高考全國卷中函數的概念及其性質的考向分析

■江蘇省東臺中學 李遐齡

函數的概念和性質是研究函數的基礎,是歷年高考常考的內容,主要為選擇題或填空題,以中等難度的題目居多,命題的重點是分段函數的求值、不等式等問題。

考向一、函數的概念

主要以研究函數值的求解為主,特別是新定義函數的函數值。

評注:本題是以新定義形式給出背景的創(chuàng)新題,其構思新穎巧妙,設置本題的目的是要求同學們在閱讀理解的基礎上根據題中提供的信息,建立合理的數學模型,聯系所學的知識方法實現信息的遷移轉化,借引入新的概念進行抽象與概括,對所學知識有深度的理解,揭示對新知識的本質認識。本題是理性思維的具體體現,應引起各位同學的足夠重視。

考向二、函數的定義域

主要研究由對數式、根式及分式的綜合構成的函數的定義域,以及抽象函數的定義域問題。

故選B。

評注:在研究函數問題時,必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念。函數定義域問題的類型及求法:(1)已知函數的解析式,則構造使解析式有意義的不等式(組)求解。(2)抽象函數:①無論是已知定義域還是求定義域,均是指其中的自變量x的取值集合;②對應f下的范圍一致。(3)已知定義域求參數范圍,可將問題轉化,列出含參數的不等式(組),解不等式(組)進而求得參數的取值范圍。

考向三、函數的奇偶性

主要是根據函數的解析式判斷函數的奇偶性,再利用奇偶性求解參數的值。

(2)由題可知,當x≥0時,f(x)=f(x+2),且f(5)=1,又因為f(x)為奇函數,所以f(0)=0。因為h(-2 022)+h(-2 023)+h(-2 024)=f(-2 022)+f(-2 023)+f(-2 024)=-[f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)],又因為f(2 022)=f(2 024)=f(0)=0,f(2 023)=f(1)=f(5)=1,所以h(-2 022)+h(-2 023)+h(-2 024)=-1。

故選A。

評注:已知函數的奇偶性求參數,主要方法有兩個:一是利用f(-x)=-f(x)(奇函數)或f(x)=f(-x)(偶函數)在定義域內恒成立求解;二是利用特殊值求解,奇函數一般利用f(0)=0 求解,偶函數一般利用f(-1)=f(1)求解。用特殊值法求得參數后,一定要注意驗證。

考向四、函數的周期性

主要利用函數的周期性求函數值。

評注:利用函數的周期性求函數值的關鍵:是利用周期性將所求值轉化到已知區(qū)間上的函數值。

考向五、函數性質的綜合應用

主要是函數的單調性、奇偶性與周期性的綜合應用等。

例5已知函數y=f(x)的定義域為R,且函數y=f(x-1)的圖像關于點(1,0)對稱,對于任意的x,總有f(x-2)=f(x+2)成立,當x∈(0,2)時,f(x)=x2-2x+1,函數g(x)=mx2+x(x∈R),對任意的x∈R,存在t∈R,使得f(x)>g(t)成立,則滿足條件的實數m構成的集合為( )。

解析:因為函數y=f(x-1)的圖像關于點(1,0)對稱,所以函數y=f(x)的圖像關于原點對稱,即函數y=f(x)是奇函數。由對任意的x,總有f(x-2)=f(x+2),即f(x+4)=f(x)恒成立,可得函數y=f(x)的周期是4。又當x∈(0,2)時,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,則0≤f(x)<1,而f(x)是奇函數,所以當x∈(-2,0)時,-1

故選A。

評注:由y=f(x-1)的特性,結合函數圖像平移變換,可得f(x)是奇函數,由f(x-2)=f(x+2)可得函數f(x)的周期,由此探討出f(x)的值域,再將所求問題轉化為不等式mx2+x≤-1 在R上有解的問題即可。