在過程中形成數(shù)學(xué)眼光，在感悟中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

俞韻宜 楊春琴 楊晨

【教學(xué)內(nèi)容】三年級(jí)數(shù)學(xué)“等值分?jǐn)?shù)”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷認(rèn)識(shí)和理解等值分?jǐn)?shù)的過程，體會(huì)分?jǐn)?shù)單位的大小和多少之間的補(bǔ)償關(guān)系，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)積累感性經(jīng)驗(yàn)。

2.在活動(dòng)與對(duì)話中，體會(huì)通過“每份均分”和“組塊合并”產(chǎn)生等值分?jǐn)?shù)的過程，提高抽象、歸納、概括的能力，發(fā)展數(shù)感，形成數(shù)學(xué)眼光。

3.體會(huì)等值分?jǐn)?shù)的對(duì)稱性和傳遞性，培養(yǎng)推理意識(shí)，感悟“等價(jià)類”思想，體會(huì)極限思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

4.在嘗試應(yīng)用等值分?jǐn)?shù)的過程中，豐富對(duì)其本質(zhì)的理解，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】理解等值分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

【教學(xué)過程】

一、探索發(fā)現(xiàn)，認(rèn)識(shí)等值分?jǐn)?shù)

1.情境引入，感知分?jǐn)?shù)單位大小。

提問：第一次分餅，哪只熊分的多？（如圖1所示）為什么大熊分的多呢？

小結(jié)：同樣是一份，[12]表示的這一份和[14]表示的這一份不相等。[12]比[14]大。

2.初步發(fā)現(xiàn)等值現(xiàn)象。

課件動(dòng)態(tài)出示圖2。

提問：第二次分餅，現(xiàn)在哪只熊分的多？

指出：分法不同，得到的分?jǐn)?shù)也不一樣，結(jié)果兩只熊分到的一樣多。

提問：再看一遍分餅的過程，說一說小熊的餅是怎么分的。

小結(jié)：熊媽媽又切了一刀，把每個(gè)[12]塊再平均分成2份，也就是把整塊餅平均分成4份，原來取的1份變成2份，所以[12]=[24]。

3.嘗試研究[12]=[（ ）6]。

課件動(dòng)態(tài)出示圖3。

提問：熊妹妹想和哥哥吃同樣多的餅，吃1份行嗎，該吃其中的幾份？

小結(jié)：把每個(gè)[12]再平均分成3份，也就是把整塊餅平均分成6份，原來取的1份變成3份。所以[12]=[36]。

4.自主發(fā)現(xiàn)與[12]等值的分?jǐn)?shù)[48]。

談話：除了剛才的分法，還能怎么分？

小結(jié)（配合教具演示）：把每個(gè)[12]再平均分成4份，整塊餅就平均分成8份，原來取的1份變成4份，[48]和[12]也相等。

5.發(fā)展數(shù)感，體會(huì)分子與分母之間的補(bǔ)償關(guān)系。

課件展示圖4，揭題：通過分餅，我們發(fā)現(xiàn)[12]、[24]、[36]、[48]這些分?jǐn)?shù)大小都相等，我們把這些分?jǐn)?shù)叫作等值分?jǐn)?shù)。今天這節(jié)課我們研究的就是等值分?jǐn)?shù)。（板書課題）

提問：先讀一讀，再觀察這些和[12]大小相等的分?jǐn)?shù)，它們有什么不同？

小結(jié)：熊媽媽對(duì)每個(gè)[12]再平均分，分法不同，導(dǎo)致分母不同，分子也不同。平均分的份數(shù)越多，表示[12]大小的份數(shù)就越多。

設(shè)計(jì)意圖：表現(xiàn)形式不同的分?jǐn)?shù)，值卻相等，三年級(jí)學(xué)生理解起來存在障礙。因此筆者設(shè)計(jì)三次分餅情境，激活學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)單位大小的感知，打破固化思維，初步認(rèn)識(shí)等值分?jǐn)?shù)。探究和[12]等值的分?jǐn)?shù)時(shí)，用表達(dá)模型“把每個(gè)[12]再平均分成（ ）份，整個(gè)餅就被分成（ ）份，原來取的1份變成（ ）份”，從而化解認(rèn)知沖突。觀察比較“半塊餅”以及分子和分母的協(xié)同變化，幫助學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)單位的大小和多少之間存在補(bǔ)償關(guān)系，即平均分的份數(shù)越多（分?jǐn)?shù)單位越小），分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)也要越多（分子越大），才能使得分?jǐn)?shù)的大小相同。

二、逐層抽象，進(jìn)行彈性轉(zhuǎn)換

1.[14]和[（ ）8]。

談話：老師一家四口要平均分一塊蛋糕。我可以吃到幾分之幾塊？

提問：為了吃起來更方便，把每個(gè)[14]塊再平均分成2份?，F(xiàn)在我該吃8份中的幾份呢？（2份）

課件動(dòng)態(tài)演示圖5。

追問：吃8份中的1份，可以嗎？（不能）那多吃一點(diǎn)，8份中的3份呢？（多了）

提問：你們的意思是在這張圖中只有[28]和[14]相等，為什么[14]和[28]大小相等呢？

小結(jié)：把每個(gè)[14]塊再平均分成2份，這兒每一份都發(fā)生了相同的變化，整個(gè)蛋糕被平均分成8份，不多不少，只有[28]和[14]相等。

2.[34]=[（ ）（ ）]，通過“每份均分”發(fā)現(xiàn)等值分?jǐn)?shù)。

課件出示圖6，提問：我們也能用一個(gè)正方形來表示這一塊蛋糕，現(xiàn)在涂色部分可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示？（[34]）你能找到和[34]等值的分?jǐn)?shù)嗎？老師給你一張圖（出示圖7）。先說清楚圖形發(fā)生了什么變化，再找和[34]等值的分?jǐn)?shù)。

小結(jié)：把每個(gè)[14]再平均分成3份，每一份都變成了3小份，整體的4份變成了12小份，[14]和[312]相等，所以[34]和[912]是相等的。用每份均分的方法，就能發(fā)現(xiàn)和一個(gè)分?jǐn)?shù)等值的其他分?jǐn)?shù)。（板書：每份均分）

設(shè)計(jì)意圖：乘法思維是學(xué)生掌握等值分?jǐn)?shù)的重要因素，它是指表征某一情境的數(shù)量之間存在著確定的倍數(shù)關(guān)系。兩個(gè)量同向變化，它們之間的關(guān)系保持不變。從[14]到[34]的教學(xué)，是從實(shí)物到圖形的逐步抽象，需結(jié)合具體語境解釋、想象分?jǐn)?shù)單位的變化，對(duì)補(bǔ)償關(guān)系進(jìn)行理解和深化。尋找等值分?jǐn)?shù)，只要對(duì)應(yīng)圖形中的每一份發(fā)生相同的變化——每份均分，總份數(shù)也發(fā)生相應(yīng)的變化，所得到的分?jǐn)?shù)的大小就是相等的。

3.開放探究，動(dòng)手操作找到等值分?jǐn)?shù)。

提問：涂色部分（如圖8所示）可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來表示？（[23]）

拿一段細(xì)條橫放在模型中（如圖9所示），追問：我又對(duì)每一份進(jìn)行均分，看[23]等于幾分之幾？（[46]）

提問：你還能像老師這樣找一個(gè)和[23]大小相等的分?jǐn)?shù)嗎？你們身邊有表示[23]的學(xué)具，也有表示平均分的細(xì)條，試著對(duì)每份均分，找到[23]的等值分?jǐn)?shù)。

學(xué)生先動(dòng)手操作，再交流匯報(bào)。

預(yù)設(shè)：[23]=[69]、[23]=[812]，展示圖略。

指出：把每個(gè)[13]繼續(xù)平均分成2份、3份、4份，用每份均分的方法，就找到和[23]等值的分?jǐn)?shù)。

4.組塊合并，感悟等值分?jǐn)?shù)的對(duì)稱性。

提問：老師是這么讀的（指圖9），[46]=[23]，行嗎？

交流：我們讓時(shí)光倒流。

教師將板貼中用來均分的細(xì)條一段段拿下，并借助動(dòng)畫呈現(xiàn)2小份合并。

小結(jié)：把每2份合并，就讓[46]回到了[23]，所以[46]=[23]。像這樣把[69]、[812]的組塊合并，也能一下子發(fā)現(xiàn)，它們和[23]大小相等。除了對(duì)每份均分，還能用組塊合并的方法，找到等值分?jǐn)?shù)。（板書：組塊合并）

設(shè)計(jì)意圖：“讀[46]=[23]，行嗎”蘊(yùn)含“因?yàn)閍=b，所以b=a”對(duì)稱性的思維模型。借助操作從[46]回到[23]，也是組塊合并的過程。通過每份均分、組塊合并兩種方式來構(gòu)建等值分?jǐn)?shù)，推動(dòng)學(xué)生在不同的表征中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的彈性轉(zhuǎn)換。

三、邏輯推理，促進(jìn)意義建構(gòu)

1.出示空白彩帶。（圖略）

談話：王叔叔想用[35]條彩帶裝飾禮品，誰能來比劃一下，[35]條彩帶大概有多長(zhǎng)？

2.鞏固運(yùn)用“組塊合并”的方法。

出示：[610]條。（圖略）

提問：王叔叔手頭現(xiàn)有這條彩帶，它的長(zhǎng)度符合要求嗎？

談話：你可以在學(xué)習(xí)單上分一分、畫一畫，再和同桌說一說。

出示圖10。

結(jié)合動(dòng)畫演示，指出：把10份中的每2份合并。

小結(jié)：通過一番操作，你們對(duì)王叔叔的彩帶進(jìn)行組塊合并，發(fā)現(xiàn)[610]和[35]大小相等，王叔叔能用這條彩帶完成任務(wù)。

3.感悟等值關(guān)系傳遞性。

提問：你還能找到其他和[35]相等的分?jǐn)?shù)嗎？

預(yù)設(shè)：[915]、[1220]等。

提問：按照你們的分法，[610]=[1220]，那[1220]和[35]相等嗎？

學(xué)生交流。

指出：[35]=[610]，[610]=[1220]，這么傳遞過去，[1220]和[35]是相等的。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖示想象，借助“組塊合并”感悟傳遞性，為理解代數(shù)基本事實(shí)做感性鋪墊，發(fā)展推理意識(shí)。

4.體會(huì)極限思想。

提問：你還能再繼續(xù)找嗎？按照這樣的方法，和[35]大小相等的分?jǐn)?shù)，說得完嗎？

小結(jié)：和[35]等值的分?jǐn)?shù)有無數(shù)個(gè)。你們剛才找到的這些分?jǐn)?shù)長(zhǎng)得都不一樣，但它們的值都和[35]相等。（課件將[35]、[610]、[915]等圈出來形成“等值集”，如圖11）

設(shè)計(jì)意圖：三年級(jí)學(xué)生并不能完整理解“等價(jià)類”和“集合”概念。借助直觀彩條，將分?jǐn)?shù)單位繼續(xù)均分，就能夠得到無數(shù)個(gè)與[35]等值的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生體會(huì)極限思想。將這些分?jǐn)?shù)圈出來形成“等值集”，啟發(fā)學(xué)生感悟該等值集中所有的分?jǐn)?shù)代表同樣的值，一個(gè)分?jǐn)?shù)可以有無限多種表示方法。

四、拓展應(yīng)用，形成閉合回路

談話：課要結(jié)束了，熊熊一家還要分餅。小熊想比大熊多吃一點(diǎn)點(diǎn)。

提問：能怎樣分，幫助小熊多吃一點(diǎn)點(diǎn)呢？

學(xué)生可能想到[34]、[46]、[916]等。

追問：你怎么看出[34]比[12]多一點(diǎn)點(diǎn)？

指出：運(yùn)用了[12]的等值分?jǐn)?shù)[24]，就發(fā)現(xiàn)了[34]比[12]大一些。

設(shè)計(jì)意圖：課的最后又回到[12]，引導(dǎo)學(xué)生自主尋找與[12]等值的分?jǐn)?shù)。小熊要多吃一點(diǎn)，需要找到比[12]大的分?jǐn)?shù)。不唯一的答案推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行解釋反思、應(yīng)用深化，使他們的思維形成從具體到抽象再到具體的閉合回路，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展奠基。

（作者單位：江蘇省無錫師范附屬太湖新城小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）