基于廣義等距張量的壓縮多光子糾纏態(tài)量子密鑰分發(fā)*

賴紅

(西南大學計算機與信息科學學院,重慶 400715)

等距張量(即張量 ω 滿足 ω?ω=I)為實現(xiàn)張量網絡態(tài)(tensor network states,TNSs)中確定糾纏態(tài)的壓縮提供了一種新穎而強大的數(shù)學構造算法.結合等距張量,本文發(fā)現(xiàn)在量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution,QKD)中可能采取完全不同的密鑰生成方法,即在不改變糾纏態(tài)結構和性質的情況下,將任意多光子糾纏態(tài)壓縮成單光子態(tài)或者Bell 態(tài).在提出的QKD 協(xié)議中,輸入態(tài)由任意糾纏態(tài)組成,這些輸入態(tài)首先被發(fā)送方Alice 壓縮成單光子態(tài) |0〉或 |1〉 或Bell 態(tài),使得提出的協(xié)議同時達到了多模存儲和確定性傳輸?shù)囊?且減少了需要傳輸和存儲的量子比特數(shù)量,從而提高了QKD 協(xié)議的編碼能力.然后再添加誘騙態(tài)在這些單光子態(tài)|0〉和 |1〉 中,再通過量子信道一起發(fā)送給接收方Bob,以制備密鑰.最后,Alice 和Bob 利用篩選出來的壓縮態(tài)|0 〉和|1〉 以及他們對應的等距張量的共軛轉置來協(xié)商出共享密鑰.本文提出的協(xié)議比一般協(xié)議中的單光子能編碼更多的經典比特,顯著提高了編碼效率,減少了量子資源的使用.本文提出的QKD 協(xié)議還保持了生成密鑰的完美安全性.

1 引言

最近,量子數(shù)據(jù)壓縮已成為熱門話題,因為量子存儲仍然存在非常昂貴且供不應求的問題[27-35].例如,Fan 等[27]設計了兩種量子數(shù)據(jù)壓縮協(xié)議,分別適用于壓縮四個和五個完全相同的量子比特.Bostroem 和 Felbinger[28]在他們的協(xié)議中提出了一個無損、瞬時量子數(shù)據(jù)壓縮協(xié)議.該協(xié)議應用了可變長度量子消息的框架.Plesch 和Bu?ek[30]同樣提出了利用N個相同的制備的量子編碼.Rozemae等[31]證明N個相同制備的量子比特的集合可壓縮到量子比特.而且,學者還提出使用機器學習和量子自動編碼器來改善壓縮.而基于糾纏態(tài)的QKD 研究中的一個中心問題是糾纏態(tài)是否可以被壓縮成單光子態(tài).Acoleyen 等[36]已經肯定地回答了這個問題.他們證明糾纏壓縮可以通過在多尺度糾纏重整化假設(multiscale entanglement renormalisation ansatz,MERA)的等距和矩陣乘積算符(matrix product operator,MPO)的局域張量之間構建映射來實現(xiàn).2023 年,Lai 等[37]將MERA壓縮方法用到QKD 協(xié)議的設計中,即提出用構造的等距張量壓縮多光子糾纏態(tài).但是,在Lai 等[37]的協(xié)議里,沒有進一步擴展它們構造的等距張量在QKD協(xié)議的應用,以及缺少相應的功能分析和安全性分析.

盡管量子數(shù)據(jù)壓縮帶來了很多優(yōu)勢,但也帶來了挑戰(zhàn).最重要的是它的安全性.Evenbly[38]提出了一類可用作監(jiān)督學習中的分類器的數(shù)態(tài)保跡張量網絡.但他發(fā)現(xiàn)糾纏態(tài)的乘積態(tài)無法將中間態(tài)與經典數(shù)據(jù)聯(lián)系起來.這意味著可解釋性損失.然而,本文卻相信正是這種可解釋性損失可以用來確保QKD 的安全性.具體地,本文應用 Evenbly[38]提出的數(shù)態(tài)保跡的等距矩陣,基于Lai 等[37]構造的廣義等距張量來更系統(tǒng)更全面地展示QKD 中壓縮糾纏態(tài)的優(yōu)勢及其安全性分析,同時解決BB84,Ekert91,BBM92 和基于GHZ 的QKD 協(xié)議的不足.因此,本文的擴展超越了簡單減少需要傳輸和存儲的量子比特數(shù)量以及消耗更少的量子資源(量子比特和內存).此外,本文的 QKD 協(xié)議允許將經典信息更有效地編碼為量子比特.更容易保護協(xié)議免受退相干.本文通過例子來介紹本文的協(xié)議.在示例中,Alice 使用等距張量從N(N3)光子 GHZ態(tài)制備一個壓縮的數(shù)態(tài)|0〉或|1〉或Bell 態(tài).然后,Alice 通過量子信道將壓縮后的數(shù)態(tài)與誘騙態(tài)一起發(fā)送給 Bob.最后,Alice 和 Bob 可以通過篩選出來的壓縮態(tài)|0〉和|1〉解壓縮達成一致密鑰.此外,本文的協(xié)議還保持了共享密鑰的完美安全性.

2 背景知識

首先介紹等距矩陣的定義及其性質,然后給出了用于糾纏壓縮的廣義等距張量的嚴格數(shù)學定義.

2.1 等距矩陣及其性質

定義1 (等距矩陣[38])給定一個d1×d2矩陣ω使得ω?ω=I(當d1＜d2)或ωω?=I(當d1＞d2),則ω稱為等距矩陣.

(1)式表明等距矩陣ω保證兩個量子態(tài)在小空間的內積等于它們映射到大空間的像的內積.

2.2 廣義等距張量及其性質

定義2 (第一類廣義的等距張量[37])廣義的等距張量w(wN1,wN2),N≥3 定義如下:

并且

同時，通過區(qū)塊鏈技術將共享維修站采集的數(shù)據(jù)存儲于云端，而區(qū)塊鏈技術本身的防篡改、可追溯等特點為實現(xiàn)數(shù)據(jù)資產確權提供了可能性。即數(shù)據(jù)可面向需求者，創(chuàng)造出更多的新應用。而數(shù)據(jù)提供及參與者，將在數(shù)據(jù)被使用后拿到相應的利益回報。此開放性舉措的提出與落實，相信對于汽車行業(yè)乃至整個消費行業(yè)來說，都將具有革新性的意義。

第一類廣義等距張量可用于壓縮任何N-光子GHZ 糾纏態(tài)為單光子態(tài).

定義3 (第二類廣義的等距張量[37])廣義的等距張量定義如下:

注意在等距張量wN′1的第2,3 行,非零元的個數(shù)為 2N-1-1 .

注意在等距張量wN′2的第1,4 行,非零元的個數(shù)為 2N-1-1 .其中w′(w′N1,w′N2) 滿足以下條件:

第二類廣義等距張量可用于壓縮任何N-光子GHZ糾纏態(tài)為Bell 態(tài).

3 基于糾纏壓縮的QKD 協(xié)議

本節(jié)將展示如何使用廣義等距張量設計兩個基于糾纏壓縮的QKD 協(xié)議.設計這樣協(xié)議的目的是減少通信和存貯的開銷和全面的揭示糾纏壓縮的QKD 協(xié)議的優(yōu)勢.在這里,通信和存儲開銷被理解為在協(xié)議執(zhí)行期間交換和存儲的量子比特數(shù).由于量子信息處理設備的許多想法都是基于在網絡節(jié)點之間用一個相對較小的量子處理器發(fā)送量子信息的,因此找到用于壓縮傳輸?shù)牧孔訑?shù)據(jù)的協(xié)議具有重要的實際意義.更一般地,大部分量子信息理論都涉及在局域約束[39]下對數(shù)據(jù)的進行操作,因此本文提出協(xié)議自然地與這些研究需求相關聯(lián).在協(xié)議中,本文假設Alice 可以制備任何糾纏態(tài)且獨立地利用一系列等距張量將這些糾纏態(tài)壓縮為單光子態(tài)或者Bell 態(tài),然后將壓縮后的單光子態(tài)或者Bell 態(tài)糾纏光子通過量子信道發(fā)送給 Bob,Bob隨機選擇測量基測量這些壓縮的單光子態(tài),然后對篩選后的壓縮的單光子態(tài)或者Bell 態(tài)糾纏光子進行解壓縮來得到密鑰.

3.1 第一個協(xié)議的描述

給定N≥3,本文取N光子 GHZ 糾纏態(tài).本文的 QKD 協(xié)議按以下步驟執(zhí)行.

步驟1 制備壓縮單光子態(tài).該步驟由 Alice 執(zhí)行.利用(2)式和(3)式中的等距張量w(wN1,wN2).N光子 GHZ 糾纏態(tài)被 Alice 壓縮為數(shù)態(tài)|0〉和|1〉(參見圖1). 即使用w(wN1,wN2)后被壓縮的數(shù)態(tài)分別為|0〉和|1〉,具體數(shù)學表達式為

圖1 利用wN1, wN2,N 光子GHZ 糾纏態(tài)(/2)(|00···0〉+|11···1〉)被隨機壓縮為數(shù)態(tài) |0〉 或 |1〉,利用,|0〉 或|1〉被解壓縮為N 光子GHZ 糾纏態(tài) (/2)(|00···0〉+|11···1〉) 示意圖Fig.1.The schematic compression of (/2)(|00···0〉+|11···1〉) into |0〉or |1〉 using wN1,wN2,and decompression of |0〉 or|1〉 into (/2)(|00···0〉+|11···1〉) using .

步驟2 壓縮單光子態(tài)的傳輸.Alice 通過一個量子信道將壓縮后的單光子態(tài)發(fā)送給Bob.在這里Alice 和Bob 約定,當?shù)玫綁嚎s態(tài)為數(shù)態(tài)|0〉和|1〉時,分別解壓縮得到n比特的經典信息00···0和 11···1 .這些通過量子信道的傳輸?shù)膲嚎s單光子態(tài)受到誘騙態(tài)的保護.

步驟3 用于竊聽檢測的誘騙態(tài).Alice 隨機選擇基Bz={|0〉,|1〉},Bx={|+〉,|-〉}用于產生誘騙態(tài),其中|+〉=(|0〉+|1〉)/.隨后將誘騙態(tài)隨機插入到壓縮單光子態(tài)序列中,并記錄這些誘騙態(tài)的位置及初始態(tài).一旦Bob 確認收到粒子后,Alice公布誘騙態(tài)的位置及測量這些誘騙態(tài)的測量基.Bob 完成測量后,通過認證廣播信道通知Alice 他的測量結果.通過比較誘騙態(tài)的初始態(tài)與參與者測量得到的態(tài),Alice 可計算這些誘騙態(tài)的錯誤率.如果錯誤率高于某個預先設定的閾值,則協(xié)議中止,否則繼續(xù).

步驟4 壓縮糾纏態(tài)的測量.該步驟類似于BB84[1]的相應步驟.在接收到一個壓縮糾纏態(tài)后,Bob 隨機選擇一個基進行測量.接下來,Bob 用認證廣播信道告訴Alice 其選擇的基.最后,通過對基后,Alice 通過認證廣播信道通知Bob 等距張量用于解壓縮相應的壓縮糾纏態(tài).最后,他們使用解壓縮最后篩選出來的壓縮糾纏態(tài)如下所示:

整個過程如表1 所示.

步驟5 密鑰協(xié)商.此步考慮被解壓縮回N光子GHZ 態(tài)所編碼的經典比特信息.當Alice 和Bob解壓縮被篩選出來的單光子為(/2)(|00···0〉+|11···1〉),他們根據(jù)步驟2 的約定,可得到經典信息 00···0 和 11···1,把它們串接到一起就得到了生密鑰.

3.2 第二個協(xié)議的描述

本節(jié)描述了一種將任何N光子GHZ 態(tài)壓縮為Bell 態(tài)的協(xié)議(參見圖2).其實很多量子信息理論都與局域約束下[39]的量子數(shù)據(jù)操作有關,因此本文的協(xié)議自然與這些研究相關.對于任何糾纏態(tài),本文基于Lai 等[37]定義的廣義等距張量展示了一種最佳壓縮它們的方法,且充分利用了 Alice和 Bob 之間壓縮貝爾態(tài)的相關性來實現(xiàn)QKD.本文的第2 個 QKD 協(xié)議步驟如下.

圖2 利用 w′N1,wN′2,N 光子 GHZ 糾纏態(tài) (/2)(|00···0〉+|11···1〉)被隨機壓縮為Bell 態(tài) (/2)(|00〉+|11〉) 或(/2)(|01〉+|10〉),利用,Bell 態(tài) (/2)(|00〉+|11〉) 或 (/2)(|01〉+|10〉) 被解壓縮為N 光子 GHZ 糾纏態(tài)(/2)(|00···0〉+|11···1〉)示意圖Fig.2.The schematic compression of (/2)(|00···0〉+|11···1〉) into (/2)(|00〉+|11〉) or (/2)(|01〉+|10〉) usingwN′1,wN′2,and decompression of (/2)(|00〉+|11〉) or (/2)(|01〉+|10〉) into (/2)(|00···0〉+|11···1〉) using .

步驟2 壓縮Bell 態(tài)的傳輸.Alice 通過量子信道將每個壓縮后的Bell 態(tài)中的一個光子發(fā)送給Bob,另一個自己保留.在這里,Alice 和Bob 約定: 當?shù)玫綁嚎sBell 態(tài)分別為 (/2)(|00〉+|11〉),(/2)(|01〉+|10〉),解壓縮得到n比特的經典信息就分別為 00···0 和 11···1.這些通過量子信道的傳輸?shù)膲嚎sBell 態(tài)糾纏光子受到誘騙態(tài)的保護.

步驟3 用于竊聽檢測的誘騙態(tài).Alice 隨機選擇基Bz={|0〉,|1〉},Bx={|+〉,|-〉}用于產生誘騙態(tài),其中|+〉=(|0〉+|1〉)/.隨后將誘騙態(tài)隨機插入到壓縮單光子態(tài)序列中,并記錄這些誘騙態(tài)的位置及初始態(tài).一旦在Bob 確認收到粒子后,Alice公布誘騙態(tài)的位置及測量這些誘騙態(tài)的測量基.Bob 完成測量后,通過認證廣播信道通知Alice 他的測量結果.通過比較誘騙態(tài)的初始態(tài)與參與者測得的態(tài),Alice 可計算這些誘騙態(tài)的錯誤率.如果錯誤率高于某個預先設定的閾值,則協(xié)議中止,否則繼續(xù).

步驟4 壓縮Bell 態(tài)的測量.該步驟類似于BBM92[4]的相應步驟.在接收到一個壓縮糾纏態(tài)光子后,Bob 隨機選擇一個基進行測量.接下來,Bob 用認證廣播信道告訴Alice 其選擇的基.然后通過對基后,根據(jù)步驟1 的約定,Alice 和Bob 可以得到相應的壓縮Bell 態(tài).最后,Alice 通過認證廣播信道通知Bob 等距張量用于解壓縮相應的壓縮糾纏態(tài),即他們使用解壓縮最后篩選出來的壓縮Bell 態(tài).這里以等式(12)和(13)為例說明,可得如下等式:

步驟5 密鑰協(xié)商.考慮被解壓縮回N光子GHZ態(tài)所編碼的經典比特信息.當Alice 和Bob 解壓縮被篩選出來的單光子為(|00···0〉+|11···1〉),他們根據(jù)步驟2 的約定,可得到經典信息 00···0 和11···1,把它們串接到一起就得到生密鑰.

4 性能分析

4.1 壓縮性和解壓縮性

不僅壓縮和解壓縮的過程非常簡單,而且使用等距張量進行糾纏壓縮可以使用量子電路和當前技術來實現(xiàn).由于量子信息處理設備的許多想法都是基于在網絡節(jié)點之間用一個相對較小的量子處理器發(fā)送量子信息的,因此找到用于壓縮傳輸?shù)牧孔訑?shù)據(jù)的協(xié)議具有重要的實際意義.更一般地,大部分量子信息理論都涉及在局域約束[39]下對數(shù)據(jù)的進行操作,因此本文提出的協(xié)議自然地與這些研究需求相關聯(lián).

4.2 抗退相干性

在Ekert91[3]和BBM92[4]協(xié)議中和基于GHZ態(tài)的QKD 協(xié)議中[7-23]要求是糾纏態(tài).然而,糾纏粒子在實際傳輸和存儲過程中會相互作用,從而導致糾纏系統(tǒng)的粒子之間的退相干(或糾纏退化).這在本文的第一個協(xié)議中是可以避免的,因為糾纏態(tài)被壓縮成一個單光子態(tài).因此,本文的協(xié)議可以抗退相干.更多的細節(jié)在下面的表2 可見.

表2 本文的協(xié)議與文獻[4,16,20]中的協(xié)議進行了比較Table 2.Our protocol compares with the protocols in Refs.[4,16,20].

4.3 低量子傳輸和量子存儲開銷

對于Ekert91[3]和BBM92[4]協(xié)議和基于GHZ態(tài)的QKD 協(xié)議[7-23],每個光子最多只能生成兩個密鑰,故需要傳輸和存儲大量的光子.而在QKD中,量子比特比經典比特更昂貴,主要是因為其技術成本高、安全性要求高和易失性高等原因.本文的協(xié)議是先將任何糾纏態(tài)壓縮為單光子態(tài)或Bell態(tài),再發(fā)送給接收方.即本文使用相應的等距張量來實現(xiàn)了大大減少需要傳輸和存儲的量子光子數(shù).盡管等距張量構造和存儲本身應該也有開銷,但是,眾所周知,經典的傳輸和存儲開銷比量子的開銷要低很多.更重要的是由于等距張量在本文的構造很有規(guī)律性(見等式(2),(3),(6),(7)),因此,可以通過優(yōu)化算法來構造和存儲協(xié)議中使用的等距張量進一步減少相應的開銷.綜上所述,本文的QKD 協(xié)議具有較低的量子傳輸和量子存儲開銷.

4.4 高編碼容量

對于BB84[1],Ekert91[3]和BBM92[4]協(xié)議,以及基于GHZ 態(tài)的QKD 協(xié)議[7-23],每個成功傳送并被正確測量光子只能編碼1 比特經典信息.這極大地限制了QKD 協(xié)議的實際使用效率.相比之下,在本文的協(xié)議中,一個壓縮數(shù)態(tài)|0〉或|1〉或以同樣的方式成功傳送并被正確測量,卻可以被編碼成多位經典信息.因為我們可以通過等距張量方法將一個n比特的糾纏態(tài)壓縮為一個2 量子比特的糾纏態(tài)或者1 量子比特的單光子,其中2＜n.然后可以使用這個2 量子比特糾纏態(tài)或者1 量子比特單光子來傳輸和存儲信息.在接收端,可以使用等距張量轉置方法將這個2 量子比特糾纏態(tài)或者1 量子比特單光子解壓縮為一個n量子比特的糾纏態(tài),從而恢復出原始的信息.也就是說,Alice 只需要傳輸和存儲1 量子比特的光子,就可以結合相應的等距張量來生成n比特的生密鑰.從而實現(xiàn)高效量子比特的利用率和高編碼能力.因此,我們的協(xié)議實現(xiàn)了高容量編碼.故壓縮的態(tài)不僅減少了需要傳輸和存儲的量子位元的數(shù)量,而且還增加了一個額外的定性特性,即增加了QKD 協(xié)議的編碼能力.這就同時實現(xiàn)了多模式存儲和確定性傳輸?shù)囊?

5 結論

本文研究了在 QKD 協(xié)議中對糾纏態(tài)源執(zhí)行壓縮的問題.研究發(fā)現(xiàn)可以利用QKD 協(xié)議中的壓縮的相關性來提高眾所周知的 BB84 和 BBM92的編碼能力.該協(xié)議的優(yōu)點是普遍使用的糾纏態(tài)包括Bell 態(tài)和N光子GHZ 態(tài)都可以通過使用特定的等距張量壓縮成和單光子態(tài)|0〉,|1〉.這種方法在使用量子態(tài)的數(shù)量上比傳統(tǒng)使用糾纏態(tài)的QKD 更有效.同時,展示了如何獲得一個類似的等距張量來獲得解壓縮的壓縮糾纏態(tài).此外,結合等距張量,本文還可以獲得糾纏態(tài)的系數(shù),克服其他糾纏壓縮的主要限制.最重要的是,由等距張量構造的張量網絡等價于量子電路,使本文的提出的協(xié)議在當前技術下具有可實施性,也同時實現(xiàn)了多模式存儲和確定性傳輸?shù)囊?