模型為本 意識為標 普適為徑

羅建華

【編者按】數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達方式。學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵。作為數(shù)學(xué)語言的重要表現(xiàn)之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》將原來的“模型思想”分為“模型意識”與“模型觀念”。小學(xué)生具備較好的模型意識，不但有助于學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，還能夠為其后續(xù)模型觀念的確立打下堅實的經(jīng)驗基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型存在于數(shù)學(xué)學(xué)科的方方面面，發(fā)揮著不可替代的作用。教師如何引導(dǎo)學(xué)生形成對數(shù)學(xué)模型的普適性初步感悟？如何培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)的概念或方法解釋現(xiàn)實問題？本期話題就學(xué)生的模型意識培養(yǎng)展開探討。

【摘 要】模型意識是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。如何培養(yǎng)小學(xué)生的模型意識？本文縱向?qū)Ρ攘瞬煌瑢W(xué)段有關(guān)模型思想的核心素養(yǎng)表現(xiàn)：小學(xué)階段的模型意識、初中階段的模型觀念、高中階段的數(shù)學(xué)建模；橫向?qū)Ρ攘四Ｐ鸵庾R和應(yīng)用意識，梳理相關(guān)文獻，進行理路研究。筆者建議在小學(xué)階段對數(shù)學(xué)模型采用廣義的解釋，即數(shù)學(xué)中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，它可以應(yīng)用到現(xiàn)實生活中，幫助我們解決同一類的問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。結(jié)合小學(xué)生的年齡特點，本文提出了“模型為本、意識為標、普適為徑”的模型意識基本培養(yǎng)思路，并呈現(xiàn)了部分實踐探索形成的案例。

【關(guān)鍵詞】模型意識 應(yīng)用意識 數(shù)學(xué)模型 普適性

小學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一道題目：水池有一根進水管和一根出水管，打開進水管6小時可將空池注滿，打開出水管9小時可以放完滿池的水。如果同時打開進水管和出水管，多少小時可以把空池注滿？這道題本是培養(yǎng)學(xué)生模型意識的經(jīng)典題目，卻有不少教師覺得難教，學(xué)生也覺得難以理解，甚至有人對這道題設(shè)計的意義提出了質(zhì)疑，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中模型意識缺失所帶來的典型后果。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）中將原“模型思想”分解為模型意識和模型觀念，讓模型思想的內(nèi)涵更有層次感，也更具有可操作性。模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。但這個概念對一線教師來說，理解上有些難度，不知道如何去落實。造成上述不利局面的原因：一是對數(shù)學(xué)模型的認識不清晰，總覺得這是一個很高大上的概念；二是對“初步感悟”所表達的意思理解不明朗，不知道這種“意識”該如何落地。要解決這種困境，就有必要對模型意識這個概念進行詳細的解讀，進而提煉出培養(yǎng)模型意識的思路。

一、模型為本

根據(jù)《課程標準》中對模型意識的解釋，要理解此概念，首先一定要理解數(shù)學(xué)模型。關(guān)于數(shù)學(xué)模型的解釋，一般分為狹義和廣義兩種。狹義地講，數(shù)學(xué)模型是指反映了特定問題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。[1]廣義地講，數(shù)學(xué)模型就是為解決現(xiàn)實生活中的問題而建立的數(shù)學(xué)概念、定義、公式、性質(zhì)、定理、規(guī)律、法則、圖表、圖形、數(shù)量關(guān)系式等。[2]狹義的理解更為精準，主要是解釋了數(shù)學(xué)建模中的“?！?。而廣義的理解缺乏一定的技術(shù)性含義，是一種比較寬泛的理解，它把數(shù)學(xué)中的各種概念、理論和公式等都稱為數(shù)學(xué)模型，甚至數(shù)學(xué)都被說成是一門關(guān)于數(shù)學(xué)模型的學(xué)科。[3]可見數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)中的重要地位。

在小學(xué)階段，應(yīng)該如何理解數(shù)學(xué)模型呢？對比小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段關(guān)于模型思想的核心素養(yǎng)表現(xiàn)——小學(xué)階段的模型意識、初中階段的模型觀念、高中階段的數(shù)學(xué)建模，或許能給我們一些啟發(fā)。

從《課程標準》的解釋來看，小學(xué)階段的模型意識側(cè)重于對數(shù)學(xué)模型普適性的“初步感悟”，初中階段的模型觀念側(cè)重于對運用數(shù)學(xué)模型解決問題“有清晰的認識”，而到了高中階段，則要求用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題。整個體系遵循了從“感悟→認識→應(yīng)用”逐步升級的認知規(guī)律。

對模型意識的理解偏差，很大程度上是混淆了數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模這兩個概念。細讀《課程標準》會發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)階段并沒有出現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的概念，初中開始要求“初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程”，高中則要求具體了解數(shù)學(xué)建模的具體過程。從這個意義上來說，小學(xué)階段的模型意識尚未上升到“建?！睂哟危鴥H僅停留在對“模型”的理解階段。由此可見，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生模型意識與模型觀念的高階目標，模型觀念是初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，模型意識則是要讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題。因此，在小學(xué)階段我們更愿意把數(shù)學(xué)模型做廣義的理解，即數(shù)學(xué)中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，它可以應(yīng)用到生活中，幫助我們解決同一類的問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。這樣的理解更有利于模型意識的推廣，幫助學(xué)生建立模型觀念，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力打下扎實的基礎(chǔ)。

例如，我們來分析“1”這個數(shù)字。生活中其實是沒有1的，只有1個人、1個蘋果、1支鉛筆等。數(shù)字1是從這些數(shù)量為1的事物中抽象出來的符號，它還可以表示1輛車、1個班、1個地球等。因此，哪怕是最簡單的數(shù)字1，都可以看作是一個數(shù)學(xué)模型。

二、意識為標

如何來把握模型意識這個概念呢？

對比《課程標準》中有關(guān)模型意識和應(yīng)用意識的解釋，會發(fā)現(xiàn)兩者有很多的相同之處，如都出現(xiàn)了“現(xiàn)實世界”“解釋”“跨學(xué)科”“解決”“問題”等詞語。從兩者的內(nèi)涵上分析，應(yīng)用意識是有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實世界中的問題。而在模型意識中，廣義視角下的數(shù)學(xué)模型將數(shù)學(xué)的概念、原理和方法等包含在內(nèi)；解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和規(guī)律，解決現(xiàn)實世界中的問題，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)模型的普適性?？梢钥闯?，兩者的內(nèi)涵從本質(zhì)上講是緊密相關(guān)的。

再從兩者的外延上加以分析。一是模型意識要求學(xué)生能夠認識到現(xiàn)實世界中大多數(shù)的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，要有意識地用數(shù)學(xué)的概念和方法進行解釋；應(yīng)用意識是要求學(xué)生能夠感悟現(xiàn)實生活中蘊含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，能用數(shù)學(xué)的方法進行解決。從以上解釋可以看出，兩者都是在建立數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，要應(yīng)用數(shù)學(xué)去解釋或解決現(xiàn)實世界中的問題。二是模型意識要求學(xué)生知道數(shù)學(xué)模型可以解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；而應(yīng)用意識要求學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語言在其他學(xué)科中的應(yīng)用?？梢越鉀Q一類問題，也就是在這類問題中可以通用，因此兩者都在強調(diào)數(shù)學(xué)的通用、應(yīng)用的重要性，只是表述上有略微的不同。

從以上分析可以看出，模型意識與應(yīng)用意識在內(nèi)涵和外延上都有很多相似之處，或者我們也可以這樣來理解——模型意識是培養(yǎng)應(yīng)用意識的主要路徑。在小學(xué)階段，不能對學(xué)生的模型意識有過高的要求，它只是數(shù)學(xué)建模的初級階段。所以，我們在教學(xué)中要側(cè)重于對“意識”的把握，應(yīng)以“意識”為目標，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生和鞏固這樣的意識：數(shù)學(xué)中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，它可以應(yīng)用到生活中，幫助我們解決同一類的問題。而這個度，則是達到“初步感悟”即可。

三、普適為徑

《課程標準》對于模型意識的解釋中還有三個字非常重要，那就是“普適性”。普適性是指某一事物（特別是觀念、制度和規(guī)律等）比較普遍地適用于同類對象或事物的性質(zhì)。普適性是很多理論研究者一生所追求的目標，希望能將某個理論推而廣之，從一個局部性的知識升級為具有普遍性的知識。[4]換而言之，模型意識的落地，就是要把數(shù)學(xué)中學(xué)到的東西，應(yīng)用到生活中去，解決同一類的問題。就如我們解決一個數(shù)學(xué)問題，便不僅僅是會做這一道題，而是要從中提煉出方法，能解決生活中這一類的問題，這就是數(shù)學(xué)模型的普適性。要做到“普適為徑”，需要培養(yǎng)和強化師生的幾種意識和能力。

一是抽象。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)的研究對象，就是事物中的數(shù)與形以及彼此之間的關(guān)系，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時應(yīng)主要關(guān)注的兩個方面。只有抽象出了結(jié)構(gòu)，才有可能建立模型。因此在教學(xué)中，我們要善于創(chuàng)設(shè)盡量真實的情境，更要善于抽象出數(shù)和形，集中學(xué)生的注意力，去解決數(shù)學(xué)問題。例如，我們在教學(xué)生認識“1”的時候，就要先給他們呈現(xiàn)多種數(shù)量為1的事物，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些事物的相同點是數(shù)量都為1，從而抽象出“1”這個符號；然后再來學(xué)習(xí)讀1、寫1，并請學(xué)生用1來說一句話；最后，學(xué)生回家還要找出生活中數(shù)量為1的事物，跟家長交流，充分體會1的應(yīng)用價值。再如，在認識長方形和正方形的特征時，我們就要呈現(xiàn)各種各樣的圖形，并從中找出長方形和正方形，再提煉找的依據(jù)是什么，這些依據(jù)就是長方形和正方形的特征。根據(jù)抽象出來的共同點，學(xué)生就能建立起長方形和正方形的模型，也為他們在以后的學(xué)習(xí)和生活中判斷一個圖形是否是長方形和正方形，甚至是制造一個長方形和正方形提供可靠的支撐。

二是對比。數(shù)學(xué)模型的價值在于，它能解決一類問題，而不是一個問題。當(dāng)抽象出了一個模型后，要培養(yǎng)學(xué)生對比的意識和能力，找到同類事物中的對應(yīng)元素，才能讓數(shù)學(xué)模型精準地發(fā)揮作用。例如，我們在教學(xué)“鴿巢原理”時，先通過研究鴿子和巢的數(shù)量，以及可能出現(xiàn)的結(jié)果，抽象出鴿巢原理的模型；然后提供典型的或變式的事例作為練習(xí)，用來對比找出其中的“鴿”和“巢”，培養(yǎng)學(xué)生的對比意識和能力，從而實現(xiàn)模型意識的落地（如下表所示）。

表1? ?“鴿巢問題”的練習(xí)設(shè)計表格

[練習(xí) 鴿 巢 5個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人 5個人 4把椅子 一副牌，取出大小王，還剩52張牌，任意抽取5張，至少有2張是同花色的 5張牌 4種花色 隨意找13位教師，他們中至少有2個人的屬相相同 13位教師 12種生肖 醫(yī)院的3樓有3位醫(yī)生，樓道里有5位病人在候診，至少有2位病人會找同一位醫(yī)生看病 5位病人 3位醫(yī)生 ]

本文開篇提到的同時打開進水管和出水管的數(shù)學(xué)模型，可以用來解決生活中許多同類型的問題。最典型的就是自來水廠的蓄水池，一邊要出水，供應(yīng)居民生活所需，一邊要給蓄水池補充水，保持蓄水池的水量，而補充水量的大小要根據(jù)供水量的大小來設(shè)定。還有同樣用來蓄水的水庫，當(dāng)下大雨的時候，水庫就要泄洪，否則就會沖垮堤壩。一邊在下雨，就是進水，一邊在泄洪，就是在出水，而泄洪的水量也是要根據(jù)降雨量的大小來計算。再延伸一下，我們?nèi)⒂^一個室內(nèi)展覽，隨時都有人進出。當(dāng)參觀的人數(shù)很多時，也需要用到這個模型，要統(tǒng)計人們在里面參觀的平均時間，調(diào)查室內(nèi)最大能容納多少人，再來計算單位時間可以放進去多少人，這樣就可以讓我們更加合理地利用資源，實現(xiàn)資源利用效益的最大化。當(dāng)學(xué)生具備了這種對比的意識和能力，數(shù)學(xué)模型的普適性才能更好體現(xiàn)。

三是推廣。推廣其實就是應(yīng)用，在這里之所以用推廣一詞，筆者是想凸顯數(shù)學(xué)模型的“普適性”。首先，教師要有推廣的意識，不管教什么內(nèi)容，都要首先想一想它可以如何推廣，這是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力之一，因為人們總是愿意花時間花精力去學(xué)習(xí)有用的東西。例如，學(xué)生第一次認識加法算式1+1＝2，我們先讓學(xué)生充分理解這個算式各部分的意義，掌握讀法與寫法，然后就要進行推廣。我們可以讓學(xué)生想一想、說一說：生活中還有哪些問題也可以用1+1＝2來解決？學(xué)生就會說：我有1個爸爸，1個媽媽，一共有幾個大人？我有1支鉛筆，媽媽又給我買了1支，現(xiàn)在有幾支鉛筆？我昨天在學(xué)校認識了1個好朋友，今天又認識了1個好朋友，我現(xiàn)在有幾個好朋友……然后，我們便可以總結(jié)：這么多的問題，數(shù)學(xué)中一個算式就解決了，這個算式是什么？是1+1＝2。相信這個時候，在學(xué)生心中，1+1＝2就不再是一個冷冰冰的算式。它是一把神奇的鑰匙，可以打開很多扇門。當(dāng)推廣意識作為一種自覺性傳遞給學(xué)生后，他們對數(shù)學(xué)的價值有了更加篤定的理解，模型意識才算是真正落地。

其次，教師要有推廣的能力，要善于分解結(jié)構(gòu)，根據(jù)關(guān)鍵要素去尋找同類事物，才能進行推廣。開篇的那道題，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，解決這道題的關(guān)鍵是要理解速度差，也就是把水池的蓄水量看作單位“1”，則進水的速度為[1/6]，出水的速度為[1/9]，速度差為[1/6]－[1/9]=[1/18]，然后用1÷[1/18]=18（時）。所以，理解速度差是解決這個問題的關(guān)鍵。根據(jù)速度差就能聯(lián)想到追及問題，追及問題的基本模型是路程差÷速度差=追及時間。我們可以把“進水”理解為一個跑得快的人，“出水”理解為一個跑得慢的人，他們之間的路程差就是“1”，兩者的速度差什么時候把這個“1”填滿了，水池就什么時候被注滿。也就是說，同時打開進水管和出水管把水池注滿的問題，其實是追及問題模型的一個應(yīng)用。這樣一來，就非常形象生動了。所以，講完出水管進水管的問題之后，我們可以推廣到這樣的題目：小明和小紅早上上學(xué)走同一條路，兩家相距400米，小明上學(xué)要經(jīng)過小紅家，小明的速度是100米/分，小紅的速度是60米/分。有一天他們同時出發(fā)，小明多少分鐘能追上小紅？也可以推廣到這樣的題目：哥哥和弟弟一起做口算題，哥哥每分鐘可以做30道題，弟弟每分鐘可以做25道題，為了公平，哥哥先讓弟弟做了20道題，哥哥幾分鐘可以和弟弟做的題一樣多？這種推廣能力，一定是建立在對這個數(shù)學(xué)模型深入分析的基礎(chǔ)上，找到關(guān)鍵要素，方能推而廣之。

綜上所述，要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該有這樣三個基本的認識：一是模型為本，認識到數(shù)學(xué)中的概念、公式等，都是從生活中抽象出來的數(shù)學(xué)模型。二是意識為標，數(shù)學(xué)模型可以應(yīng)用到生活中，幫助我們解決同一類的問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。三是普適為徑，要在教學(xué)中去強化師生的三種意識和能力——抽象、對比、推廣。

（作者單位：重慶兩江新區(qū)星湖學(xué)校）

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參考文獻：

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［3］路衛(wèi)華.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在不同語境下的含義辨析［J］.科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究，2019，36（04）：65-69.

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