《雞兔同籠》結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實(shí)踐與反思

作者簡(jiǎn)介：張彥伍（1981～），男，漢族，吉林扶余人，廣東省東莞市南城陽(yáng)光第七小學(xué)，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教育。

摘 要：《雞兔同籠》問(wèn)題是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)趣題，教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題能力的同時(shí)，重在理解和應(yīng)用假設(shè)思想。然而“一題多解”的解題策略教學(xué)中，一節(jié)課下來(lái)師生取得的效果并不理想，學(xué)生不理解假設(shè)從何來(lái)，且用假設(shè)法解決問(wèn)題的方法過(guò)于模式化。在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，側(cè)重假設(shè)法學(xué)習(xí)和理解，借助思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)可視的結(jié)構(gòu)，“深度”掌握數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化教學(xué)；雞兔同籠；假設(shè)思想

中圖分類號(hào)：G623.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-8918（2023）32-0100-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中指出：“重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程；根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，適當(dāng)采取螺旋式的方式，逐漸拓展和加深課程內(nèi)容，適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展需求?！苯Y(jié)構(gòu)化教學(xué)體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)容整體性和一致性，學(xué)生從學(xué)習(xí)的內(nèi)容關(guān)聯(lián)中體會(huì)到核心概念，并在其后學(xué)習(xí)中進(jìn)行反復(fù)運(yùn)用和強(qiáng)化，進(jìn)而促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。《雞兔同籠》是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)趣題，引導(dǎo)學(xué)生在感受數(shù)學(xué)文化魅力的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，重在假設(shè)思想。對(duì)此，如何幫助學(xué)生梳理與《雞兔同籠》相關(guān)的知識(shí)，更好地理解和掌握假設(shè)思想，呈現(xiàn)完整的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展呢？文章筆者將以《雞兔同籠》一課為例，嘗試開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)踐。

一、課前思考，分析學(xué)情

筆者回顧教學(xué)中發(fā)現(xiàn)師生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中遇到的困難如下：從學(xué)生角度來(lái)看：一是假設(shè)從何而來(lái)？在教學(xué)中往往“假設(shè)”一詞都是教師提出，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題，學(xué)生不理解為什么要進(jìn)行“假設(shè)”；二是模型的掌握固化，即學(xué)生對(duì)《雞兔同籠》系列數(shù)學(xué)模型更多的是一種“公式”的掌握，無(wú)法變通解決“雞、兔”以外的相關(guān)問(wèn)題。教學(xué)中我們引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)模式是有必要的，但不能是模式化。從教師角度來(lái)看：人教版教材提倡“一題多解”，讓學(xué)生體驗(yàn)解決問(wèn)題的多樣化，了解列表法、假設(shè)法和畫圖法等，然而一節(jié)課下來(lái)多種方法的呈現(xiàn)，學(xué)生掌握并不理想。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際解決《雞兔同籠》問(wèn)題中，學(xué)生在多種解題方法中用到假設(shè)法的約占80%以上。因此，筆者將用學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和需求進(jìn)行教學(xué)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生的學(xué)習(xí)情境感知“假設(shè)”的由來(lái)，在新舊知識(shí)對(duì)比中掌握數(shù)學(xué)模型，面對(duì)多種解法中采取“任弱水三千，我只取一瓢”，即側(cè)重假設(shè)法教學(xué)。

二、尋找關(guān)聯(lián)，梳理結(jié)構(gòu)

經(jīng)筆者對(duì)教材的知識(shí)梳理，與本節(jié)課相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)包括以下：第一，三年級(jí)上冊(cè)《多位數(shù)乘一位數(shù)》和三年級(jí)下冊(cè)《除數(shù)是一位數(shù)的除法》的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)掌握了乘除法計(jì)算能力，能夠結(jié)合“單一”的數(shù)學(xué)信息解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，為《雞兔同籠》問(wèn)題中乘除法計(jì)算解決問(wèn)題作了鋪墊；第二，三年級(jí)上冊(cè)《測(cè)量》中《噸的認(rèn)識(shí)》這節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)了列表法解決問(wèn)題，而且題目中大小車和課后的練習(xí)題大小船與《雞兔同籠》中的雞兔問(wèn)題基本相同。因此，這些已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不僅為本節(jié)課解決問(wèn)題的方法提供了幫助，也為《雞兔同籠》問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型形成提供了依據(jù)。

據(jù)此，《雞兔同籠》的教學(xué)定位：一是從“單一”信息（籠子里全是雞或全是兔）導(dǎo)入新知，為假設(shè)的由來(lái)作好鋪墊；二是在觀察與對(duì)比“單一”信息與《雞兔同籠》問(wèn)題中，初步形成《雞兔同籠》數(shù)學(xué)模型；三是回顧與《雞兔同籠》的相關(guān)知識(shí)，即《噸的認(rèn)識(shí)》例題，引出列表法解決問(wèn)題，并借此優(yōu)化方法。同時(shí)用大小車、大小船等知識(shí)的回顧及引導(dǎo)學(xué)生嘗試列舉，逐步加深數(shù)學(xué)模型認(rèn)知和運(yùn)用，由淺入深，從而更好地發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

三、實(shí)踐課堂，呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)

（一）引問(wèn)新知，回顧舊知

師：同學(xué)們，你知道《雞兔同籠》問(wèn)題嗎？能介紹下嗎？（生答）

師：你們知道的可真多，為你們點(diǎn)贊?？墒钱?dāng)初我沒(méi)有學(xué)的時(shí)候，想得很簡(jiǎn)單，同學(xué)可別笑話我，知道我是怎么想的嗎？

課件出示（一個(gè)籠子里全是雞，或者全是兔）

師：我當(dāng)時(shí)就認(rèn)為很多只雞在同一個(gè)籠子，很多只兔在同一個(gè)籠子。這樣的問(wèn)題多簡(jiǎn)單，你們看如果籠子里有35只雞，能算出有多少只腳嗎？

生1：能，一共70只，用35×2就可以了。

師：為什么要乘2呢？

生：因?yàn)橐恢浑u有2只腳。

師：是的。如果籠子的雞腳一共有60只，能知道有多少只雞嗎？

生：30只。

師：籠子里有35只兔子，知道有多少只腳嗎？

生2：一只兔子4只腳，一共有35×4=140只腳。

師：真棒。如果籠子里共有80只腳，有多少只兔子呢？

生3：80÷4=20只兔子。

師：同學(xué)們，你們看，這樣的雞、兔同籠問(wèn)題多簡(jiǎn)單。

（二）新舊關(guān)聯(lián)，理解假設(shè)

1. 數(shù)學(xué)文化

師：《雞兔同籠》問(wèn)題是1 500年前我國(guó)古代名著《孫子算經(jīng)》中記載的一道數(shù)學(xué)趣題。（出示課件）

師：在生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以看出當(dāng)時(shí)我們的先輩對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)和他們的智慧，能讀懂題的意思嗎？

2. 巧引假設(shè)

師：見(jiàn)到真正的《雞兔同籠》問(wèn)題，再和我想象的對(duì)比下，有什么感覺(jué)？

生：變難了。

師：是??！有雞也有兔，混合在一起多難算??！所以我就在想：籠子里裝的……就好了。同學(xué)們，你知道我在想什么嗎？

生1：你肯定在想如果籠子里全是雞就好了。

師：哇！你真懂我的心思。

生2：還有，籠子里全是兔子也行。

師：謝謝，我們已經(jīng)是知己了。我當(dāng)時(shí)的確就是這樣想的。

師：那籠子里能全是雞或者全是兔子嗎？

生：不能，題中都說(shuō)了雞和兔同籠的。

師：是啊，這只不過(guò)是我的個(gè)人想法，不是真的。在數(shù)學(xué)中像老師這樣的想法，稱為假設(shè)。

師：這樣的假設(shè)能解決雞兔同籠問(wèn)題嗎？

生：不知道。

師：那我們不妨試一試，敢于想象，敢于嘗試，或許會(huì)有新的收獲。

3. 運(yùn)用假設(shè)

師：假設(shè)籠子里全是雞會(huì)有什么結(jié)果呢？

生：腿數(shù)不夠。

師：為什么不夠？

生1：因?yàn)椴钔米影?，把兔子?dāng)成了雞，一只兔子就少算了2只腳。

師：確實(shí)，兔子肯定也為難了。那一共少多少只腳呢？你們知道嗎？

生：一共少24只。

師：怎樣計(jì)算的？

生2：因?yàn)橐恢浑u2只腳，35只雞一共有35×2=70只腳，題中說(shuō)一共有94只腳，還差24只。

師：為了便于我們更好地理解，也可以借助畫圖的方法演示，一起看下。（課件演示）

師：老師用算式把這個(gè)過(guò)程記錄下來(lái)。那24只腳是誰(shuí)的呢？

生3：是兔子的呀，因?yàn)閯偛挪皇钦f(shuō)了把兔子看成雞。

師：明白了，那現(xiàn)在把腳還給兔子吧，應(yīng)該怎么去還呢？

生4：給一只雞加上2只腳，就變成兔子了。

師：為什么加2只腳？

生5：因?yàn)橐恢煌米颖纫恢浑u多了2只腳。

生6：他的意思是說(shuō)，假設(shè)籠子里全是雞，那兔子也變成了雞，一只兔子就少算了2只腳，所以24要除以2，是12只兔子的腳數(shù)。

師：謝謝你這么詳細(xì)的解釋。原來(lái)這個(gè)“2”是一只兔子和一只雞相差的腳數(shù)，利用這樣的數(shù)量關(guān)系，我們算出了籠子里兔子的只數(shù)共有12只，那雞就是多少只？

生7：用35-12就是雞的只數(shù)了，雞有23只。

師：籠子里有23只雞，12只兔，這個(gè)只數(shù)到底對(duì)不對(duì)呢？大家能驗(yàn)算下嗎？

生8：12×4+23×2=94，說(shuō)明是正確的。

師：真好！看來(lái)運(yùn)用假設(shè)這個(gè)方法還能解決問(wèn)題呢。

4. 自主探究

師：同學(xué)們，再來(lái)一起看下假設(shè)全是雞的計(jì)算過(guò)程，我們先計(jì)算了35只雞的總腳數(shù)，再用籠子里雞兔的總腳數(shù)94-70得出了少的腳數(shù)，因?yàn)榘淹米涌闯闪穗u，一只兔子就少算了2只腳，所以用24÷2就得出了兔子的只數(shù)，最后也就得到了雞的只數(shù)。

師：如果假設(shè)全是兔，你能像這樣列式解決嗎？請(qǐng)大家試一試。（學(xué)生完成后匯報(bào)）

生1：假設(shè)籠子里全是兔，籠子里共有35×4=140只，140-94=46表示比籠子里規(guī)定多出的腳數(shù)，這次假設(shè)全是兔，就是把雞也當(dāng)成了兔，一只雞就多出2只腳，所以用46÷2=23只就算出了雞的只數(shù)，用35-23=12只就是兔子的只數(shù)了。

師：為他完整地解答鼓掌！那結(jié)果對(duì)不對(duì)呢？

生2：不用計(jì)算了，和上面假設(shè)全是雞的答案一樣，所以計(jì)算是正確的。

師：真棒！通過(guò)剛才大家的計(jì)算，再次驗(yàn)證了假設(shè)法的確不錯(cuò)。

（三）對(duì)比分析，形成模型

1. 初識(shí)模型

師：同學(xué)們，我們一起來(lái)對(duì)比下，老師想象的“雞、兔同籠”問(wèn)題和真正的《雞兔同籠》問(wèn)題，它們之間有什么不同的地方？

生1：老師想的籠子里全是雞或者全是兔，而《雞兔同籠》里既有雞也有兔。

生2：想的題比較簡(jiǎn)單，而《雞兔同籠》問(wèn)題比較難。

師：從哪里看出了簡(jiǎn)單和難呢？

生3：全是雞或全是兔，就給一個(gè)數(shù)學(xué)信息，《雞兔同籠》既有雞，也有兔的比較復(fù)雜。

師：是的，我想象的問(wèn)題中給出的數(shù)學(xué)信息是單一的，而《雞兔同籠》問(wèn)題就像是把這兩個(gè)單一不同的條件合在了一起。其實(shí)像這樣的問(wèn)題，我們也并不陌生，三年級(jí)的時(shí)候就遇到過(guò)。

2.優(yōu)化列表

師：（出示課件，如圖1）同學(xué)們，能看出這題中的“雞”和“兔”嗎？

生：大車是兔子，小車是雞。

師：還記得怎樣解決這道題的嗎？（課件出示列表法）當(dāng)時(shí)我們是用列表法解決。

師：我們也用列表法來(lái)解決下今天學(xué)習(xí)的《雞兔同籠》問(wèn)題吧。（出示表格）如果雞有1只，兔子就要有34只，一共有多少只腳呢？

生：1×2+34×4=138

師：是的，如果雞有2只，兔子就要有33只，一共有136只腳。如果雞有3只，……以此類推，要算到哪里呢？

生：雞有23只，兔子有12只。

師：對(duì)的。運(yùn)用列表法解決你有什么感覺(jué)？

生：太麻煩了。

師：不過(guò)，這里面也有簡(jiǎn)便的地方，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)了，多一只雞，少一只兔子，總腳數(shù)就少2只。

師：真是善于觀察的孩子！如果反過(guò)來(lái)看，又有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：多一只兔子，少一只雞，總腳數(shù)就多2只了。

師：了不起！所以我們也可以運(yùn)用這樣的規(guī)律去解決雞兔同籠問(wèn)題。但和假設(shè)法對(duì)比，可能假設(shè)法略勝一籌。大家選擇自己喜歡的方法就可以。

3. 深化模型

師：課后還有一題，大家請(qǐng)看。（出示課件，如圖2）

師：能看出這題中的誰(shuí)是“雞”，誰(shuí)是“兔”嗎？

生：大船是雞，小船是兔。

師：是的，它們都和雞兔同籠問(wèn)題一樣，里面都是由兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)信息組成。籠子裝的是雞和兔，就可以叫作《雞兔同籠》問(wèn)題，那同學(xué)們?cè)傧胂?，剛剛這兩道題其實(shí)也可以有自己的名字，叫什么問(wèn)題呢？

生1：卡車問(wèn)題。

生2：大小船問(wèn)題。

師：雞兔同籠是一個(gè)代表性的問(wèn)題，只要像它們這樣，將兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)信息融合在一起，就可以設(shè)計(jì)出一道問(wèn)題來(lái)。同學(xué)們，大膽地思考下，生活中還有什么樣的相似問(wèn)題呢？你能舉例說(shuō)一個(gè)嗎？

生3：5元錢和1元錢放在一起，可以組成金錢問(wèn)題。

生4：八爪魚和兔子放在一起，魚兔問(wèn)題。

生5：牛和雞在一起，牛雞問(wèn)題。

……

師：真是愛(ài)思考的孩子，為你們點(diǎn)贊。像這樣的問(wèn)題在我們生活中有很多，只要將兩個(gè)不同的“單一”數(shù)學(xué)信息放在一起，就可以組成是“雞兔同籠”問(wèn)題了。

四、反思教學(xué)，解析結(jié)構(gòu)

通過(guò)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的開展，加深了學(xué)生對(duì)《雞兔同籠》問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的理解，并能更好地運(yùn)用假設(shè)法解決相關(guān)的問(wèn)題。

（一）以舊知引新知，搭建認(rèn)知結(jié)構(gòu)

人的認(rèn)知規(guī)律特點(diǎn)是“溫故知新”，尤其對(duì)學(xué)生更加適合。本節(jié)課的教學(xué)從學(xué)生角度出發(fā)，設(shè)計(jì)適合學(xué)生的學(xué)習(xí)情境，以教師初學(xué)時(shí)猜想的“單一”數(shù)學(xué)信息（即一個(gè)籠子里全是雞或全是兔）的導(dǎo)入回顧舊知，喚起學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，溝通了新舊知識(shí)的關(guān)系，為假設(shè)思想解決問(wèn)題作好了鋪墊，激發(fā)了學(xué)生嘗試探究新知、獲取新知的需求，提高學(xué)生“主動(dòng)學(xué)習(xí)”的積極性。以舊知引出新知學(xué)習(xí)的方式，體現(xiàn)了“降維思想”，從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)歷中開展教學(xué)，搭建符合學(xué)生認(rèn)知的橋梁，符合結(jié)構(gòu)化教學(xué)要求。

（二）用關(guān)聯(lián)比不同，探究模型結(jié)構(gòu)

《雞兔同籠》是一道典型的邏輯推理問(wèn)題，部分學(xué)生學(xué)習(xí)后只識(shí)“雞兔”，不識(shí)“模型”。為了更好地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中認(rèn)清“模型”，教學(xué)中聯(lián)系學(xué)生已有的學(xué)習(xí)“單一”數(shù)學(xué)信息問(wèn)題與雞兔同籠問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比不同，發(fā)現(xiàn)雞兔同籠問(wèn)題好比將兩個(gè)不同的“單一”數(shù)學(xué)信息捏合而成，在對(duì)比中學(xué)生初步感知模型結(jié)構(gòu)。再回顧三年級(jí)上冊(cè)《噸的認(rèn)識(shí)》中例題大小卡車和課后練習(xí)題大小船，尋找“雞”和“兔”，深化模型的探究，引導(dǎo)學(xué)生感知《雞兔同籠》只是一個(gè)典型的代表，還可以有“大小卡車問(wèn)題”“大小船問(wèn)題”，以此讓學(xué)生列舉相關(guān)的問(wèn)題。在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生探究《雞兔同籠》問(wèn)題的模型結(jié)構(gòu)是由淺入深、螺旋上升的方式，體現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，為學(xué)生解決《雞兔同籠》的相關(guān)問(wèn)題打下了良好的基礎(chǔ)。

（三）理知識(shí)畫導(dǎo)圖，呈現(xiàn)可視結(jié)構(gòu)

開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)現(xiàn)了整體意義關(guān)聯(lián)，思維結(jié)構(gòu)發(fā)展，致力于將碎片化知識(shí)連點(diǎn)成線，將割裂化的方法關(guān)聯(lián)成體，將淺表化的思維引向深刻。然而在平常的教學(xué)中，這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)多數(shù)是隱形的，不可見(jiàn)的，教師努力構(gòu)建和表達(dá)，學(xué)生卻無(wú)法感知和獲取。因此，在教學(xué)中為了更好地讓學(xué)生掌握好知識(shí)結(jié)構(gòu)，筆者借助思維導(dǎo)圖作為板書設(shè)計(jì)（如圖3），將隱形的知識(shí)結(jié)構(gòu)直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，借助板書看到知識(shí)結(jié)構(gòu)的“前”與“后”，這種方式利于學(xué)生對(duì)整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)深度理解和應(yīng)用。（文章由廣東省王金發(fā)名師工作室指導(dǎo)）

參考文獻(xiàn)：

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