代數(shù)思維在數(shù)學(xué)課堂中的落地生根
——以“用字母表示數(shù)”為例

江蘇省江陰市璜土實(shí)驗(yàn)小學(xué) 馬曉華

“符號(hào)意識(shí)”是新課標(biāo)提出的核心概念之一?！胺?hào)意識(shí)”主要是指能夠理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)可以促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維的衍生與發(fā)展?！坝米帜副硎緮?shù)”是蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，這是一節(jié)培養(yǎng)學(xué)生“符號(hào)意識(shí)”的基礎(chǔ)課，也是學(xué)生由具體的“算術(shù)語(yǔ)言”向抽象的“代數(shù)語(yǔ)言”過(guò)渡的開(kāi)始，是后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)方程、代數(shù)式、函數(shù)等代數(shù)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。下面，筆者結(jié)合本節(jié)課的實(shí)際教學(xué)，具體談一談如何在教與學(xué)過(guò)程中讓代數(shù)思維在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中落地生根。

一、代數(shù)思維與算術(shù)思維的區(qū)別

談到代數(shù)思維，首先讓人想到的必定是算術(shù)思維，它們是一組相對(duì)的概念。小學(xué)低、中年級(jí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容在思維方式上大多傾向于算術(shù)思維，算術(shù)思維的對(duì)象主要是數(shù)字及其計(jì)算與拆合，它側(cè)重于程序性思維，著重利用數(shù)量計(jì)算求出答案，這個(gè)過(guò)程具有情境性、特殊性和計(jì)算性等特點(diǎn)。與其不同的是，代數(shù)思維的對(duì)象則主要是代數(shù)式及其運(yùn)算與變換，它本質(zhì)上是一種關(guān)系思維，其核心是一般化思想，即發(fā)現(xiàn)一般化的關(guān)系和結(jié)構(gòu)以及明確這些關(guān)系與結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系。代數(shù)思維的運(yùn)算過(guò)程是結(jié)構(gòu)性的，側(cè)重的是關(guān)系的符號(hào)化。結(jié)構(gòu)化、符號(hào)化、抽象化和概括化是代數(shù)思維的特征。

例如：紅花有15朵，紅花的數(shù)量是黃花的3倍多6朵，求黃花有幾朵？對(duì)于這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用算術(shù)思維應(yīng)該這樣解答：15-6=9（朵），9÷3=3（朵）。運(yùn)用代數(shù)思維則尋求的是結(jié)構(gòu)化的數(shù)量關(guān)系，其思維方式是：設(shè)黃花有x朵，則3x+6=15。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，算術(shù)思維是一題一法，注重計(jì)算，而代數(shù)思維就是尋求通法、注重表征。

二、代數(shù)思維在課堂中的落實(shí)

（一）以概括的思想驅(qū)動(dòng)代數(shù)思維

代數(shù)思維主要包含概括的思想、等價(jià)的觀念和變化與函數(shù)的思想，用字母表示數(shù)這一創(chuàng)舉就是要能體現(xiàn)代數(shù)思想的高度概括性與簡(jiǎn)潔性?？v觀代數(shù)的發(fā)展史，從早期用文字來(lái)表示一個(gè)代數(shù)問(wèn)題解法的修辭代數(shù)，到古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖使用希臘字母“ζ”來(lái)表示未知數(shù)的縮略代數(shù)，再到法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)開(kāi)創(chuàng)用元音字母表示未知量、用輔音字母表示已知量的符號(hào)代數(shù)，都鮮明地表明用字母表示數(shù)是代數(shù)史上一次偉大的跨越，也是代數(shù)發(fā)展的一個(gè)必然趨勢(shì)。其最大的價(jià)值就是把數(shù)學(xué)中的無(wú)限數(shù)字、數(shù)量用一個(gè)簡(jiǎn)單字母高度地歸納概括了出來(lái)。代數(shù)就是用符號(hào)來(lái)代替數(shù)量與式子，一個(gè)“代”字，所表達(dá)的就應(yīng)該是概括的思想。教師在教學(xué)“青蛙兒歌”這道例題時(shí)，就應(yīng)該以概括的思想為抓手，以概括的思想驅(qū)動(dòng)代數(shù)思維，讓學(xué)生初步感知代數(shù)思維。

首先從“1只青蛙4條腿”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)說(shuō)下去：2只青蛙__條腿、3只青蛙__條腿、10只青蛙__條腿、120只青蛙__條腿、1000只青蛙__條腿。然后引導(dǎo)學(xué)生思考并提出問(wèn)題：“像這樣說(shuō)下去說(shuō)得完嗎？有什么辦法能把這樣的意思簡(jiǎn)單地概括出來(lái)呢？”這樣一來(lái)，學(xué)生就會(huì)從概括總結(jié)規(guī)律的角度來(lái)思考問(wèn)題，不同思維水平的學(xué)生都能用自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題，為后續(xù)開(kāi)放性的深入探究奠定基礎(chǔ)。大部分學(xué)生都能想到用一個(gè)字母來(lái)表示青蛙的數(shù)量，有“a只青蛙、b只青蛙、n只青蛙……”。對(duì)比滿屏的數(shù)，字母會(huì)帶給學(xué)生一種視覺(jué)和思維的強(qiáng)烈沖擊。在這里，用字母表示數(shù)首先體現(xiàn)出來(lái)的作用就是高度的概括性，其次才是字母可以表示未知變化的數(shù)。這樣學(xué)生就能初步感知用字母概括變化的數(shù)也是一種簡(jiǎn)潔獨(dú)特的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

（二）創(chuàng)開(kāi)放的課堂延展代數(shù)思維

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師只是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。“用字母表示數(shù)”這節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容非常多，許多教師為了在有限的40分鐘把教學(xué)內(nèi)容上“完整”，課堂安排非常緊湊，全程牽著學(xué)生往前“趕”，想讓學(xué)生馬上“吃飽吃透”，因此一節(jié)課結(jié)束，教師以為課堂內(nèi)容已經(jīng)全部講完了，實(shí)際上學(xué)生已經(jīng)在字母中迷失了。真正的好的數(shù)學(xué)課堂絕不應(yīng)該是這樣的，教師控制得太多，學(xué)生自主權(quán)就會(huì)太少，所以教師要想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)能給予學(xué)生自主思考、自主探究、自主實(shí)踐的機(jī)會(huì)與空間，真正把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，讓學(xué)生在開(kāi)放的數(shù)學(xué)課堂中延展代數(shù)思維。

為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，在“青蛙兒歌”這個(gè)新授環(huán)節(jié)，筆者這樣處理：

學(xué)生已經(jīng)從概括思想的角度嘗試用字母來(lái)代替未知的青蛙數(shù)量，所以筆者匯總學(xué)生可能會(huì)呈現(xiàn)的三種語(yǔ)言描述：“a只青蛙a條腿”“a只青蛙b條腿”“a只青蛙a×4條腿”。接下來(lái)不是急于判定好與不好，而是把大問(wèn)題提出來(lái)：“大家仔細(xì)讀一讀、比一比，你們有什么想說(shuō)的？”然后組織學(xué)生小組討論并交流想法，此時(shí)一定要給足時(shí)間。在匯報(bào)想法時(shí)，討論探究的重點(diǎn)有兩個(gè)：一個(gè)是“a只青蛙有a×4條腿”是怎樣思考出來(lái)的？另外一個(gè)是“a只青蛙b條腿”這種表示方法是否正確？課堂上，對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，大家都沒(méi)有意見(jiàn)，一致認(rèn)為可以用“a×4”來(lái)表示青蛙腿的數(shù)量。讓筆者意想不到的是，對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，大家展開(kāi)了激烈的爭(zhēng)論。有學(xué)生說(shuō)：“a和b是兩個(gè)不同的字母，肯定可以表示兩個(gè)不同的數(shù)量，所以正確。”也有學(xué)生說(shuō)：“既然確定是a只青蛙了，那它的腿數(shù)一定要是a的4倍，只能是a×4，不能隨隨便便找個(gè)不同的字母來(lái)代替它的腿數(shù)?！边€有學(xué)生反駁道：“這里的b可以看作a×4。”在這個(gè)問(wèn)題上，學(xué)生的思維有點(diǎn)脫離了筆者課前的教學(xué)預(yù)設(shè)，讓筆者措手不及。關(guān)于“a只青蛙b條腿”這種表示方式到底對(duì)不對(duì)，其實(shí)很多教師都有不同的看法。筆者認(rèn)為，對(duì)與不對(duì)得看角度問(wèn)題，站在本節(jié)課的角度，因?yàn)槭欠?hào)意識(shí)與代數(shù)思維的啟蒙課，講得就應(yīng)該直觀淺顯一點(diǎn)，“a×4”表示腿的數(shù)量肯定比“b”這個(gè)字母好，因?yàn)椤癰”對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是不確定的、任意的，是和“a”毫無(wú)關(guān)系的，所以不認(rèn)可。但是隨著代數(shù)思想的深入，站在等量替換的角度，也可以認(rèn)為當(dāng)“b=a×4”時(shí)，這句話也是成立的。

開(kāi)放的課堂不應(yīng)該就是像這樣的嗎？如果知識(shí)的探究能達(dá)到這個(gè)高度，學(xué)生對(duì)代數(shù)思想就會(huì)有更高、更深層次的理解和感悟。

（三）從變化的角度內(nèi)化代數(shù)思維

德國(guó)數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)就是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系！在“用字母表示數(shù)”這節(jié)課中，字母或含有字母的式子在很多情境中主要表示的是一些變化未知的數(shù)量，正因?yàn)閿?shù)量是不確定的，所以我們需要用符號(hào)來(lái)概括表示出來(lái)。但“變化”又是最讓學(xué)生頭疼的，所以教師又需要引導(dǎo)學(xué)生在變化中尋找一些規(guī)律，即所謂“不變的東西”，這樣才能把數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)凸顯出來(lái)，才能有利于我們找到分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路和方法。根據(jù)“變”與“不變”的關(guān)系，為了能讓學(xué)生在代數(shù)思維下體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為了更好地內(nèi)化學(xué)生的代數(shù)思維，筆者又選取了“年齡”這個(gè)素材來(lái)展開(kāi)更深入的教學(xué)。

筆者以某一家三口的年齡為研究對(duì)象，先假設(shè)爸爸x歲，兒子y歲，給出爸爸比兒子大23歲的條件，所以兒子的年齡還可以用“x-23”來(lái)表示。在比較的過(guò)程中，讓學(xué)生再次進(jìn)一步體會(huì)字母或含有字母的式子都可以表示未知變化的數(shù)量。然后x取不同的數(shù)值，代入計(jì)算兒子的年齡，感受兩人年齡不斷在變化，但兩人的年齡差這個(gè)數(shù)量關(guān)系永遠(yuǎn)不變。緊接著給出媽媽的年齡“x+1”，再次比較并觀察三人的年齡，從代數(shù)式上找到年齡的關(guān)系。最后，改變代數(shù)設(shè)定的思路，假設(shè)兒子年齡是x歲，那爸爸、媽媽的年齡怎么表示？接著對(duì)這兩組含有字母的式子進(jìn)行多角度分析比較，得出三人的年齡不斷在變化，字母x的對(duì)象也可以不斷變化，作為結(jié)果的字母式也會(huì)隨之而變化，但有一樣是自始至終不會(huì)改變的，學(xué)生異口同聲回應(yīng)道：“年齡差！”

站在更高的層次，從變化的角度來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步感受字母和含有字母的式子這種“別扭”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值。變只是表象，不變才是我們要研究的本質(zhì)，代數(shù)思維就是研究數(shù)學(xué)變化中不變關(guān)系最強(qiáng)有力的武器。

（四）設(shè)梯度的練習(xí)生根代數(shù)思維

練習(xí)是學(xué)生訓(xùn)練技能、掌握知識(shí)的重要方法。具有層次性、遞進(jìn)性和綜合性的練習(xí)才是有效的練習(xí)，才能真正發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。設(shè)計(jì)有效的練習(xí)就是對(duì)練習(xí)的內(nèi)容、形式、數(shù)量等進(jìn)行周密的考慮，使練習(xí)真正起到鞏固知識(shí)、發(fā)展思維能力的作用。

為了讓學(xué)生在練習(xí)中進(jìn)一步生根代數(shù)思維，形成代數(shù)思想，筆者把本節(jié)課的練習(xí)分成了“基礎(chǔ)練習(xí)”“綜合練習(xí)”“拓展練習(xí)”三大板塊?！盎A(chǔ)練習(xí)”重點(diǎn)訓(xùn)練用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系；“綜合練習(xí)”在緊抓數(shù)量關(guān)系的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)代入數(shù)值計(jì)算；“拓展練習(xí)”以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維為目標(biāo)。在拓展練習(xí)里，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題：“三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是m，則三個(gè)自然數(shù)的和是多少？”這個(gè)問(wèn)題在這節(jié)課里絕對(duì)是一個(gè)難題，旨在考查學(xué)生多方面的能力。這里不僅要能運(yùn)用代數(shù)思想解決問(wèn)題，還涉及分類討論的思想。問(wèn)題起點(diǎn)很高，但對(duì)學(xué)生思維能力的促進(jìn)有好處。學(xué)生就應(yīng)該在這樣的日常訓(xùn)練中不斷提升發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，生根代數(shù)思維，真正讓代數(shù)思想成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常規(guī)武器。

總之，在“用字母表示數(shù)”這節(jié)課，因?yàn)槌橄笏季S的升級(jí)，學(xué)生必須改變固有的思維和認(rèn)知方式，體會(huì)符號(hào)意識(shí)與代數(shù)思想。教師要以這節(jié)課為抓手，為學(xué)生精準(zhǔn)把脈，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生的代數(shù)思維在課堂與練習(xí)中自然地生成和自由地生長(zhǎng)。

代數(shù)思維的生成與發(fā)展絕不是一朝一夕的事情，教師要遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特點(diǎn)，在學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)上著重下功夫，幫助學(xué)生真正理解代數(shù)思維，讓代數(shù)思維切實(shí)在數(shù)學(xué)課堂中落地生根。