例談圓錐曲線離心率取值范圍的求解策略

袁繼華

【摘 要】 ?本文以近幾年的高考試題和模擬試題為例，談?wù)勲x心率取值范圍的常見題型的應(yīng)對(duì)策略，以供參考.

【關(guān)鍵詞】 ?離心率;圓錐曲線;不等關(guān)系

1 利用已知條件構(gòu)建不等式

例1 ??已知橢圓C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，直線l：x－y=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，滿足 MF + NF =4，且點(diǎn)B到直線l的距離不小于 ?2 ?2 ，則離心率的取值范圍是（ ?）

（A） ?0， ?3 ?2 ?. ????（B） ???3 ?2 ，1 .

（C） ?0， ?2 ?2 ?. ???（D） ???2 ?2 ，1 .

解析 ??設(shè)E為橢圓的左焦點(diǎn)，連接ME，NE，則四邊形NFME為平行四邊形，

所以 NE + NF = ME + MF =2a=4，

所以a = 2，由點(diǎn)B（0，b）到直線l：x - y = 0的距離不小于 ?2 ?2 ，

即 ?b ??1+1 ?≥ ?2 ?2 ，所以b≥1，

所以橢圓的離心率e= c a = 1－ ?b a ???2 = 1－ b 4 ??2 ≤ 1－ 1 4 ?= ?3 ?2 ，

所以0

評(píng)注 ??本題利用左焦點(diǎn)E作平行四邊形NFME，把條件“ MF + NF =4轉(zhuǎn)化為 ME + MF =2a=4”，根據(jù)條件“點(diǎn)B到直線l的距離不小于 ?2 ?2 ”構(gòu)建b的不等式，進(jìn)而求解.解題時(shí)注意橢圓定義的靈活應(yīng)用.

2 利用圖形中幾何量的范圍構(gòu)建不等式

例2 ??已知F1 ，F(xiàn)2 是雙曲線C： x 2 a 2 － y 2 b 2 =1 a>0，b>0 的左，右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足PF1 ?·PF2 ?=-a 2，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ?）

（A） ??3 ，+∞ . ???（B） ??2 ，+∞ .

（C） ?3，+∞ . ?（D） ?2，+∞ .

解析 ??由題意，取點(diǎn)P為右支上的點(diǎn)，設(shè)|PF1| =m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ，

根據(jù)雙曲線的定義知m－n=2a，

在△F1PF2中，由余弦定理可得

cos θ= m 2+n 2－4c 2 2mn ，

又因?yàn)镻F 1 ??·PF 2 ??=-a 2 ，

所以mn cos θ=-a 2，

即m 2+n 2=4c 2－2a 2，

又因?yàn)閙≥a+c，n≥c-a，

所以 c+a ??2 + c-a ??2 ≥4c ?2 -2a ?2 ，

得c 2≥2a 2，即e≥ ??2 ，故選 ??（B） .

評(píng)注 ??涉及焦點(diǎn)三角形問題時(shí)，要充分利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及平面向量等知識(shí)解決問題.本題根據(jù)題設(shè)，利用雙曲線的定義，余弦定理得到關(guān)于m，n的等式，關(guān)鍵是性質(zhì)m≥a+c，n≥c－a的發(fā)現(xiàn)難度較大.

3 利用判別式構(gòu)建不等式

例3 ??已知橢圓C：x 2+ y 2 b 2 =1（b＞0且b≠1）與直線l：y=x+m交于M，N兩點(diǎn)，B為上頂點(diǎn).若 BM = BN ，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ?）

（A） ?0， ?2 ?2 ??. ??（B） ???2 ?2 ?， 1 .

（C） ???6 ?3 ?， 1 . ??（D） ?0， ??6 ?3 ??.

解析 ??設(shè)直線 l：y=x+m與橢圓C：x 2+ y 2 b 2 =1交于M x1，y1 ，N x2，y2 兩點(diǎn)，

聯(lián)立 ?y=x+m，x 2+ y 2 b 2 =1，

得（b 2+1）x 2+2mx+m 2-b 2=0，

所以x1+x2=- 2m b 2+1 ，x1·x2= m 2-b 2 b 2+1 ，

Δ=（2m） ?2－4（b 2+1）（m 2-b 2）

=4b 2（b 2+1-m 2）>0，

設(shè)線段MN的中點(diǎn)為G，

則G － m b 2+1 ， b 2m b 2+1 ?，

因?yàn)??BM = BN ，所以直線BG垂直平分線段MN，所以直線BG的方程為y=－x+b，且經(jīng)過G點(diǎn)，

可得 b 2m b 2+1 = m b 2+1 +b，

所以m= b 3+b b 2－1 ，

因?yàn)閎 2+1-m 2>0，

所以b 2+1- ?b 2+b b 2-1 ???2>0，0

因?yàn)閑 2=1－b 2，所以 ?6 ?3

評(píng)注 ??涉及圓錐曲線與直線位置關(guān)系的問題常常轉(zhuǎn)化為方程組解的個(gè)數(shù)問題，化簡(jiǎn)后用一元二次方程根的判別式求出參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而求解.這道題綜合性較強(qiáng)，需要聯(lián)立方程組， 利用判別式構(gòu)造出b與參數(shù)m的不等式，消去參數(shù)m，求出b的范圍，進(jìn)而求出答案.

4 利用基本不等式構(gòu)建不等式

例4 ??已知橢圓M： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 a>b>0 的左，右焦點(diǎn)分別是 F1 ，F(xiàn)2 ，P為橢圓M上任意一點(diǎn)，且 PF1 · PF2 的最大值的取值范圍為 ?1 2 c 2，3c 2 ?（c 2＝a 2－b 2），求橢圓的離心率的取值范圍.

解析 ??因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，

所以 PF1 ＋ PF2 ＝2a.

所以2a＝ PF1 ＋ PF2

≥2 ?PF1 · PF2 ?，

即 PF 1 ?· PF 2 ?≥ ??PF 1 ?+ PF 2 ??2 ???2

＝ ?2a 2 ???2 ＝a 2 ，

當(dāng)且僅當(dāng) PF1 ＝ PF2 時(shí)取等號(hào).

所以 1 2 c ?2 ≤a ?2 ≤3c ?2 ，所以 1 3 ≤e ?2 ≤2，

又因?yàn)?

所以橢圓離心率e的取值范圍是 ??3 ?3 ，1 .

評(píng)注 ??涉及最值的問題時(shí)，往往考慮能否用基本不等式解決問題.本題根據(jù)橢圓的定義給出 PF1 與 PF2 的數(shù)量關(guān)系，再依據(jù)條件結(jié)合基本不等式求得最值時(shí)的取值，注意等號(hào)成立的條件.

5 利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)建不等式

例5 ??已知雙曲線 x 2 a 2 － y 2 b 2 =1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|，則此雙曲線的離心率的取值范圍是 .

解析 ??由雙曲線定義知|PF1|－|PF2|=2a，

又|PF1|=4|PF2|，

所以 PF1 = 8 3 a， PF2 = 2 3 a，

在△PF1F2中，由余弦定理

cos ∠F1PF2= ?64 9 a 2+ 4 9 a 2－4c 2 2· 8 3 a· 2 3 a = 17 8 － 9 8 e 2，

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，

所以∠F1PF2∈ 0， ?π ??，

cos ∠F1PF2∈ -1 ， 1 ，

-1≤ 17 8 - 9 8 e ?2 <1，即1

所以雙曲線的離心率的取值范圍是 1， 5 3 ?.

評(píng)注 ??本題解法利用余弦函數(shù)的有界性，構(gòu)造關(guān)于離心率的不等式，首先由雙曲線定義和余弦定理建立 cos ∠F1PF2和離心率的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)∠F1PF2的余弦值范圍得到答案.