng)決策方案的指標(biāo)值含有不確性的數(shù)據(jù)時(shí)，以此不確定性數(shù)據(jù)獲得客觀權(quán)重則不同程度上均會(huì)存在信息的失真，即便是從狹義的數(shù)據(jù)本身來看，對(duì)其進(jìn)行客觀權(quán)重的確定時(shí)亦不可避免地存在著決策者的主觀偏好。直接對(duì)存在不確定信息決策方案指標(biāo)值進(jìn)行客觀權(quán)重求解的方法亦有一些研究成果，如基于證據(jù)理論的客觀屬性權(quán)重求解方法[8]以及基于模糊數(shù)進(jìn)行的客觀屬性權(quán)重求解方法[9]。在涉及不確定性信息的客觀權(quán)重的直接研究中，區(qū)間數(shù)或多參數(shù)區(qū)間數(shù)是非常重要的研究領(lǐng)域。陳志旺等[10]采用注水原理的方法，對(duì)指標(biāo)屬性值為三參數(shù)區(qū)間數(shù)的客觀屬性權(quán)重進(jìn)行研究。郭秀英等[11]利用各屬性下各方案區(qū)間數(shù)指標(biāo)值及其偏差，提出一種基于區(qū)間數(shù)指標(biāo)客觀賦權(quán)的離差方法。尚戰(zhàn)偉等[12]針對(duì)決策方案指標(biāo)屬性值為區(qū)間數(shù)的形式，專家客觀權(quán)重未知的多屬性群決策問題，提出通過屬性評(píng)價(jià)值之間偏離程度的熵值分析和建立目標(biāo)最小化的非線性規(guī)劃模型確定屬性客觀權(quán)重。劉秀梅等[13]采用將區(qū)間數(shù)表示的屬性值轉(zhuǎn)換為二元聯(lián)系數(shù)，進(jìn)而改寫成三角函數(shù)，以各三角函數(shù)的模為基本的計(jì)算依據(jù)并根據(jù)決策方案指標(biāo)屬性值的方差確定屬性的客觀權(quán)重。

雖然有不少學(xué)者對(duì)含有不確定信息的客觀屬性權(quán)重的確定方法進(jìn)行了有益的探索，但已有的方法針對(duì)的是同種類型的不確定數(shù)，應(yīng)用的范圍較狹窄。而在實(shí)際的應(yīng)用中決策方案的指標(biāo)值可能由不同類型的混合屬性值予以表征，既有確定數(shù)亦有不確定數(shù)，同時(shí)不確定數(shù)還有不同的數(shù)據(jù)類型。針對(duì)這種混合屬性值的決策方案其客觀權(quán)重的確定則變得異常困難，尚未得到很好的解決。本文則針對(duì)決策方案的指標(biāo)值為確定性的實(shí)數(shù)及不確定性的區(qū)間數(shù) (含多參數(shù)區(qū)間數(shù)) 的混合數(shù)據(jù)形式，借助對(duì)稱Kullback-Leibler (K-L) 距離的方法求解決策方案指標(biāo)屬性的客觀權(quán)重。在進(jìn)行客觀權(quán)重的計(jì)算時(shí)，對(duì)決策者主觀偏好的體現(xiàn)就是在求對(duì)稱K-L距離時(shí)所給定的確定數(shù)和不確定數(shù)的重要性的比例不同，而不同的比例對(duì)客觀權(quán)重求解的結(jié)果存在著較大的影響。

1 基本理論

1.1 不確定數(shù)及其轉(zhuǎn)化

不確定數(shù)是為了刻畫或描述含有不確定性的事物或?qū)ο蟮臄?shù)據(jù)類型[14]。不同的決策理論與方法中所規(guī)定或使用的不確定數(shù)的具體名稱和類型不同，如模糊數(shù)、灰數(shù)、聯(lián)系數(shù)及區(qū)間數(shù)分別應(yīng)用于模糊集理論、灰色理論、集對(duì)分析理論和區(qū)間數(shù)理論等[15]。然而，在不考慮嚴(yán)格的理論意義的情況下，區(qū)間數(shù)可以視為其他諸多不確定數(shù)的基礎(chǔ)，為此產(chǎn)生多種數(shù)據(jù)類型的融合，如將灰數(shù)融入?yún)^(qū)間數(shù)中產(chǎn)生區(qū)間灰數(shù)等。不同類型的不確定數(shù)均有其自己特定的含義以及各不相同的處理方法。本研究中涉及的不確定數(shù)主要是區(qū)間數(shù)及其拓展的多參數(shù)區(qū)間數(shù)。傳統(tǒng)的區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)在具體運(yùn)算時(shí)處理方法亦不統(tǒng)一，為此，這里將區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)通過一定的轉(zhuǎn)化，使其可以統(tǒng)一進(jìn)行處理。

本研究中不確定數(shù)的轉(zhuǎn)化即是將區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)提取其確定性和不確定性特征，并統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為包含“確定+不確定”的二元聯(lián)系數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二元組數(shù)，亦可視作二元微小向量。不確定數(shù)轉(zhuǎn)化的一般過程和原理如圖1所示。

圖1 不確定數(shù)轉(zhuǎn)化的一般原理Figure 1 Principle of transformation of uncertain numbers

1.1.1 區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)

定義1區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)[16]。若以R代表實(shí)數(shù)域，則稱～x為一個(gè)區(qū)間數(shù)，可以用[xl,xu]表示，xl和xu分別為區(qū)間數(shù)參數(shù)的下、上限值，且xl，xu滿足0＜xl＜xu∈R。對(duì)一個(gè)區(qū)間數(shù)當(dāng)其取值在下、上限值之間的某一或某些值時(shí)，則可以拓展為多參數(shù)區(qū)間數(shù)，記為 [x1,x2,···,xk,···,xγ]，其參數(shù)xk滿足0＜x1＜ ···＜xk＜ ···＜xγ∈R。

1.1.2 均值-偏差值二元聯(lián)系數(shù)

二元聯(lián)系數(shù)為集對(duì)分析理論中的重要概念，它統(tǒng)一了不確定數(shù)的確定性和不確定性成分。

對(duì)于均值-偏差值二元聯(lián)系數(shù)，可以對(duì)其進(jìn)一步處理以獲得其規(guī)范化的形式，即使其確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)參數(shù)的和均為1，則各分量分別稱為確定度μ和不確定度 σ，即其由式 (6) 予以確定。

式(6)中，μ和 σ為標(biāo)準(zhǔn)化后的聯(lián)系數(shù)的分量，稱為二元聯(lián)系度的分量。

當(dāng)不確定數(shù)均轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)并進(jìn)一步規(guī)范化為二元聯(lián)系度時(shí)，則根據(jù)需要可以視為 (確定度，不確定度) 二元組數(shù) (μ,σ)，而其亦可認(rèn)為是二元微小向量。

1.2 Kullback-Leibler距離

定義3所給出的K-L距離實(shí)際上是非對(duì)稱的KL距離，即此處所謂的K-L距離具有方向性，與通常意義上距離的概念具有對(duì)稱的特性存在差異。

1.3 對(duì)稱Kullback-Leibler距離

定義4對(duì)稱Kullback-Leibler距離。式 (7)中，H(X,Y)所 表示的K-L距離不滿足對(duì)稱性，即H(X,Y)≠H(Y,X)，因此需要對(duì)此進(jìn)行改進(jìn)，使其滿足對(duì)稱性。若設(shè)H(Y,X)為Y對(duì)于X的K-L距離，則有

其中，H(Y,X)的 性質(zhì)同H(X,Y)，可以稱為X相對(duì)于Y的逆非對(duì)稱K-L距離。結(jié)合式 (7) 和 (8)，可以得到X對(duì)于Y的對(duì)稱K-L距離為

式(9)中，D(X,Y) 為綜合H(X,Y)和H(Y,X)的 具有對(duì)稱性的K-L距離，具有以下性質(zhì)。

1)D(X,Y)≥0；

2) 如令D(Y,X)=H(Y,X)+H(X,Y)，則D(X,Y)=D(Y,X)；

3) 在性質(zhì) 1) 和 2) 成立的前提下，D(X,Y)滿足直線距離最短的特性。

1.4 決策方案指標(biāo)值的歸一化處理

設(shè)μst、σst分別代表對(duì)應(yīng)的某一屬性下各指標(biāo)二元聯(lián)系數(shù)的確定度和不確定度。為此，可以組成各方案指標(biāo)的 (確定度，不確定度) 二元組數(shù)微小向量為 (μst,σst)，其中s=1,···,n，t=1,···,m。然而各方案的指標(biāo)向量屬性之間不具有可比性，因此，這里需要針對(duì)各個(gè)屬性下的 (確定度，不確定度) 二元組數(shù)據(jù) μst和 σst進(jìn)行歸一化，計(jì)算公式為

式(10)中，ast和bst分別為經(jīng)過規(guī)范化后的二元組數(shù)中的確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)。

1.5 綜合對(duì)稱Kullback-Leibler距離

若已經(jīng)獲得歸一化的各決策方案二元組數(shù)的向量，則可以求出綜合對(duì)稱的Kullback-Leibler距離。

定義5綜合Kullback-Leibler距離[19]。設(shè)兩個(gè)由二元組數(shù)組成的向量S=((x1,y1),(x2,y2),···,(xm,ym))T和E=((p1,q1),(p2,q2),···,(pm,qm))T分別代表某一方案的兩向量。其中，xk,yk,pk,qk≥0，k=1,2,···,m，(xk,yk)和 (pk,qk)分別對(duì)應(yīng)S和E中同一屬性下的規(guī)范化后的(確定度，不確定度) 二元組數(shù)向量，則可以得到S對(duì)于E的綜合K-L距離為

式(11)中，β為二元組數(shù)中確定項(xiàng)所占的重要性比例系數(shù)；β為二元組數(shù)中不確定項(xiàng)所占的重要性比例系數(shù)。其中H(S,E)的性質(zhì)如下。

1)H(S,E)≥0；

2)H(S,E)=0，當(dāng)且僅當(dāng)S=E時(shí)，即xk=pk，yk=qk,?k。

由式 (11) 可以類比得出E對(duì)于S的綜合K-L距離H(E,S)為

H(E,S)的 性質(zhì)同H(S,E)。

定義6綜合對(duì)稱Kullback-Leibler距離。由定義5，H(S,E)表示S對(duì)于E的綜合加權(quán)K-L距離，H(E,S)表示E對(duì)于S的綜合加權(quán)K-L距離，則S對(duì)于E的綜合對(duì)稱K-L距離為

由式 (14)，根據(jù)距離具有對(duì)稱性的內(nèi)涵，可以得到D(S,E)=D(E,S)。

2 基于對(duì)稱K-L距離及決策者主觀偏好的客觀權(quán)重確定方法

2.1 含不確定性信息的客觀權(quán)重確定思路

在多屬性決策中，決策方案指標(biāo)屬性的客觀權(quán)重是由決策方案自身所反映的數(shù)據(jù)特征決定的。在多屬性決策方案中，針對(duì)給定的決策方案的指標(biāo)值充分挖掘各屬性下各決策方案指標(biāo)所隱含的差異信息，并通過合適的方式予以數(shù)值表現(xiàn)；然后基于各屬性下的差異值作為客觀權(quán)重確定的依據(jù)，必要時(shí)可構(gòu)造符合特定目標(biāo)的規(guī)劃函數(shù)；根據(jù)初步獲得的客觀權(quán)重值，可經(jīng)過歸一化后得到最終的客觀權(quán)重。當(dāng)決策方案的指標(biāo)值含有不確定性數(shù)據(jù)時(shí)，則多屬性決策問題可稱為不確定性決策問題。相對(duì)于確定性實(shí)數(shù)值的決策方案，含有不確定性數(shù)據(jù)的多屬性決策更為復(fù)雜。含有不確定信息的多屬性決策關(guān)鍵的問題在于對(duì)不確定信息的處理，即采用合適的方法，確保決策過程中不確定信息不失真或盡量少失真。為此，含有不確定性信息的客觀權(quán)重確定時(shí)，需要在借鑒確定性實(shí)數(shù)的客觀權(quán)重確定方法的基礎(chǔ)上，盡量采用不確定信息失真少的方法獲得各屬性的客觀權(quán)重。

2.2 決策者的主觀偏好

在本研究中涉及含有確定數(shù)及不確定數(shù)表示的混合屬性決策方案。但不確定數(shù)蘊(yùn)含的不確定性信息中含有確定性的成分，因此在具體的應(yīng)用分析過程中，則需要考慮決策者對(duì)確定性及不確定性的偏好。在對(duì)混合屬性指標(biāo)值進(jìn)行處理時(shí)，是將各類數(shù)據(jù)均轉(zhuǎn)化為含有確定性及不確定性的二元聯(lián)系數(shù)，然后再進(jìn)一步轉(zhuǎn)為 (確定，不確定) 二元組數(shù)，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行后續(xù)運(yùn)算。雖然在不確定性的轉(zhuǎn)化中各類型數(shù)據(jù) (包含確定數(shù)及不確定數(shù)) 均可以轉(zhuǎn)化為包含確定信息和不確定性信息的二元聯(lián)系數(shù)，但在實(shí)際運(yùn)算時(shí)，是以選擇出確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)的代表值進(jìn)行的，為此其與原始的不確定數(shù)必然存在偏差。因此采用本文的方法求含有不確定信息的客觀權(quán)重時(shí)，根據(jù)決策者的不同偏好所獲得的客觀權(quán)重必然存在著差異?？傮w來說可以有3種類型的決策者偏好：1) 確定性和不確定性處于同等重要的地位；2) 確定性占主導(dǎo)地位，不確定性占次要地位；3) 不確定性占主導(dǎo)地位，確定性占次要地位。具體來說式 (11)和式 (13) 中的α 和 β分別代表決策者對(duì)確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)的主觀偏好，而式 (14) 為式 (11) 和式 (13) 的綜合則其必然也包含決策者對(duì)確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)的主觀偏好。

2.3 不確定性客觀權(quán)重確定的數(shù)學(xué)描述

設(shè)由n個(gè)方案m個(gè)屬性構(gòu)成的數(shù)據(jù)，各方案為含有確定性的實(shí)數(shù)和不確定性的區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)形式的指標(biāo)值xst(s=1,···,n,t=1,···,m)?，F(xiàn)在的問題是如何根據(jù)所給定的混合屬性指標(biāo)值確定決策方案各屬性的客觀權(quán)重。

在求各屬性的客觀權(quán)重時(shí)，首先將各指標(biāo)數(shù)據(jù)xst分別轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)Ust=+vsti(s=1,···,n,t=1,···,m)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行規(guī)范化處理，成為二元聯(lián)系度ust=μst+σsti(s=1,···,n,t=1,···,m)，視為二元微小向量(μst,σst)(s=1,···,n,t=1,···,m)，經(jīng)過進(jìn)一步的歸一化處理后可得到(ast,bst)(s=1,···,n,t=1,···,m)。其次，計(jì)算各屬性下各個(gè)微小向量之間的對(duì)稱K-L距離zst(s=1,···,n,t=1,···,m)。然后，在此基礎(chǔ)上獲得各屬性下各個(gè)對(duì)稱K-L距離的和Kt(t=1,2,···,m)，并以此作為各屬性的初始客觀權(quán)重值。最后，各初始權(quán)重值經(jīng)歸一化后可得到標(biāo)準(zhǔn)化的客觀權(quán)重Wt(t=1,2,···,m)。

2.4 客觀權(quán)重確定步驟

根據(jù)以上客觀權(quán)重確定的原理分析，可以給出基于對(duì)稱K-L距離及決策者主觀偏好的客觀權(quán)重的確定方法步驟如下，基本流程見圖2。

圖2 客觀權(quán)重確定方法流程圖Figure 2 Flowchart of objective weights determining method

步驟1確定原始的含有不確定信息的決策方案的指標(biāo)值xst(s=1,···,n,t=1,···,m)。

步驟2對(duì)決策方案指標(biāo)值xst依據(jù)式 (2)～ (5) 獲取其由自身參數(shù)得到的確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)vst。

步驟3采用式 (1) 將決策方案的各指標(biāo)值均轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)Ust=+vsti(s=1,···,n,t=1,···,m)形式，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行規(guī)范化處理，成為二元聯(lián)系度ust=μst+σsti(s=1,···,n,t=1,···,m)，視為二元微小向量(μst,σst)(s=1,···,n,t=1,···,m)，經(jīng)過進(jìn)一步的歸一化處理得到(ast,bst)(s=1,···,n,t=1,···,m)。

步驟4設(shè)定不確定數(shù)運(yùn)算時(shí)決策者對(duì)確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)的比例偏好，給定確定項(xiàng)的偏好系數(shù)α。

步驟5依據(jù)式 (10) 及 (14) 計(jì)算各屬性下各決策方案指標(biāo)的兩兩對(duì)稱的K-L距離zst(s=1,···,n,t=1,···,m)。

步驟6求得各屬性下經(jīng)過規(guī)范化的兩兩對(duì)稱K-L距離的和Kt(t=1,2,···,m)，其和由式 (15) 得到。

步驟7對(duì)求得的各屬性下規(guī)范化的兩兩對(duì)稱K-L距離的和Kt(t=1,2,···,m)進(jìn)行歸一化處理，即可得到各屬性下的客觀權(quán)重Wt(t=1,2,···,m)，其由式(16) 得到。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)背景

為了對(duì)5個(gè)煤礦 (分別用S1～S5表示) 的綜合績(jī)效進(jìn)行評(píng)估，根據(jù)其近幾年的數(shù)據(jù)，采用5個(gè)指標(biāo)科技投入 (千萬元)、產(chǎn)能 (百萬t)、全員工效 (t/人)、凈利潤(rùn) (億元) 和事故發(fā)生率 (%) 等5個(gè)指標(biāo)屬性進(jìn)行綜合測(cè)度，分別以M1～M5表示，其中，屬性M5為逆向指標(biāo)屬性，其余為正向指標(biāo)屬性。各決策方案的指標(biāo)值由實(shí)數(shù)、區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)等表征。根據(jù)所給定的含有不確定信息的數(shù)據(jù)確定各屬性的客觀權(quán)重。

3.2 計(jì)算過程

根據(jù)客觀權(quán)重的計(jì)算原理及步驟，針對(duì)表1給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算分析。

表1 決策方案的數(shù)據(jù)值Table 1 Data of alternatives

3.2.1 計(jì)算不確定數(shù)轉(zhuǎn)化的參數(shù)

由表1數(shù)據(jù)，根據(jù)式 (2)～ (5) 可以獲得各決策方案指標(biāo)值不確定參數(shù)計(jì)算的結(jié)果見表2。

表2 各決策方指標(biāo)值不確定數(shù)參數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 2 Parameters of uncertain numbers for each indicator

3.2.2 將各方案指標(biāo)值均轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)

由表2所獲得的各參數(shù)根據(jù)式 (1) 可以得到表3的二元聯(lián)系數(shù)。

表3 各指標(biāo)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)Table 3 Binary connection numbers converted from data of each indicator

表3中的二元聯(lián)系數(shù)包含實(shí)數(shù)的轉(zhuǎn)化，其可認(rèn)為是區(qū)間數(shù)的退化，即確定項(xiàng)為實(shí)數(shù)值本身，而不確定項(xiàng)為0。該二元聯(lián)系數(shù)可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為指標(biāo)的二元微小向量見表4。

表4 各指標(biāo)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為二元組數(shù)Table 4 Two-tuple numbers converted from data of each indicator

3.2.3 獲得各屬性下各指標(biāo)兩兩對(duì)稱K-L距離的和

依據(jù)式 (10)和式(14)，對(duì)表4所得到的各指標(biāo)二元組數(shù)進(jìn)行各屬性下兩兩方案 (Sf-Sg) 指標(biāo)對(duì)稱KL距離的計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表5所示。

表5 各屬性下各指標(biāo)對(duì)稱K-L距離Table 5 Symmetric K-L distances of each attribute

運(yùn)用式 (15) 對(duì)表5所示的各屬性下規(guī)范化的兩兩對(duì)稱K-L距離求和可得K=(1.848 0,1.288 2,0.809 1,1.552 4,1.722 7)。

3.2.4 獲得各屬性的客觀權(quán)重

根據(jù)式 (16) 將獲得的各屬性下的兩兩對(duì)稱K-L距離的和Kt進(jìn)行歸一化后，可以得到最終的各屬性的客觀權(quán)重為W=(0.255 9,0.178 4,0.112 1,0.215 0,0.238 6)。

3.3 決策者的主觀偏好對(duì)客觀權(quán)重的影響

前面的計(jì)算是認(rèn)為確定數(shù)和不確定數(shù)在運(yùn)算過程中具有同等重要的地位即給定的確定項(xiàng)的比例和不確定項(xiàng)的比例相等，亦即設(shè)定 α=β=1。而實(shí)際上不同的決策者對(duì)確定性和不確定性的態(tài)度實(shí)際上是不同的。為此有必要對(duì)針對(duì)確定性和不確定性的重要性偏好不同進(jìn)行計(jì)算分析。表6給出仍然采用前面給出的各決策方案的數(shù)據(jù)，但針對(duì)確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)有不同的偏好時(shí)的客觀權(quán)重的對(duì)比。表6中給出α的值，則β 的值可由 β=1-α計(jì)算得到。

表6 不同取值偏好時(shí)的客觀權(quán)重確定Table 6 Determination of objective weights with different subjective preferences

由表6的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)決策者采取不同的偏好時(shí)各屬性的客觀權(quán)重存在著差異。當(dāng) α的值由小變大 (即確定項(xiàng)的比例變大)時(shí)，屬性M1、M3、M4和M5的權(quán)重由大逐漸變小，而屬性M2的權(quán)重則由小逐漸變大，且增加的幅度較大。屬性M2的權(quán)重變化較為明顯的原因在于該屬性下的指標(biāo)值原為確定性的實(shí)數(shù)，轉(zhuǎn)化為二元組數(shù)后其不確定項(xiàng)部分均為0，即其不確定項(xiàng)對(duì)客觀屬性權(quán)重確定時(shí)的貢獻(xiàn)為0。而當(dāng)其確定項(xiàng)的比例增大時(shí)，該屬性下確定項(xiàng)的對(duì)稱K-L距離的增加值相對(duì)于其他屬性下的確定項(xiàng)的增加值的幅度要大得多，故其權(quán)重變化也較大。而這些權(quán)重的變化同時(shí)也說明所謂的客觀權(quán)重的確定實(shí)際上并不完全是客觀的，其帶有決策者的主觀偏好。

3.4 對(duì)比分析

為了說明本文所提出方法的優(yōu)越性，采用與文獻(xiàn)[11]提出的方法及其所使用的案例數(shù)據(jù)所獲得的客觀權(quán)重確定方法進(jìn)行對(duì)比。為開發(fā)新產(chǎn)品，擬定5個(gè)投資方案S1～S5，以4個(gè)指標(biāo)投資額 (E1)、期望凈現(xiàn)值 (E2)、風(fēng)險(xiǎn)盈利值 (E3) 和風(fēng)險(xiǎn)損失值 (E4) 綜合衡量，各指標(biāo)的單位均為萬元。各屬性中E1和E4為逆向指標(biāo)屬性，E2和E3為正向指標(biāo)屬性，具體如表7所示。文獻(xiàn)[11]中對(duì)給定的以區(qū)間數(shù)表示的各指標(biāo)屬性值的客觀權(quán)重獲取是采用求各屬性下的區(qū)間數(shù)的相互離差的方法確定各屬性的客觀權(quán)重。

表7 投資方案的指標(biāo)值Table 7 Indicators of investment alternatives

采用文獻(xiàn)[11]中方法得到的各屬性客觀權(quán)重為W=(0.253 37,0.191 14,0.205 85,0.349 64)。而采用本文方法且各屬性下確定數(shù)和不確定數(shù)在運(yùn)算過程中具有同等重要的地位，即給定的確定項(xiàng)的比例和不確定項(xiàng)的比例相等時(shí)，則所得到的權(quán)重為W=(0.246 5,0.322 0,0.146 9,0.284 6)。表8列出當(dāng)各個(gè)屬性下轉(zhuǎn)化后的確定數(shù)項(xiàng)和不確定數(shù)項(xiàng)取不同的偏好比例時(shí)所獲得的不同的客觀屬性權(quán)重的變化。

表8 不同取值偏好時(shí)的客觀權(quán)重獲取Table 8 Objective weights obtained by decision maker's different subjective preferences

由于本文所提出的方法計(jì)算客觀權(quán)重時(shí)同時(shí)考慮區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)時(shí)的確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)，相對(duì)于文獻(xiàn)[11]中使用各屬性下各區(qū)間數(shù)指標(biāo)值的直接的離差值法進(jìn)行客觀權(quán)重計(jì)算更加精確，信息失真少。因此采用本文方法計(jì)算含有不確定信息指標(biāo)方案屬性的客觀權(quán)重值結(jié)果更優(yōu)。同時(shí)本文所提出的方法還可以根據(jù)決策者對(duì)各屬性下確定數(shù)與不確定數(shù)設(shè)定不同的偏好比例以反映決策者的主觀偏好。

4 結(jié)論

針對(duì)含有不確定性信息的區(qū)間數(shù)及多參數(shù)區(qū)間數(shù)的決策方案所決定的客觀權(quán)重求解問題，提出一種基于對(duì)稱K-L距離的方法。該方法將各類型數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二元組數(shù)，求解各屬性下兩兩指標(biāo)間的對(duì)稱K-L距離并進(jìn)行匯總求和，進(jìn)行歸一化后可求得客觀權(quán)重。該權(quán)重確定方法能夠?qū)⒉煌愋偷臄?shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為二元組數(shù)并進(jìn)行統(tǒng)一處理，具有信息失真較少、計(jì)算原理比較清晰的特點(diǎn)。通過算例分析可以驗(yàn)證該方法能夠很好地獲得含有不確定信息決策方案的客觀權(quán)重。同時(shí)針對(duì)各屬性下的確定項(xiàng)和不確定項(xiàng)亦可根據(jù)決策者的偏好設(shè)定相應(yīng)的比例，體現(xiàn)決策者的主觀偏好，而不同的比例對(duì)客觀權(quán)重的影響亦十分明顯。本研究成果具有普遍的適用性，無論是工程領(lǐng)域還是經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域，涉及不確定性混合屬性值的決策方案客觀屬性的確定都可以采用所提出的方法。