利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的技巧策略

■浙江省杭州育新高級中學(xué) 周小鋒

證明不等式在高考數(shù)學(xué)試卷中是一個永恒的難題,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的交匯性與綜合性,數(shù)學(xué)思想方法的創(chuàng)新靈活多樣性,經(jīng)常出現(xiàn)在高考試卷的壓軸題的位置。而導(dǎo)數(shù)作為一種數(shù)學(xué)工具,對于證明不等式問題更是一種具有創(chuàng)新性的應(yīng)用。本文結(jié)合實(shí)例,就利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種常見方式,合理總結(jié)證明技巧方法與規(guī)律。

一、構(gòu)建函數(shù)

利用待證不等式的結(jié)構(gòu)特征來構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)法及其函數(shù)的單調(diào)性來化歸與轉(zhuǎn)化,是證明一些涉及函數(shù)的不等式問題中最常用的技巧方法,而其他方法技巧中往往也離不開構(gòu)建函數(shù)這一關(guān)鍵步驟。

點(diǎn)評:當(dāng)證明含參不等式問題時,經(jīng)常通過合理構(gòu)建一邊含參,一邊為常數(shù)(往往是0或1等),對應(yīng)構(gòu)建形如“左減右”型(或“復(fù)雜減簡單”型,以及除式等特殊形式)的函數(shù),進(jìn)而利用新函數(shù)的構(gòu)建與求導(dǎo),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等知識來合理分析與轉(zhuǎn)化,得以合理巧妙證明相應(yīng)的不等式。

二、放縮法

放縮法證明不等式是在綜合導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,以及函數(shù)的單調(diào)性等的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步利用不等式的性質(zhì)、重要不等式的結(jié)論(lnx≤x-1,ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號),借助導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用來綜合分析,實(shí)現(xiàn)不等式的證明。

點(diǎn)評:在證明一些含有l(wèi)nx與ex型的超越函數(shù)所對應(yīng)的復(fù)雜不等式問題時,經(jīng)常利用相應(yīng)的重要不等式結(jié)論lnx≤x-1、ex≥x+1等進(jìn)行合理放縮處理,巧妙轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得以證明相應(yīng)的不等式。

三、切線法

切線法證明不等式問題,往往是數(shù)形結(jié)合的“產(chǎn)物”,也是問題前后聯(lián)系的進(jìn)一步應(yīng)用,利用前面問題所探求的切線方程,巧妙利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性及圖像特征來分析與轉(zhuǎn)化。

例3已知函數(shù)f(x)=ex-x2。

(1)求函數(shù)f(x)的圖像在x=1處的切線方程;

解析:(1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)=ex-2x,所以f′(1)=e-2,f(1)=e-1,所以函數(shù)f(x)的圖像在x=1處的切線方程為y=(e-2)(x-1)+e-1,即y=(e-2)x+1。

(2)令函數(shù)g(x)=f′(x)(x>0),求導(dǎo)得g′(x)=ex-2。當(dāng)xln 2時,g′(x)>0。所以函數(shù)g(x)=f′(x)在(0,ln 2)上單調(diào)遞減,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞增,則g(x)min=g(ln 2)=f′(ln 2)=2-2ln 2>0,所以函數(shù)f(x)=ex-x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

由函數(shù)f(x)的圖像在x=1處的切線方程為y=(e-2)x+1,f(1)=e-1,可猜測:當(dāng)x>0時,f(x)≥(e-2)x+1。

證明如下:設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-(e-2)x-1(x>0),求導(dǎo)得h′(x)=ex-2x-e+2。令函數(shù)m(x)=h′(x),求導(dǎo)得m′(x)=ex-2。

當(dāng)xln 2時,m′(x)>0。所以h′(x)在(0,ln 2)上單調(diào)遞減,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞增,則h′(1)=0,0

又h′(0)=3-e>0,所以存在x0∈(0,ln 2),使得h′(x0)=0。故當(dāng)x∈(0,x0)∪(1,+∞)時,h′(x)>0;當(dāng)x∈(x0,1)時,h′(x)<0。所以h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增。

點(diǎn)評:該題的第(1)問是求曲線的切線方程,要注意其切線方程是后續(xù)切線法證明不等式的“臺階”,可運(yùn)用切線放縮法進(jìn)行放縮解決問題。此類綜合應(yīng)用問題往往呈現(xiàn)特殊的規(guī)律性:多步設(shè)問,層層遞進(jìn),上問結(jié)果,用于下問。巧妙利用切線法來轉(zhuǎn)化,合理有效證明相應(yīng)的不等式。

四、極值點(diǎn)偏移法

證明一些含有函數(shù)的極值點(diǎn)或零點(diǎn)等的特殊不等式時,往往利用極值點(diǎn)偏移法,巧妙通過消參或消元等方式,合理構(gòu)建函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與應(yīng)用,以及函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等來綜合應(yīng)用,進(jìn)而證明對應(yīng)的不等式成立。

例4已知f(x)=x,m∈R。若函數(shù)f(x)的兩個極值點(diǎn)x1,x2滿足x1e2。

證明:欲證x1x2>e2,需證lnx1+lnx2>2。

由函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,可得f′(x)有兩個零點(diǎn),又f′(x)=lnx-mx,所以x1,x2是方程f′(x)=0的兩個不同實(shí)根。

點(diǎn)評:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題時,關(guān)鍵就是合理消參,或合理消“變”,或減少參數(shù)個數(shù),或減少變量個數(shù),合理借助新函數(shù)的構(gòu)建與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題時,其實(shí)質(zhì)就是借助導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,以及函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值等相關(guān)知識,從而達(dá)到“數(shù)”與“形”的聯(lián)系,合理依托端點(diǎn)效應(yīng),巧妙縮小變量的取值范圍,借助直觀分析,合理尋找臨界,進(jìn)而巧妙實(shí)現(xiàn)對應(yīng)的不等式證明問題,全面提升函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與巧妙轉(zhuǎn)化,提高數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。