基于逆向思維的初中數(shù)學(xué)解題

李奎安

【摘 ?要】 ?逆向思維是通過已知條件推進(jìn)的一種思維方式，將其運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能提高學(xué)生的解題靈活性與敏捷性.因此，初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，教師需注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考，從而有效解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

【關(guān)鍵詞】 ?初中數(shù)學(xué)；逆向思維；解題策略

初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維以及思維習(xí)慣通常對(duì)解題步驟的優(yōu)化以及解題正確率有著重要影響，逆向思維作為一種常見的解題思維，又稱作反向思維，是發(fā)散思維培養(yǎng)的一種重要形式，主要采取與慣性思維相反的方式對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析與推理，即突破慣性思維，在已具備的知識(shí)體系基礎(chǔ)上，形成深層次的理解與認(rèn)知.將逆向思維運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)解題中，可有效激發(fā)出學(xué)生的邏輯思維，促進(jìn)學(xué)生的思維靈活性，提高學(xué)生的思維開放性，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)高效解題.

1 ?基于逆向思維解答否定性命題

例1 ?已知：△ABC的內(nèi)角分別為∠A、∠B、∠C.

求證：∠A、∠B、∠C中不存在兩個(gè)角為直角.

解析 ?證明題中出現(xiàn)了“不是”“沒有”“不能”等詞，這是典型的否定性命題，若直接證明，就要找出所有的可能情況，并加以論證，這個(gè)證明過程十分繁瑣.而通過逆向思維的運(yùn)用進(jìn)行逆向推導(dǎo)，則能高效解答.

證明 ?假設(shè)∠A、∠B、∠C存在兩個(gè)角為直角，

設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°，

則有∠A＋∠B＋∠C＞180°，

依據(jù)該結(jié)果，其與三角形內(nèi)角和為180°的定理相矛盾.

二者存有沖突，故∠A＝90°，∠B＝90°的假設(shè)是不成立的，

即證∠A、∠B、∠C中不存在兩個(gè)角為直角.

2 ?基于逆向思維解答存在性命題

例2 ?過O點(diǎn)作七條直線，試證明：以O(shè)為頂點(diǎn)相鄰的兩條直線形成的夾角中必然有一個(gè)角是小于26°的.

解析 ?涉及“存在”等詞的試題，運(yùn)用逆向思維可假設(shè)為“沒有一個(gè)”.首先，過O點(diǎn)作出7條直線，相鄰的兩條直線形成的夾角共14個(gè)，這些角的和是360°，并通過逆向思維，設(shè)各個(gè)角都不小于26°；其次，將這些角的度數(shù)相加求和，判斷其與360°的大小，即可證明命題.

證明 ?將O作為頂點(diǎn)的角中，相鄰的兩條直線形成的夾角一共有14個(gè)，若必然有一個(gè)角是小于26°，而14個(gè)角恰當(dāng)形成一個(gè)周角，

假設(shè)14個(gè)角都大于26°，

那么，14個(gè)角的和大于且等于14×26°＝364°＞360°，

這和周角的度數(shù)是360°相矛盾，

即得證以O(shè)作為頂點(diǎn)的角中必然有一個(gè)角是小于26°的.

3 ?基于逆向思維解答“至多”“至少”的命題

例3 ?任意給出三個(gè)實(shí)數(shù)，下列不等式中，至多有兩個(gè)不等式是同時(shí)成立的：|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|.

解析 ?證明本題中出現(xiàn)的“至多”，學(xué)生常常無(wú)法理解，此時(shí)，可通過逆向思維，假設(shè)三個(gè)不等式均成立，則能有效證明本題.

證明 ?依據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c是數(shù)軸上的三點(diǎn)，如圖1中的A、B、C所示，

則存有|a|＝OA，|b|＝OB，|c|＝OC，

|b－c|＝BC，|c－a|＝AC，|a－b|＝AB，

假設(shè)三個(gè)不等式均成立，那么，|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|，

即AO＜BC，OB＜AC，OC＜AB，

且OC＝OB＋BC＞OB＋OA＝AB，

此時(shí)，OC＞AB，與假設(shè)矛盾，

故|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|至多有兩個(gè)不等式是同時(shí)成立的.

例4 ?已知，證明：、、中至少有一個(gè)是不小于.

解析 ?存在“至少”詞匯的解題中，可通過逆向思維，將至少存在n個(gè)，假設(shè)為至多存在（n+1）個(gè)，也就是假設(shè)、、均小于即可.

證明 ?假設(shè)、、均小于，

那么①，

②，

③，

即有④，

⑤，

⑥，

式子④+式子⑥可得：⑦，

由于式子⑤與式子⑦是矛盾的，故可證原命題成立.

4 ?基于逆向思維解答幾何問題

例5 ?如圖2，△ABC中，AB⊥AD，AC＝AB，BC和AD相交于點(diǎn)E，且BC⊥DC，AD和DC相交于點(diǎn)D，證明：AC2＝AD·AE.

解析 ?在解題時(shí)，無(wú)法從已知條件中找到證明思路，教師就可以指導(dǎo)學(xué)生通過逆向思維加以證明.即想要證明：AC2＝AD·AE，可將其變形成，為了得到該結(jié)論，就需證明△ADC∽△ACE，依據(jù)圖2得：∠CAD與∠EAC是公共角，由此可斷定三角形相似，并證明結(jié)論.

證明 ?因?yàn)锳B⊥AD，BC⊥DC，

所以∠ECD=∠EAB，

又因?yàn)椤螩ED=∠BEA，所以∠D=∠B.

因?yàn)锳C=AB，

所以∠BCA=∠B=∠D，

即在△ADC與△ACE中，∠ECA=∠D，∠CAD=∠EAC，△ADC∽△ACE，所以，即證AC2=AD·AE.

5 ?結(jié)語(yǔ)

綜上所述，初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，教師需充分認(rèn)識(shí)到逆向思維的作用，并通過逆向思維在實(shí)際例題中的應(yīng)用講解，讓學(xué)生形成相應(yīng)的邏輯思維，以實(shí)現(xiàn)解題效率的提高.

參考文獻(xiàn)：

[1]梁玲.初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2022（16）：51-52.

[2]龔愛峰.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用[J].讀寫算，2021（28）：155-156.