多頻激勵(lì)作用下懸索時(shí)滯減振控制研究

夏 慧,彭 劍,2,李祿欣,孫洪鑫,2,禹見達(dá),2,邵宏利

(1.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 湘潭 411201;2.湖南科技大學(xué) 結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南 湘潭 411201)

懸索作為大跨度空間結(jié)構(gòu)的一種重要形式,被廣泛應(yīng)用于建筑工程(體育館),橋梁工程(懸索橋),電力電訊工程(輸電線),航空航天(繩系衛(wèi)星)等領(lǐng)域。在實(shí)際工程中,懸索受到的外部荷載較為復(fù)雜,可能存在多個(gè)激勵(lì)共同作用,作為非線性系統(tǒng),在多頻激勵(lì)作用下會(huì)表現(xiàn)出更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為[1]。研究人員針對(duì)Duffing[2-3]、Vander Pol[4]、Duffing-van der Pol[5-6]等經(jīng)典系統(tǒng)在多頻激勵(lì)作用下的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)多頻外激勵(lì)改變了單頻激勵(lì)條件下系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài),使系統(tǒng)的主共振曲線產(chǎn)生了偏移。趙珧冰等[7]基于溫度變化對(duì)拉索張拉力和垂度的影響,研究了懸索聯(lián)合共振的響應(yīng)特性及其受溫度變化影響。孫測(cè)世等[8]針對(duì)分布與端部激勵(lì)下懸索瞬時(shí)相頻特性開展了對(duì)比研究。

另一方面,懸索因其本身質(zhì)量輕,柔性大,阻尼小等特點(diǎn),在多頻激勵(lì)的作用下容易產(chǎn)生大幅度的振動(dòng)[9-11],造成結(jié)構(gòu)的疲勞破壞,從而導(dǎo)致工程災(zāi)害的發(fā)生。因此懸索的振動(dòng)控制問題一直備受研究者關(guān)注[12-14]。從Olgac等[15-16]提出動(dòng)力結(jié)構(gòu)主動(dòng)時(shí)滯減振新技術(shù),研究人員對(duì)時(shí)滯反饋控制進(jìn)行了大量的研究。趙艷影等[17]研究了時(shí)滯非線性動(dòng)力吸振器的減振機(jī)理。王在華等[18]對(duì)相關(guān)時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分叉內(nèi)容進(jìn)行了系統(tǒng)闡述。邵素娟等[19]研究了具有時(shí)滯反饋控制的非線性主動(dòng)懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性。彭劍等[20]采用時(shí)滯反饋控制對(duì)懸索在單一激勵(lì)作用下動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究。

綜上所述,懸索作為一類典型的運(yùn)動(dòng)方程同時(shí)包含平方和立方非線性的柔性結(jié)構(gòu),當(dāng)其受到多頻激勵(lì)時(shí),容易發(fā)生各種形式的聯(lián)合共振,然而現(xiàn)有研究較少。因此,本文關(guān)注多頻激勵(lì)作用下懸索的時(shí)滯反饋控制問題。基于Hamilton變分原理,建立多頻激勵(lì)下受控懸索系統(tǒng)的非線性振動(dòng)控制模型。利用多尺度法求解受控懸索系統(tǒng)發(fā)生聯(lián)合共振時(shí)的響應(yīng)方程。通過數(shù)值算例分析了受控懸索的非線性行為,以及控制系統(tǒng)參數(shù)對(duì)共振響應(yīng)的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

如圖1所示,建立坐標(biāo)系O-xy,懸索的兩端懸掛在O-xy坐標(biāo)面內(nèi)的同一水平線的兩個(gè)支座上,坐標(biāo)原點(diǎn)O位于懸索的一側(cè),同時(shí)用虛線和實(shí)線分別表示懸索的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)構(gòu)型。u(x,t)和v(x,t)分別表示沿x和y方向的位移分量。假設(shè)沿懸索索長(zhǎng)方向的截面積保持不變,懸索始終保持在彈性變形范圍內(nèi),同時(shí)忽略彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度以及剪切剛度的影響。

圖1 受控懸索系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of a controlled suspended cable system

基于Hamilton變分原理,可以得到多頻激勵(lì)下受控懸索系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程[20]

(1)

式中:點(diǎn)為對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),撇為對(duì)坐標(biāo)x求導(dǎo);l為懸索的跨徑;m為懸索單位長(zhǎng)度的質(zhì)量;E為懸索的彈性模量;A為懸索橫截面面積;H為懸索初始張力的水平分量;c為單位長(zhǎng)度的阻尼系數(shù);uc為右端移動(dòng)支承的縱向位移。為了便于參數(shù)分析,假定懸索的初始靜態(tài)構(gòu)型為拋物線[21]:y(x)=4b[x/l-(x/l)2],其中b為懸索的垂度。外部激勵(lì)由兩部分組成(m=1,2),Kmn、Ωm和θm分別為激勵(lì)的幅值,頻率和相位。g為重力加速度,引入無(wú)量綱參數(shù)

(2)

經(jīng)過無(wú)量綱化,方程(1)轉(zhuǎn)化為以下形式

(3)

為了書寫方便,字母的上標(biāo)已略去。

假設(shè)懸索是由正對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)組成的多自由度系統(tǒng),可利用Galerkin法將式(3)離散成無(wú)窮維方程,此時(shí)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)表示為

(4)

式中:qn(t)為廣義坐標(biāo)函數(shù);φn(x)為振型函數(shù)。

將式(4)代入式(3)中,可得離散后的無(wú)窮維方程為

(5)

其中,

(6)

2 超/亞諧波聯(lián)合共振

由于懸索同時(shí)包含平方和立方非線性,非線性共振現(xiàn)象豐富,如主共振;1/2、1/3階次諧波共振;2階、3階超諧波共振等。當(dāng)其受到多頻激勵(lì)時(shí),會(huì)發(fā)生多種形式的聯(lián)合共振或組合共振,本文考慮系統(tǒng)同時(shí)發(fā)生超諧波共振和亞諧波共振,利用多尺度法求解系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程,并且判斷穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性。

根據(jù)多尺度法,調(diào)整阻尼項(xiàng),非線性項(xiàng)及外激勵(lì)項(xiàng)的系數(shù),即μn=O(ε2),Λnijk=O(ε2),gl=O(ε2),Γnij=O(ε),設(shè)式(5)解的形式如下:

qn(t;ε)=qn0(T0,T1,T2)+εqn1(T0,T1,T2)+

ε2qn2(T0,T1,T2)+O(ε2)

(7)

其中,Ti=εit,(i=0,1,2),ε(0<ε≤1)為小參數(shù)。

將式(7)代入式(5),并令兩端εi的系數(shù)相等,得到:

(8)

(9)

glc1D0qn0(t-τ)-glc2qn0D0qn0(t-τ)

(10)

式(8)的解可表示為以下形式

(11)

其中,cc為前面各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)以及

將式(11)代入式(9)中,消去久期項(xiàng),可知D1An=0,由此可得qn1的表達(dá)式。將所得結(jié)果代入式(10)中,同理消去久期項(xiàng)可知qn2的表達(dá)式。

本文分析超諧波共振和亞諧波共振聯(lián)合共振的情況,設(shè):

3Ω1=ω1+ε2σ1,Ω2=3ω1+ε2σ2

(12)

其中,σ1和σ2為調(diào)諧參數(shù)。則式(10)的可解性條件為

iglc1Ane-iωnτ=0

(13)

式中:δn1為克羅內(nèi)克δ函數(shù);上標(biāo)橫線表示共軛項(xiàng)。其他參數(shù)如下

pm=

smk=

(14)

令:

(15)

其中,an和βn為T2的實(shí)函數(shù)。

在實(shí)際工程中,懸索的前兩階模態(tài)(一階正/反對(duì)稱模態(tài))較易激發(fā),也更易測(cè)試。因此,為簡(jiǎn)便起見,本文考慮單模態(tài)模型(一階正/反對(duì)稱模態(tài))[22]。將式(15)代入式(13),分離實(shí)虛部,當(dāng)n=1時(shí),可得:

(16a)

(16b)

(17)

即σ2=3σ1=3σ時(shí)才存在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),此時(shí)Ω2=9Ω1?？傻梅€(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程:

μea1-2p1sin(γ+3θ1)-

(18a)

(18b)

其中,

(19)

3 算例分析

本節(jié)對(duì)多頻激勵(lì)下受控懸索聯(lián)合共振響應(yīng)開展數(shù)值分析。懸索的各項(xiàng)物理參數(shù)分別為[23]:跨度L=200 m,截面面積A=7.069×10-2m2,彈性模量E=200 GPa,密度ρ=7 800 kg/m3,阻尼比μn=0.005。懸索的非線性振動(dòng)特性與其垂跨比的大小相關(guān),本文取垂跨比為適中值0.015。

令方程組(18)中的θ1=θ2=0,可以得到懸索在超諧波與亞諧波聯(lián)合共振情況下的幅頻響應(yīng)曲線和對(duì)應(yīng)的調(diào)諧相位曲線,如圖2～圖6所示。實(shí)線和虛線分別表示穩(wěn)定解和不穩(wěn)定解。幅頻響應(yīng)曲線都向左彎曲,表現(xiàn)出軟彈簧特性。在多頻激勵(lì)作用下系統(tǒng)同時(shí)展現(xiàn)出超諧波共振和亞諧波共振響應(yīng)的特性,但又與單一的超諧波和亞諧波共振特性不同,其共振區(qū)間、響應(yīng)幅值及其相位等均發(fā)生了改變。其中,A和D兩枝類似于懸索發(fā)生超諧波共振響應(yīng)時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線,B和C兩枝類似于懸索發(fā)生亞諧波共振響應(yīng)時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。在多頻激勵(lì)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解個(gè)數(shù)也發(fā)生改變,其解存在以下可能性:一個(gè)穩(wěn)定的非平凡解;三個(gè)非平凡解,其中一個(gè)是不穩(wěn)定的;五個(gè)非平凡解,其中兩個(gè)是不穩(wěn)定的;七個(gè)非平凡解,其中三個(gè)是不穩(wěn)定的。

(a) 幅頻響應(yīng)曲線

由圖2可知,當(dāng)gl=0.000 1,τ=0.15時(shí),σ取不同值,分枝B和分枝C可能彼此相交,也可能不相交,而當(dāng)σ值適當(dāng)大時(shí),所有分枝皆不相交,即曲線不閉合。隨著控制增益的增大,如圖3所示,在gl=0.000 2,τ=0.15時(shí),分枝B向下移動(dòng)并形成一個(gè)循環(huán),環(huán)的下部是穩(wěn)定的,而上部是不穩(wěn)定的。進(jìn)一步提高控制增益,如圖4所示,在gl=0.000 3,τ=0.15時(shí),懸索仍表現(xiàn)出一定的軟彈簧特性,但在頻率響應(yīng)曲線上存在一定的間隙,超諧波共振型曲線分成兩條,特別地,分支A是封閉的并且大部分是單值的,只有小范圍內(nèi)存在多值。由圖2～圖4可以看到,給定時(shí)滯τ=0.15時(shí),隨著控制增益減小,分枝D的穩(wěn)定和不穩(wěn)定解的相位變得相當(dāng)接近。此外,由圖2、圖5、圖6可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)gl=0.000 1時(shí),時(shí)滯值從τ=0.15增大到τ=0.25,分枝B上移,分枝C下移,兩個(gè)分枝之間的距離逐漸減小。

(a) 幅頻響應(yīng)曲線

(a) 幅頻響應(yīng)曲線

(a) 幅頻響應(yīng)曲線

綜上所述,通過調(diào)節(jié)控制增益和時(shí)滯值的大小可以改變共振范圍、響應(yīng)幅值及其相位。且控制增益和時(shí)滯值對(duì)相位的影響較大。當(dāng)多頻激勵(lì)下的振動(dòng)行為較為復(fù)雜時(shí),可以通過頻率響應(yīng)曲線和調(diào)諧相位曲線來(lái)區(qū)分所有解。

4 結(jié) 論

本文主要通過多尺度法和具體的算例研究了多頻激勵(lì)作用下受控懸索的非線性振動(dòng)特性,可以得到以下結(jié)論:

(1) 受控懸索表現(xiàn)出軟彈簧特性,在多頻激勵(lì)作用下表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性,超諧波和亞諧波聯(lián)合共振作用下最多可以達(dá)到七個(gè)解。分枝B和分枝C之間的距離隨著時(shí)滯值增大而慢慢變小,同時(shí)可以發(fā)現(xiàn),隨著控制增益減小,分枝D的穩(wěn)定和不穩(wěn)定解的相位變得相當(dāng)接近。

(2) 通過調(diào)節(jié)控制增益和時(shí)滯值的大小可以改變懸索的共振范圍、響應(yīng)幅值及其相位。當(dāng)多頻激勵(lì)下的振動(dòng)行為較為復(fù)雜時(shí),可以通過頻率響應(yīng)曲線和調(diào)諧相位曲線來(lái)區(qū)分所有解。