基于O-U特征的Bachelier模型的期權(quán)定價

錢維佳 陳海楓 陳安鋼 呂照進 奚雷

摘?要：隨著“負油價”現(xiàn)象的出現(xiàn)，對于期權(quán)等衍生產(chǎn)品來說，標的資產(chǎn)負價格意味著經(jīng)典Black-Scholes模型失效。本文對原始的Bachelier模型進行修改，保留標的資產(chǎn)價格可以為負的特點，并且使其具有Ornstein-Uhlenbeck隨機過程特征。基于修正的Bachelier模型結(jié)合蒙特卡洛數(shù)值算法對歐式期權(quán)、美式期權(quán)以及障礙期權(quán)進行定價，進一步擴展其期權(quán)定價應(yīng)用范圍。通過數(shù)值模擬，基于修正的Bachelier模型在期權(quán)定價上表現(xiàn)出很高的計算精度，基于O-U特征的Bachelier模型的期權(quán)定價可以作為Black-Scholes模型期權(quán)定價的替代方案，指導(dǎo)期權(quán)等衍生品定價決策。

關(guān)鍵詞：Black-Scholes模型；Bachelier模型；期權(quán)定價；障礙期權(quán)；負標的資產(chǎn)

一、引言

2020年4月20日，西得克薩斯中質(zhì)原油（WTI）5月期貨價格暴跌305%，至每桶-3673美元，這是芝加哥商品交易所（CME）歷史上該大宗商品首次出現(xiàn)負價格，天然氣等其他大宗商品的價格此前曾跌至0美元以下。在價格跌入負值的情況下，買家將獲得提貨報酬，但是由于運輸和儲存等相關(guān)成本的原因，致使有超過79萬手的多頭被迫與票據(jù)交易所進行現(xiàn)金結(jié)算。WTI是一種特定等級的原油，是石油定價的三大基準之一，其出現(xiàn)負油價在國際金融市場引發(fā)了連鎖反應(yīng)：抄底原油的多頭紛紛爆倉，損失慘重；產(chǎn)油國及原油公司面對低油價和原油供給過剩致使倉儲和財務(wù)崩潰，面臨著巨大的經(jīng)濟風(fēng)險。

負油價的出現(xiàn)主要有以下四個原因：第一，根據(jù)國際能源署的數(shù)據(jù)，由于新冠疫情迫使世界各國發(fā)布“居家隔離”政策，以減緩疾病的傳播，致使原油需求預(yù)計將減少2900萬桶/天，經(jīng)濟活動減少意味著對原油及其副產(chǎn)品（包括汽油和航空燃料）的需求減弱。第二，供需矛盾激化原油倉儲運輸成本直線飆升，期貨多頭行權(quán)交割時，必須承擔(dān)原油的運輸、儲存等巨額成本，最終導(dǎo)致多頭不得不以現(xiàn)金方式與交易所平倉。第三，芝加哥商品交易所清算所（CME?Clearing）公布測試以支持潛在的負油價期權(quán)的可能性，并使市場繼續(xù)正常運作，允許出現(xiàn)負油價的機制致使石油市場引發(fā)極端混亂。第四，負油價危機暴露了金融交易監(jiān)管和風(fēng)險管理方面的不足之處，金融機構(gòu)存在交易規(guī)則、風(fēng)險管控、衍生產(chǎn)品設(shè)計、投資者教育宣傳等諸多不規(guī)范，美國商品期貨交易委員會后來發(fā)布建議，希望金融機構(gòu)持續(xù)做好應(yīng)對某些合約的極端市場風(fēng)險。

負油價的沖擊之后，芝加哥商品交易所和ICE

于當月做出決定，立即改用Bachelier模型進行期權(quán)定價，正式開啟允許標的資產(chǎn)價格為負的交易情形。①此次CME正是利用Bachelier模型中標的資產(chǎn)價格可以為負的特點為原油期貨期權(quán)進行定價，以維持結(jié)算的正常進行。對于期權(quán)等衍生產(chǎn)品來說，標的資產(chǎn)負價格意味著經(jīng)典Black-Scholes模型失效，使得Bachelier期權(quán)定價模型再度被應(yīng)用。但即使沒有負油價，也有充分的理由考慮使用Bachelier期權(quán)定價模型。其一，Bachelier模型是第一個分析布朗運動（BM）數(shù)學(xué)特性，為股票價格變化的隨機過程建模的模型，比Black-Scholes模型早了70多年。Bachelier期權(quán)定價模型在為某些合約定價方面，會比Black-Scholes模型（防止標的資產(chǎn)價格路徑為負）有一些優(yōu)勢。例如，Bachelier波動微笑曲線比Black-Scholes曲線更適合石油市場。其二，在固定收益市場，由于對數(shù)正態(tài)分布不能準確地描述利率變化的隨機過程，Bachelier模型已經(jīng)被廣泛使用在利率等衍生產(chǎn)品上。例如，掉期是由Bachelier波動率報價和風(fēng)險管理的。即使負油價是市場變化的一次突發(fā)事件，從風(fēng)險管理角度，將Bachelier模型納入定價系統(tǒng)也會對金融衍生品定價起到指導(dǎo)決策作用。

中國證券期貨2023年8月

第4期基于O-U特征的Bachelier模型的期權(quán)定價

盡管負油價的出現(xiàn)使很多學(xué)者開始重新研究Bachelier模型，仍然很難找到關(guān)于該模型的全面應(yīng)用，主要由于Bachelier模型存在著標的資產(chǎn)可能為負等缺點，一直沒有得到很廣泛的應(yīng)用。本文對最原始的Bachelier模型做了相應(yīng)修改，保留其標的資產(chǎn)可以為負的特性，同時增加資金的時間價值和標的資產(chǎn)均值回復(fù)的特性，使其具有Ornstein-Uhlenbeck隨機過程特性，并基于修正的Bachelier模型結(jié)合蒙特卡洛等數(shù)值算法為更多種類的期權(quán)定價。在實證分析中，基于修正的Bachelier模型對歐式期權(quán)（涉及正負標的資產(chǎn)價格）、美式期權(quán)以及障礙期權(quán)進行定價，對于期權(quán)定價有著非常好的參考指導(dǎo)價值，尤其在負標的資產(chǎn)的期權(quán)定價上。

二、期權(quán)模型與期權(quán)定價

本節(jié)主要介紹常見的期權(quán)定價模型，并對每行模型進行隨機過程求解和標的資產(chǎn)價格分布與價格路徑模擬。同時基于常見的兩個期權(quán)模型進行期權(quán)定價，最后介紹兩種常用的期權(quán)定價數(shù)值算法，并基于兩種數(shù)值算法擴展對Bachelier模型的應(yīng)用范圍，使其可以被運用到歐式期權(quán)、美式期權(quán)和障礙期權(quán)。

（一）期權(quán)模型

Displaced?Black-Scholes模型是具有一般性的標的資產(chǎn)價格隨機模型，其模型結(jié)構(gòu)如式（1）所示，此模型基本涵蓋了金融標的資產(chǎn)價格變化的各種隨機過程，如β=1，標的資產(chǎn)價格隨機過程為Black-Scholes模型，常用于金融衍生產(chǎn)品的定價建模；β=0，標的資產(chǎn)價格隨機過程為Ornstein-Uhlenbeck模型，常用于刻畫利率、大宗商品價格等建模；β=1，σ也是隨機過程，此模型為隨機波動率模型，即Heston模型。

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σ［βS（t）+（1-β）］dW（t）（1）

其中，S（t）表示標的資產(chǎn)在初始時刻t的價格，r表示市場無風(fēng)險利率，q表示凈便利收益率或紅利率，σ表示標的資產(chǎn)價格的瞬時波動率或絕對波動率，β表示模型可調(diào)系數(shù)，W（t）為標準布朗運動。

通過求解，其標的資產(chǎn)在t時刻的價格如式（2）所示：

S（t）?=S（0）e（r-q-12σ2β2）t+∫t0σβdW（s）-∫t0σ2β（1-β）e（r-q-12σ2β2）s+∫s0σβdW（s）ds+∫t0σ（1-β）e（r-q-12σ2β2）s+∫s0σβdW（s）dW（s）（2）

1Black-Scholes模型

Black-Scholes模型是第一個被廣泛使用的計算期權(quán)合約理論價值的數(shù)學(xué)方法，該方法是基于其標的資產(chǎn)估算衍生品的理論價值，同時考慮時間價值和其他風(fēng)險因素的影響。由于Black-Scholes模型嚴苛的模型假設(shè)，使期權(quán)定價結(jié)果往往偏離實際交易市場價格，同時標準Black-Scholes

①?CME?Group，Switch?to?Bachelier?Options?Pricing?Model-Effective?April?22，2020Advisory?Notice?#20-171CME

CME?Group，2020bValuation?Model?Change?for?Four?Natural?Gas?Option?Products-Effective?May?26，2020Advisory?Notice?#20-209，CME

模型僅適用于歐式期權(quán)定價，因此在期權(quán)定價方面出現(xiàn)了許多修正的Black-Scholes定價模型，使Black-Scholes模型進一步得到廣泛應(yīng)用。如式（1）所示，當β=1，標的資產(chǎn)價格的隨機過程為Black-Scholes模型，在風(fēng)險中性測度下標的資產(chǎn)價格變化過程符合幾何布朗運動，其模型結(jié)構(gòu)如式（3）所示：

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σS（t）dW（t）（3）

基于Black-Scholes模型的標的資產(chǎn)到期日價格分布和標的資產(chǎn)價格路徑分布如圖1和圖2所示，Black-Scholes模型的標的資產(chǎn)價格呈現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布形式且價格總是大于0。

圖1?到期日標的資產(chǎn)價格分布

圖2?標的資產(chǎn)價格路徑分布

根據(jù)式（2），Black-Scholes模型下的標的資產(chǎn)在T時刻的價格S（T）如式（4）所示：

S（T）=S（t）expr-q-12σ2

（T-t）+σT-t·z（4）

在該模型假設(shè)下，基于等價鞅測度法進行風(fēng)險中性定價：假設(shè)在初始時刻t，標的資產(chǎn)初始價格為S（t）、T為期權(quán)到期日、K為期權(quán)執(zhí)行價格。歐式看漲期權(quán)價格等于其未來到期時的payoff的期望值的貼現(xiàn)如式（5）所示：

VCBS=e-r（T-t）（ST-K）+=e-r（T-t）S（t）expr-q-12σ2

（T-t）+σT-t·z-K+=S（t）ΦlogS（t）K+12σ2（T-t）σT-t-?Ke-r（T-t）ΦlogS（t）K-12σ2（T-t）σT-t

（5）

其中，Φ（·）為標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)價格可以由期權(quán)的平價公式推導(dǎo)得出。

2具有O-U特征的Bachelier模型

經(jīng)典的Bachelier模型刻畫的是t時刻期貨價格隨機過程：dF（t）=σdW（t）。本文在此模型上進行修改，使修正的Bachelier模型具有均值回復(fù)的Ornstein-Uhlenbeck隨機過程，即式（1）的標的資產(chǎn)價格隨機過程，在β=0時為具有均值回復(fù)的Bachelier模型，其模型結(jié)構(gòu)如式（6）所示：

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σdW（t）（6）

基于修正的Bachelier模型式（6），帶入F（t）=e（T-t）（r-q）S（t），可以得出t時刻期貨價格隨機過程如式（7）所示：

dF（t）=e（T-t）（r-q）σdW（t）（7）

與經(jīng)典的Bachelier模型相比，兩種模型的主要區(qū)別是波動率呈指數(shù)增長或指數(shù)下降，但修正的Bachelier模型保留了Bachelier模型的特點，同時加入了O-U過程的均值回復(fù)的特征。

根據(jù)式（2），修正的Bachelier模型下的標的資產(chǎn)在T時刻的價格S（T）如式（8）所示：

S（T）=S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）·z（8）

基于修正的Bachelier模型的標的資產(chǎn)到期日價格分布和標的資產(chǎn)價格路徑分布如圖3和圖4所示，Bachelier模型的標的資產(chǎn)價格分布呈現(xiàn)正態(tài)分布形式，同時存在負價格情形。

圖3?到期日標的資產(chǎn)價格分布

圖4?標的資產(chǎn)價格路徑分布

與Black-Scholes模型一樣的條件下，基于等價鞅測度法進行風(fēng)險中性定價，歐式看漲期權(quán)價格如式（9）、式（10）所示，其中f（z*）和N（z*）是標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)價格可以由期權(quán)的看漲-看跌平價公式推導(dǎo)出。

VCBL=e-r（T-t）［（ST-K）+］=e-r（T-t）S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z-K+=e-r（T-t）∫z*（S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z-K）f（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）∫

SymboleB@

z*σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）zf（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）∫

SymboleB@

z*zf（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）∫

z*ze-z222πdz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）f（z*）（9）

S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z*-K>0z*=S（t）e（r-q）（T-t）-Kσe2（r-q）（T-t）-12（r-q）?（10）

（二）期權(quán)定價數(shù)值算法

1二叉樹法

二叉樹期權(quán)定價模型（二叉樹模型）是1979年發(fā)展起來的一種多周期期權(quán)估值方法，在期權(quán)起始日和到期日之間指定時間步長，二叉樹期權(quán)定價模型采用迭代方法對期權(quán)進行定價，每次迭代假設(shè)標的資產(chǎn)價格有兩種可能的結(jié)果：沿著二叉樹向上或向下移動，并且每個時期都使用相同的上漲和下跌概率。如果時間區(qū)間被無限細分，二叉樹的標的資產(chǎn)價格變動可以收斂到一個幾何布朗運動。二叉樹期權(quán)定價過程可以可視化資產(chǎn)價格在每一期的變化，如美式期權(quán)可以根據(jù)不同時間點的資產(chǎn)價格來決策評估期權(quán)。二叉樹期權(quán)定價模型構(gòu)造步驟如下（以單步二叉樹為例）：

（1）根據(jù)標的資產(chǎn)價格波動率σ：計算標的上漲倍數(shù)u=eσΔt，下跌倍數(shù)d=e-σΔt。

（2）二叉樹在Δ時間區(qū)間上，標的資產(chǎn)向上運動的收益率為u-1的概率為p，1-p為標的資產(chǎn)向下運動收益率d-1的概率，即風(fēng)險中性概率p=（erΔt-d）/（u-d）。

（3）歐式期權(quán)定價策略：從二叉樹的末尾迭代出發(fā)，從后往前不斷迭代到二叉樹的起始點。例如，由q節(jié)點的上升和下降時的期權(quán)價值（fu和fd）加權(quán)平均并且貼現(xiàn)到當前節(jié)點，得到當前期權(quán)價格：f=e-（r-q）Δt（pfu+（1-p）fd）。

（4）美式期權(quán)定價策略：從二叉樹的末尾迭代出發(fā)，從后往前不斷迭代到二叉樹的起始點，并且在每個節(jié)點上求取最大回報收益：

max［f=e-rT（pfu+（1-p）fd），提前行使期權(quán)的收益］。

與Black-Scholes模型相比，二叉樹期權(quán)定價模型在數(shù)學(xué)上很簡單，而且基于迭代操作，交易者可以提前確定何時可能發(fā)生執(zhí)行決策，增加套利策略的機會。二叉樹期權(quán)定價模型的缺陷就是每一次迭代其標的資產(chǎn)的價格只能變化兩個值，在實際中是不合理的。

2蒙特卡洛算法

蒙特卡洛期權(quán)定價算法（蒙特卡洛算法）是基于風(fēng)險中性定價理論的隨機抽樣算法，用于計算具有多種不確定性和隨機特征的期權(quán)價格，如利率、股價或匯率的變化等。利用隨機抽樣算法模擬標的資產(chǎn)價格運動路徑分布，在抽樣路徑上計算期權(quán)在終點的價值，經(jīng)過多次抽樣，將獲得的所有收益求均值，然后利用無風(fēng)險利率貼現(xiàn)后，計算在初始時刻的期權(quán)價值。其中，對偶變量法是提高蒙特卡洛，算法模擬精度的一種方法，美式期權(quán)定價是基于最小二乘蒙特卡洛算法在每個時點上需要做一次線性回歸，從而計算出最優(yōu)的行權(quán)時點，得出期權(quán)價格。蒙特卡洛期權(quán)定價算法步驟如下：

（1）基于風(fēng)險中性定價理論的隨機抽樣算法，模擬標的資產(chǎn)價格St運動路徑分布，0≤t≤T。

（2）計算出標的資產(chǎn)價格St每條運動路徑的到期回報：max（S（T）-K，0），并結(jié)合風(fēng)險中性定價理論的無風(fēng)險利率r計算出到期回報的貼現(xiàn)值：CT=e-r（T-t）max（S（T）-K，0）。

（3）不斷迭代m次步驟（1）、（2），計算到期回報均值：CMC=1m∑CT=1me-r（T-t）∑max（S（T）-K，0），進而得到期權(quán)價格的Monte-Carlo模擬值。

三、實證分析

本節(jié)利用Black-Scholes模型、二叉樹模型、蒙特卡洛期權(quán)定價算法和基于Bachelier模型的期權(quán)算法分別對歐式期權(quán)、美式期權(quán)和障礙期權(quán)進行定價，通過數(shù)值結(jié)果的比較分析，說明基于Bachelier模型的期權(quán)算法不僅可以應(yīng)用在標的資產(chǎn)價格為負的期權(quán)定價上，還可以應(yīng)用在美式期權(quán)和障礙期權(quán)定價上，為期權(quán)定價提供一種有效的定價算法。

（一）歐式期權(quán)定價

歐式期權(quán)規(guī)定期權(quán)合約持有人只能在到期日行使其權(quán)利，期權(quán)持有人的權(quán)利包括以指定的執(zhí)行價格購買標的資產(chǎn)或出售標的資產(chǎn)。

1標的資產(chǎn)價格為正的歐式期權(quán)定價

首先對標的資產(chǎn)價格為正的歐式期權(quán)定價，在不同波動率下，計算不同定價算法對期權(quán)的定價結(jié)果，期權(quán)合約涉及參數(shù)：S0=95為標的資產(chǎn)初始價格，K=100為期權(quán)行權(quán)價格，T=1為期權(quán)有效期，r=002為市場無風(fēng)險收益率，q=001為標的資產(chǎn)的凈便利收益率或紅利率，σ=02、03、05為標的資產(chǎn)價格不同的波動率。

歐式期權(quán)定價算法對比：采用存在解析解Black-Scholes模型算法（BS）、時間步長為200步的二叉樹模型（Binarytree）、模擬次數(shù)為10000次以及時間步長為200步的Black-Scholes模型的蒙特卡洛算法（BSMC）、基于Bachelier模型的期權(quán)定價算法（Bachelier），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛算法（BachelierMC）和對偶變量法蒙特卡洛算法（BachelierDMC）進行數(shù)值仿真對比。

從表1數(shù)值結(jié)果可以看出，利用上述期權(quán)定價算法的期權(quán)價格結(jié)果相似，對期權(quán)定價有一定的指導(dǎo)意義。Bachelier模型和Black-Scholes模型的差異主要表現(xiàn)在其標的資產(chǎn)價格所對應(yīng)的分布不同，當標的資產(chǎn)初始價格S0越小，波動率σ越大時，其分布越容易出現(xiàn)負標的資產(chǎn)價格的情形，從數(shù)值結(jié)果也可以得出，當波動率σ越大時，Bachelier模型產(chǎn)生的期權(quán)價格與基于Black-Scholes模型的解析解的精度誤差擴大。精度誤差減小可以通過基于Bachelier模型的數(shù)值算法的時間步長和模擬次數(shù)來提高，當時間步長和模擬次數(shù)更加精細時，基于Bachelier模型的期權(quán)定價方法的結(jié)果將更加貼近Black-Scholes模型的解析解。

2標的資產(chǎn)價格為負的歐式期權(quán)定價

美國的WTI原油5月合約暴跌為負值，使得期權(quán)等衍生品定價必須面對標的資產(chǎn)為負價格的情形，這里還是采用上一節(jié)的參數(shù)：T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，僅對標的資產(chǎn)價格和執(zhí)行價做出修改：S0=-30，K=30。由于Black-Scholes模型為對數(shù)正態(tài)模型，不合適標的資產(chǎn)價格為負的歐式期權(quán)定價，這里采用的算法為時間步長為200步的二叉樹模型（Binarytree）、基于Bachelier模型的期權(quán)定價算法（Bachelier），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛算法（BachelierMC）和對偶變量法蒙特卡洛算法（BachelierDMC）進行數(shù)值仿真對比。

從表2數(shù)值結(jié)果可以看出，上述期權(quán)定價算法對于標的資產(chǎn)為負價格情形下的定價十分精確，對于看漲期權(quán)多頭，面對標的資產(chǎn)價格暴跌為負時，而在到期日有權(quán)利以正的執(zhí)行價購買期權(quán)標的資產(chǎn)，顯然多頭是拒絕行權(quán)，即此時期權(quán)價格為0，但是波動率σ較大時，相應(yīng)的資產(chǎn)波動更加敏感，Bachelier模型定價顯示即使標的資產(chǎn)價格出現(xiàn)負值也存在相應(yīng)的期權(quán)價格。對于看跌期權(quán)多頭，面對標的資產(chǎn)價格暴跌為負時，在到期日有權(quán)利以正的執(zhí)行價出售期權(quán)標的資產(chǎn)，多頭顯然是必須行使此份期權(quán)，即此時期權(quán)價格為正。

（二）美式期權(quán)定價

美式期權(quán)允許期權(quán)持有人在預(yù)定的到期日或之前，根據(jù)期權(quán)是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，以設(shè)定的執(zhí)行價格買進或賣出標的資產(chǎn)。由于投資者可以在合約有效期內(nèi)的任何時候自由行使期權(quán)，所以美式期權(quán)比歐式期權(quán)更有價值。

這一節(jié)還是采用上兩節(jié)的參數(shù)進行期權(quán)算法對比模擬，正標的美式期權(quán)定價的參數(shù)與第一節(jié)參數(shù)一致，負標的美式期權(quán)定價的參數(shù)與第二節(jié)參數(shù)一致。本節(jié)只驗證美式看跌期權(quán)定價算法對比，美式看漲期權(quán)可以通過期權(quán)平價關(guān)系求解，采用的算法為時間步長為200步的二叉樹模型（Binarytree）、基于Black-Scholes模型的最小二乘蒙特卡洛期權(quán)定價算法（BSLMC），以及基于Bachelier模型的最小二乘蒙特卡洛期權(quán)定價算法（BachelierLMC）進行數(shù)值方法對比，其中Black-Scholes模型期權(quán)定價算法（BS）和Bachelier模型的期權(quán)定價算法（Bachelier）為歐式看跌期權(quán)定價結(jié)果。

從表3數(shù)值結(jié)果可以看出，不管標的資產(chǎn)價格為正或負，三種期權(quán)定價算法精度都很精確，由于涉及凈便利收益率或紅利率的美式期權(quán)到期日前都是可以隨時行權(quán)，也驗證了其美式看跌期權(quán)的價格都大于歐式看跌期權(quán)價格。

（三）單障礙期權(quán)定價

障礙期權(quán)是一種路徑依賴的場外奇異期權(quán)衍生品，其收益根據(jù)障礙期權(quán)的標的資產(chǎn)是否達到或超過期權(quán)合同中規(guī)定的預(yù)定價格，如果標的資產(chǎn)的價格超過一定的障礙值而使期權(quán)合約失效，此時為敲出失效期權(quán)；反之為敲入生效期權(quán)。障礙期權(quán)的優(yōu)點就是相對歐式期權(quán)或美式期權(quán)，其期權(quán)價格低廉。本文主要考慮的單障礙期權(quán)，可以分為向上敲出失效看漲期權(quán)（UOC）、向上敲入生效看漲期權(quán)（UIC）、向上敲出失效看跌期權(quán)（UOP）、向上敲入生效看跌期權(quán)（UIP）、向下敲出失效看漲期權(quán)（DOC）、向下敲入生效看漲期權(quán)（DIC）、向下敲出失效看跌期權(quán)（DOP）、向下敲入生效看跌期權(quán)（DIP）。

障礙期權(quán)只要期權(quán)有效期內(nèi)有效，其收益和歐式期權(quán)相似，一份普通歐式看漲期權(quán)價格如式（11）所示，N為標的價格隨機路徑數(shù)，Sj，T為標的到期日價格，K為期權(quán)執(zhí)行價，P（Sj，T）為對應(yīng)標的價格概率。

VEuropean=?e-r（T-t）∑Nj=1［max（Sj，T-K，0）×P（Sj，T）］

（11）

一份向上敲出失效看漲期權(quán)（UOC）價格如式（12）所示，n為標的價格觸碰障礙值的路徑數(shù)，Sj，t≤i≤T為期權(quán)有效期內(nèi)的標的價格，K為期權(quán)執(zhí)行價，P（Sj，t≤i≤T

VBarrier=?e-r（T-t）∑N-nj=1［max（Sj，T-K，0）×P（Sj，t≤i≤T

本節(jié)主要給出8種不同的單障礙期權(quán)定價對比，在不同波動率下，計算不同定價算法對期權(quán)的定價結(jié)果，其中向上敲出敲入期權(quán)選取參數(shù)為S0=95，K=100，T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，障礙值L=105；向下敲出敲入期權(quán)選取參數(shù)為S0=95，K=100，T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，障礙值L=90。采用的期權(quán)定價算法為單障礙期權(quán)解析解（Analytic?solution）、基于Black-Scholes模型的蒙特卡洛期權(quán)定價算法（BSMC），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛期權(quán)定價算法（BachelierMC）進行數(shù)值方法對比，其中蒙特卡洛模擬次數(shù)為10000次，時間步長為200步。

表4至表5數(shù)值基于Black-Scholes模型的蒙特卡洛期權(quán)定價算法（BSMC）以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛期權(quán)定價算法（BachelierMC）都與障礙期權(quán)解析解在定價結(jié)果上很接近，可以通過調(diào)節(jié)蒙特卡洛模擬次數(shù)和時間步長達到更精確結(jié)果。通過以上內(nèi)容可以看出，障礙期權(quán)的價格不僅與障礙值有關(guān)，也與波動率水平密切相關(guān)，當障礙值固定時，波動率水平越大，標的資產(chǎn)越有可能敲出或敲入障礙值。例如，向上敲出失效看漲期權(quán)（UOC）和向下敲出失效看跌期權(quán)（DOP）隨著波動率值越大，其期權(quán)價格越便宜。通過上述算法模擬可以得到歐式看漲期權(quán)價格等于向上敲出失效看漲期權(quán)和向上敲入生效看漲期權(quán)價格之和，也等于向下敲出失效看漲期權(quán)和向下敲入生效看漲期權(quán)價格之和，同樣，歐式看跌期權(quán)價格等于向上敲出失效看跌期權(quán)和向上敲入生效看跌期權(quán)價格之和，也等于向下敲出失效看跌期權(quán)和向下敲入生效看跌期權(quán)價格之和。由于篇幅有限，這里只列出σ取值不同時，向上敲出敲入看漲看跌障礙期權(quán)定價算法結(jié)果對比，向下敲出敲入看漲看跌障礙期權(quán)定價算法結(jié)果對比略，可聯(lián)系作者獲得。

四、結(jié)論

隨著新冠疫情大流行的結(jié)束和經(jīng)濟開始復(fù)蘇，負油價更多地作為極端事件，已經(jīng)被量化分析師從估值模型中剔除這些異常值。但是在這個全球化日益發(fā)展的時代，宏觀環(huán)境瞬息萬變，另一場油價動蕩完全可能再一次沖擊金融市場的交易邏輯，使模型的轉(zhuǎn)換和更改變得日益頻繁，如何確保轉(zhuǎn)換模型有效且平穩(wěn)對金融市場至關(guān)重要。

本文在負標的資產(chǎn)價格的啟發(fā)下，研究基于O-U特征的Bachelier模型的期權(quán)定價有效性，通過結(jié)合蒙特卡洛數(shù)值模擬方法拓展其在美式期權(quán)和障礙期權(quán)上的應(yīng)用。本文致力于將Bachelier模型期權(quán)定價納入金融衍生品定價中，為期權(quán)定價做出指導(dǎo)決策，也為市場投資者調(diào)整交易策略和投資組合提供理論指導(dǎo)和審慎風(fēng)險管理。

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Option?Pricing?of?Bachelier?Model?Based?on?O-U?Characteristics

QIAN?Weijia1?CHEN?Haifeng1?CHEN?Angang1?LV?Zhaojin1?XI?Lei2

（1GuotaiJunan?Securities?Co，Ltd，Shanghai?200042，China；2College

of?Management，Anhui?Science?and?Technology?University，Chuzhou?233100，China）

Abstract：With?the?emergence?of?“negative?oil?prices”，the?negative?price?of?underlying?assets?for?options?and?other?derivatives?means?the?failure?of?the?classic?Black-Scholes?modelThe?original?Bachelier?model?is?modified?in?this?paper?to?preserve?the?feature?that?the?underlying?asset?price?can?be?negative?and?make?it?have?the?Ornstein-Uhlenbeck?stochastic?process?featureBased?on?the?modified?Bachelier?model?combined?with?Monte?Carlo?numerical?algorithm?to?price?European?option，American?option?and?Barrier?option，further?expand?its?application?range?of?option?pricingThrough?numerical?simulation，the?modified?Bachelier?model?shows?high?computational?accuracy?in?option?pricingThe?option?pricing?of?the?Bachelier?model?based?on?O-U?characteristics?can?be?used?as?an?alternative?to?the?Black-Scholes?model?and?guide?the?pricing?decisions?of?options?and?other?derivatives

Key?words：Black-Scholes?Model；Bachelier?Model；Option?Pricing；Barrier?Option；Negative?Underlying?Assets