整合教學(xué)內(nèi)容 促進整體理解

■劉才云

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）提出“改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)”。基于以上要求，筆者對幾何教學(xué)內(nèi)容中的眾多定理進行再思考，在數(shù)學(xué)教研組集體備課時做了深入研討。全組教師形成比較一致的觀點：要整合教學(xué)內(nèi)容，促進學(xué)生在聯(lián)系中整體理解教學(xué)內(nèi)容。下面是研討心得，以供更多同行參考、討論。

一、從聯(lián)系的角度，分析、整合幾何教學(xué)內(nèi)容

我們基于聯(lián)系的角度，分析初中幾何教學(xué)內(nèi)容，打破原先以課時為順序的教學(xué)方式，對平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定方法、角平分線（線段垂直平分線）的性質(zhì)與判定、等腰三角形等內(nèi)容進行了整合，下面分別展開解讀。

1.平行線的判定與性質(zhì)

一般來說，研究幾何對象的順序是定義、判定與性質(zhì)。比如，研究平行線的判定時，教師可以引入一條截線，生成8 個角（“三線八角”），依據(jù)教材，定義這8 個角的名稱（同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角），然后從“三線八角”的數(shù)量關(guān)系來研究兩條直線是否平行的位置關(guān)系；反過來，從兩條直線的平行關(guān)系，研究“三線八角”的數(shù)量關(guān)系。這樣的“正反”研究方式是幾何研究的“基本套路”，應(yīng)該整合在一個單元（學(xué)情較好，可以整理在一個課時）中進行整體教學(xué)，有利于學(xué)生整體感知平行線的判定與性質(zhì)。至于平行線的判定與性質(zhì)的例、習(xí)題教學(xué)，教師可以在后續(xù)課時中集中進行習(xí)題鞏固訓(xùn)練與講評。

2.全等三角形的判定方法

不少版本的教材上關(guān)于全等三角形的不同判定方法是按課時逐一學(xué)習(xí)的，比如“邊邊邊”安排一課時，“邊角邊”安排一課時，等等。從單元整體教學(xué)的角度考慮，教師也可以在第1課時，讓學(xué)生從全等三角形的定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)運用定義法來證明兩個三角形全等需要太多的條件。教師提出問題：“能不能少一點條件呢？”經(jīng)過討論、列舉以及舉反例，最后聚焦在三個條件（至少有一組邊對應(yīng)相等）的不同組合上，再通過畫圖、疊合驗證，梳理出全等三角形判定的方法（新課標(biāo)稱“SAS”“ASA”“SSS”為“基本事實”）。以上內(nèi)容是單元整體教學(xué)的思路，根據(jù)學(xué)情可能需要1～2課時才能完成，至于具體的例、習(xí)題的鞏固訓(xùn)練，要到第3或第4課時再安排。

此外，人教版、蘇科版教材都是將直角三角形的比較特殊的一種全等判定方法（HL）的內(nèi)容安排在一般三角形的全等判定之后，而且只給出畫圖驗證，并沒有給出具體的推理證明（只是說明這是一個“定理”，我們在后續(xù)進行證明）。而查閱新課標(biāo)會發(fā)現(xiàn)，在三角形全等的判定方法內(nèi)容中并沒有“連續(xù)”提及“HL”定理，而是在直角三角形、勾股定理之后提到了“探索并掌握判定直角三角形全等的‘斜邊、直角邊’定理”。對比來說，筆者認(rèn)為，一般三角形的全等判定方法作為一個單元整體建構(gòu)更加合適，而直角三角形的全等方法可以安排在等腰三角形的性質(zhì)之后再學(xué)習(xí)，到時也可借助等腰三角形的性質(zhì)進行證明。

3.角的平分線與線段垂直平分線

人教版教材中，學(xué)生在學(xué)習(xí)了全等三角形之后就“連續(xù)”進行判定定理、角平分線性質(zhì)的學(xué)習(xí)，而到了下一章學(xué)習(xí)軸對稱與軸對稱圖形時，再學(xué)習(xí)線段垂直平分線的有關(guān)內(nèi)容。筆者認(rèn)為，角平分線的性質(zhì)與判定定理，適合與線段的垂直平分線性質(zhì)和判定安排在一起作為單元整體建構(gòu)，包括角平分線、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖等。這些內(nèi)容整合在一起進行教學(xué)，有利于學(xué)生對這兩個“結(jié)構(gòu)相似”的知識模塊的理解和掌握。同時，不要急于在學(xué)完全等三角形之后，立即安排它們的學(xué)習(xí)，而應(yīng)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)全等三角形后，通過練習(xí)得到更充分的鞏固。

4.等腰三角形

根據(jù)有些教材上的課時劃分，“等腰三角形第1課時”通常只是學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)（如“等邊對等角”“三線合一”），然后進行例、習(xí)題的講評，鞏固訓(xùn)練等腰三角形的性質(zhì)；第2課時再學(xué)習(xí)等腰三角形的判定方法（“等角對等邊”）。從單元整體建構(gòu)的角度看，可以在第1 課時學(xué)習(xí)了“等邊對等角”之后，就學(xué)習(xí)“等角對等邊”，這樣基于“正、反”思考，符合認(rèn)知規(guī)律和前后一致的研究思路，并且從學(xué)生構(gòu)建輔助線的方法來看，也能讓學(xué)生感受到“和而不同”（作底邊上的高或頂角平分線都能解決，但作底邊上的中線并不適合“等角對等邊”的證明）。由于等腰三角形包含更特殊的等邊三角形、等腰直角三角形，教師也可在第2課時將等腰三角形進一步特殊化為等邊三角形和等腰直角三角形，然后依次展開研究。這個學(xué)習(xí)路徑與后續(xù)平行四邊形的學(xué)習(xí)路徑是一樣的，先學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)和判定，再依次學(xué)習(xí)性質(zhì)比較特殊的矩形、菱形以及正方形。

二、關(guān)于單元整體教學(xué)的進一步思考

1.單元整體教學(xué)選編學(xué)材，要注重教材內(nèi)容的重組與加工

我們知道，新課標(biāo)頒布之后，各版本教材編寫組才能根據(jù)課標(biāo)要求進一步改編出符合新課標(biāo)理念的新版教材，在目前“新課標(biāo)、舊教材”的現(xiàn)狀下，教師在開展單元整體教學(xué)時需要對教材內(nèi)容進行重組。

這方面，全國著名特級教師李庾南圍繞初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提出了“三學(xué)”，即學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成。其中“學(xué)材再建構(gòu)”主要就是針對教材內(nèi)容的重組、加工與轉(zhuǎn)化?；诮滩摹W(xué)材重組，是每個教師應(yīng)該修煉的專業(yè)基本功。關(guān)于教材重組，我國著名數(shù)學(xué)教育家曹才翰先生就曾指出“下要保底，上不封頂”，即課標(biāo)上雖然對有些教學(xué)內(nèi)容進行了刪減或以“※”號標(biāo)注作為選學(xué)內(nèi)容，但是實際教學(xué)中，為了保持教學(xué)內(nèi)容的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)與知識體系的完整性，教師結(jié)合學(xué)情，可以進行必要的增補。比如，課標(biāo)將平行線分線段成比例性質(zhì)作為“基本事實”，只讓學(xué)生進行實驗確認(rèn)，其實借助平行線等分線段定理（或者面積法）就可證明這個性質(zhì)；再比如由圓內(nèi)的相交弦性質(zhì)到切割線性質(zhì)（即圓冪定理）等，都可以基于它們的一致性或變式拓展，給學(xué)生進行梳理、補充。

2.單元整體教學(xué)起始課要以知識建構(gòu)為主、習(xí)題訓(xùn)練為輔

有些剛剛接觸、嘗試單元整體教學(xué)起始課的教師常常抱怨內(nèi)容太多，感覺一節(jié)課來不及講這么多內(nèi)容。這是一種現(xiàn)實，很多教師都會有這樣的困惑。實踐表明，單元整體教學(xué)起始課并不能面面俱到，需要聚焦主線，刪減旁枝末節(jié)，特別是例、習(xí)題的訓(xùn)練用時要大大壓縮，甚至要將例、習(xí)題置后，在習(xí)題課中再進行講解。

以上文提到的全等三角形的判定單元教學(xué)為例，全課要以知識建構(gòu)為主，需要組織學(xué)生從全等三角形的定義分析，減少一些條件來判定兩個三角形全等，當(dāng)條件刪減到3 個時，至少要有一條邊相等，然后通過畫圖、舉反例的過程，將研究目光聚焦在有限的幾個判定方法上，驗證之后得出全等三角形判定的“基本事實”，再板書它們的文字語言、符號語言。該課教學(xué)內(nèi)容很多，基本沒有時間進行例、習(xí)題的教學(xué)。

再比如，學(xué)習(xí)了三角形中位線性質(zhì)定理之后，可以在后續(xù)習(xí)題課中安排梯形中位線性質(zhì)的例、習(xí)題，還有“中點四邊形”的題組訓(xùn)練，包括總結(jié)原四邊形對角線的數(shù)量與位置關(guān)系對“中點四邊形”形狀的影響，都是例、習(xí)題課的教學(xué)目標(biāo)。

3.單元整體教學(xué)在知識體系建構(gòu)之后要安排例、習(xí)題課

如上所述，有些單元教學(xué)起始課側(cè)重于新知生成、知識體系的構(gòu)建，而鞏固新知還需要必要的例、習(xí)題訓(xùn)練與講評。所以，單元整體教學(xué)起始課之后，要安排必要的例、習(xí)題課，這里題目的選取、改編都要精心設(shè)計，而不是按照教材上的例、習(xí)題的順序展開。

筆者的做法是以題組呈現(xiàn)的方式，進行必要的變式與拓展，可以使一些基本問題的教學(xué)價值得到較大的發(fā)揮。比如，等腰三角形單元整體教學(xué)之后，可以選取頂角為36°的等腰三角形，圍繞這個基本圖形設(shè)計系列問題；或者以等腰直角三角形為背景設(shè)計1～2 節(jié)專題課；再比如圍繞等邊三角形設(shè)計1～2 節(jié)專題課，這樣才能幫助學(xué)生對這些基本圖形有比較深刻的理解。