數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提升的培養(yǎng)策略探究

葉良銓

摘 要：一些高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)重解題思路分析，輕過(guò)程計(jì)算，已嚴(yán)重阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展。教師應(yīng)理解教材，展示過(guò)程計(jì)算，消除學(xué)生的計(jì)算惰性，重拾學(xué)生的運(yùn)算自信，在過(guò)程計(jì)算中感受數(shù)學(xué)的運(yùn)算之美，塑造學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)、創(chuàng)新、一絲不茍的數(shù)學(xué)精神。

關(guān)鍵詞：過(guò)程計(jì)算；運(yùn)算素養(yǎng)；數(shù)學(xué)精神

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1673-8918（2023）33-0069-06

一、 引言

一些高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)重解題思路分析，輕過(guò)程計(jì)算，“粗爆”拋答案，久而久之，學(xué)生的運(yùn)算能力逐漸失去，計(jì)算惰性悄悄形成，為今后學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)埋下了巨大隱患，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展。重拾學(xué)生的運(yùn)算信心，消除學(xué)生的計(jì)算惰性，引領(lǐng)學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中體悟數(shù)學(xué)的運(yùn)算之美，塑造學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、創(chuàng)新、一絲不茍的數(shù)學(xué)精神，踐行學(xué)科育人，實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人，是目前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)迫切的價(jià)值追求。

二、 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提升的培養(yǎng)策略

（一）理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，理清算法、算理

首先要理解數(shù)學(xué)運(yùn)算。數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。它主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果。

據(jù)此，不難看出，執(zhí)行數(shù)學(xué)運(yùn)算其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)算對(duì)象的不斷轉(zhuǎn)換，而在轉(zhuǎn)換過(guò)程中又是不同運(yùn)算法則的切換，也就是說(shuō)，根據(jù)運(yùn)算法則，由p推得q，這與演繹推理在推理形式上是相同的。因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理存在緊密的聯(lián)系，它們相互依存，但又各有側(cè)重。本質(zhì)上說(shuō)，演繹推理把運(yùn)算抽象化，過(guò)程運(yùn)算又把演繹推理具體表現(xiàn)。

【例1】 已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a2+4b2=1，求a+b的最大值。

【變式1】 已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2+2b2+3c2=1，求a+2b的最大值。

本題做了一點(diǎn)變化，在厘清本題的運(yùn)算對(duì)象后，就要探究運(yùn)算思路，發(fā)現(xiàn)此題如果用前面容易想到的兩種方法來(lái)執(zhí)行計(jì)算是行不通的。此時(shí)我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)就應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生做好算理、算法的合理選擇與調(diào)控，慢節(jié)奏拆分因式，讓學(xué)生自己逐步發(fā)現(xiàn)算理指向二維向量的數(shù)量積，在探究過(guò)程中自然形成思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。

作為教師，在課堂上我們更想看到常規(guī)方法之外的東西，這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)中將這些運(yùn)算素養(yǎng)因子浸潤(rùn)到教學(xué)的點(diǎn)滴中，正所謂“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”。因此，教師在教學(xué)人教A版選擇性必修第三冊(cè)P98—99：在推導(dǎo)相關(guān)系數(shù)r的取值范圍時(shí)就應(yīng)該駐下腳步，帶領(lǐng)學(xué)生感受“從碰到困難→觀察聯(lián)想→從結(jié)構(gòu)假設(shè)→聯(lián)想向量的數(shù)量積→n維向量的數(shù)量積→第一分量構(gòu)成n維向量→第二分量構(gòu)成n維向量→利用三角的有界性→r取值范圍的求出”這種解決問(wèn)題的過(guò)程，思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是寶貴的，沉淀的，今后才能厚積薄發(fā)。

如果學(xué)生有課堂上n維向量數(shù)量積思想方法的積淀，那么，此題構(gòu)造三維向量的數(shù)量積就顯得自然而流暢。

故ab+2bc+2ac的最大值為4。

（二）理解教材，在展示過(guò)程計(jì)算中培育數(shù)學(xué)運(yùn)算因子

【例2】 （武漢市2023屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試第11題）已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），其中n∈N*，0

A. a+b=1

此題的題面容易理解，因?yàn)橐呀?jīng)明確告知是二項(xiàng)分布，所以可以快速地得到a，b的表達(dá)式，關(guān)鍵是如何計(jì)算的問(wèn)題。如果我們?cè)诙?xiàng)式定理教學(xué)時(shí)，能夠從計(jì)算的整體上去教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的結(jié)構(gòu)，通過(guò)變式訓(xùn)練教學(xué)，植入數(shù)學(xué)運(yùn)算因子，揭示二項(xiàng)式定理的內(nèi)部規(guī)律，讓學(xué)生認(rèn)清二項(xiàng)式定理的數(shù)學(xué)本質(zhì)，解決此題就得心順手。

故C正確，從而D錯(cuò)。

命題者正是站在了新課標(biāo)、新高考、新考試評(píng)價(jià)體系的理解上來(lái)命制這道題的，考生在考場(chǎng)上能不能拿下這道題，就是考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有沒(méi)有形成，反過(guò)來(lái)，就看教師在平時(shí)教教材、用教材時(shí)有沒(méi)有真正理解教材，有沒(méi)有指導(dǎo)、引領(lǐng)學(xué)生走計(jì)算的道路，有沒(méi)有一起帶領(lǐng)學(xué)生去體會(huì)、領(lǐng)略計(jì)算道路上的荊棘和艱辛跋涉后見(jiàn)到“美好風(fēng)景”的愉悅。只有理解教材編寫(xiě)專(zhuān)家的意圖，在平時(shí)的課堂教學(xué)中重視運(yùn)算的過(guò)程，注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生的運(yùn)算能力才能水到渠成。

（三）利用齊次化思想優(yōu)化解析幾何運(yùn)算

每年的高考，解析幾何是考查考生運(yùn)算能力素養(yǎng)的一道不可或缺的載體，也是每位考生不可逾越的一道鴻溝。

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn)。

（2）通法：易想不易做，解題流程為：

此種解法比較傳統(tǒng)，屬于老三篇的做法，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，性?xún)r(jià)比低。但如果能夠順勢(shì)（題目）而為，利用齊次式結(jié)構(gòu)，就可以避開(kāi)煩瑣、荊棘的計(jì)算，從容快速地解出正確答案。

那么，如果把這個(gè)思想方法類(lèi)比到解析幾何里，如斜率公式、齊二次的因式分解等，往往能使我們走出煩瑣計(jì)算的深淵，另辟蹊徑，讓繁雜的計(jì)算變得簡(jiǎn)潔、高效，柳暗花明。

由x2+4y2=4，得x2+4（y-1）2+8（y-1）=0，接下來(lái)構(gòu)造齊二次：

考慮到8（y-1）是一次的，必須乘以一個(gè)一次式來(lái)構(gòu)造齊二次，又因?yàn)橹本€(xiàn)l∶mx+n（y-1）=1，進(jìn)行“1”的代換：從而，有x2+4（y-1）2+8（y-1）·［mx+n（y-1）］=0，

整理得：（8n+4）（y-1）2+8m（y-1）·x+x2=0，兩邊同除以x2，

代入直線(xiàn)得2（x+y-1）n+（x-2）=0，得x=2，y=1，故l過(guò)定點(diǎn)（2，1）。

上述方法的解答過(guò)程，簡(jiǎn)短、高效，在考場(chǎng)有限的2個(gè)小時(shí)內(nèi)省出了大量的寶貴時(shí)間和精力，為其他問(wèn)題的解答提供了精力和時(shí)間上保障，是解這道題的最優(yōu)選，可以簡(jiǎn)明扼要地概括為：

（1）求E的方程；

（2）證明：直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)。

因?yàn)橹本€(xiàn)l必不過(guò)點(diǎn)A（2，1），故可設(shè)直線(xiàn)l∶m（x-2）+n（y-1）=1，由x2-2y2-2=0，得（x-2）2+4（x-2）-2（y-1）2-4（y-1）=0，

構(gòu)造齊二次：（x-2）2+4（x-2）·［m（x-2）+n（y-1）］-2（y-1）2-4（y-1）·［m（x-2）+n（y-1）］=0，

即（-4n-2）·y-1x-22+（4n-4m）·y-1x-2+（1+4m）=0，從而，4n-4m=0，得m=n≠-12，

所以，直線(xiàn)l的斜率為-1。

（四）強(qiáng)化結(jié)構(gòu)理解，優(yōu)化運(yùn)算方式

解法1：本題從結(jié)構(gòu)上，容易聯(lián)想到基本不等式“1”的代換，即在a+2b的后頭乘上一個(gè)因式，使得與a+2b相乘之后能出現(xiàn)常數(shù)和字母部分能互為倒數(shù)的兩個(gè)分式，從而應(yīng)構(gòu)造出a+1和b+1這兩個(gè)式子，即：

雙換元就是為了強(qiáng)化結(jié)構(gòu)，優(yōu)化運(yùn)算方式。

【變式1】 已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足6a2+4b2+6ab=1，求a2-b2的最大值。

這道題采用雙換元法，優(yōu)化結(jié)構(gòu)和算法，就顯現(xiàn)出它運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)了。

【變式2】 已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2+c2-ab-bc=1，求c的最大值。

解：觀察題目結(jié)構(gòu)與求解的方向是字母c的最大值，故可將條件等式中的a，b都轉(zhuǎn)換成c來(lái)替代。

令a=mc，b=nc（m>0，n>0），則c2（m2+n2-mn-n+1）=1。

觀察結(jié)構(gòu)，聯(lián)系分子、分母發(fā)現(xiàn)分母的兩個(gè)單項(xiàng)式是ab，bc都與b有聯(lián)系，聯(lián)想到均值不等式，故b2應(yīng)拆分成兩項(xiàng)，分別與a2，c2組合。

基于前面的經(jīng)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)所求式子ab+2bc+cd中ab和2bc中都含有b；2bc和cd中都含有c，故此題要考慮b2和c2都需拆分成兩部分來(lái)用。所以在數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)對(duì)運(yùn)算式結(jié)構(gòu)的理解至關(guān)重要，優(yōu)良的運(yùn)算方法是建立在對(duì)結(jié)構(gòu)的理解上，所以要求教師在教學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算式的結(jié)構(gòu)分析，強(qiáng)化對(duì)結(jié)構(gòu)的理解，從而制訂最優(yōu)的運(yùn)算方法。

（五）培養(yǎng)運(yùn)算自信，感悟運(yùn)算之美

信心是準(zhǔn)確運(yùn)算的良好開(kāi)端，而信心又源于自身的實(shí)力（運(yùn)算能力），運(yùn)算能力就需要教師在平時(shí)教學(xué)中的點(diǎn)滴培養(yǎng)積累。當(dāng)然，除了算法、算理的合理選擇與優(yōu)化，堅(jiān)韌的運(yùn)算品質(zhì)也是信心來(lái)源不可或缺的一部分，所以，除了引導(dǎo)學(xué)生要適時(shí)把控運(yùn)算方向、優(yōu)算算法，還要讓學(xué)生感受到、看到運(yùn)算是有“前途”的，有“希望”的，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的決心和信心以及繼續(xù)“走”下去的勇氣。在探索運(yùn)算思路和執(zhí)行計(jì)算的過(guò)程中，會(huì)比較“孤獨(dú)”，有時(shí)也會(huì)感到無(wú)助，就好比一個(gè)人走在一條無(wú)光、狹窄、幽靜的道路上，四面楚歌，所以在運(yùn)算推理時(shí)，要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從狹窄、無(wú)光、幽靜的運(yùn)算管道中，通過(guò)不懈努力，終于沖出黑暗的“管道”看到外面的“無(wú)限光芒”和“精彩世界”，這種柳暗花明的經(jīng)歷對(duì)學(xué)生運(yùn)算信心的培養(yǎng)和樹(shù)立無(wú)可替代，是學(xué)生永恒的財(cái)富。另外，在運(yùn)算推進(jìn)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)“路途”上的美。其實(shí)，數(shù)學(xué)之美無(wú)處不在，運(yùn)算本身就蘊(yùn)含著美的元素，在運(yùn)算推進(jìn)的過(guò)程中無(wú)不體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理性美、創(chuàng)新美、對(duì)稱(chēng)美、嚴(yán)謹(jǐn)美。所以，教師在平時(shí)的運(yùn)算教學(xué)中既要讓學(xué)生感受到沿途的“美麗風(fēng)景”，又要讓學(xué)生體會(huì)到艱辛的“爬山涉水”，“越過(guò)險(xiǎn)峰”后的“壯麗景色”的愉悅心情。

三、 結(jié)論

總之，學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)的形成，運(yùn)算素養(yǎng)的提升是一項(xiàng)長(zhǎng)期的工程，它滲透在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，是日積月累形成的，所以，教師在平時(shí)的課堂數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，在演算到一些運(yùn)算的“緊要處”時(shí)要舍得時(shí)間和空間，留給學(xué)生自己去探索，因?yàn)檫@樣的經(jīng)歷是必要的，由此積淀起來(lái)的思維活動(dòng)才是今后學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的寶貴財(cái)富，也最具鮮活性和持久性，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升才最具有實(shí)質(zhì)性的意義。因此，以最優(yōu)的運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題，在解決問(wèn)題中形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的數(shù)學(xué)精神，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，塑造堅(jiān)強(qiáng)的意志品質(zhì)，踐行學(xué)科育人，才是數(shù)學(xué)教師應(yīng)承擔(dān)的歷史使命，而在展示過(guò)程計(jì)算中去展現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算之美，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算情感的依托，提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，五育并舉，培養(yǎng)走向社會(huì)的現(xiàn)代人，也是數(shù)學(xué)教師的神圣職責(zé)，更是目前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)迫切的價(jià)值追求。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.