例析雙曲正弦函數(shù)在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用

范明輝

一、雙曲正弦函數(shù)

人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書《數(shù)學(xué)1必修》（2019年）第160頁第6題，以證明題的形式給出了雙曲正弦函數(shù)f（x）=ex－e－x2和雙曲余弦函數(shù)g（x）=ex+e－x2的相關(guān)結(jié)論.容易發(fā)現(xiàn)雙曲余弦函數(shù)g（x）就是雙曲正弦函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，而雙曲正弦函數(shù)f（x）在原點(diǎn)處的切線為y=x，易證：當(dāng)x≥0時(shí)，ex+e－x2≥x，當(dāng)且僅當(dāng)“x=0”時(shí)取等號(hào).

二、典例精析

通過研究2022年新高考II卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題和兩道?？荚囶}的導(dǎo)數(shù)壓軸題，可以發(fā)現(xiàn)雙曲正弦函數(shù)在導(dǎo)數(shù)壓軸題中形式多變，應(yīng)用廣泛，具有重要的研究?jī)r(jià)值.

例1 （2022年新高考II卷第22題）已知函數(shù)f（x）=xeax－ex．（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<－1，求a的取值范圍；（3）設(shè)n∈N*，證明：112+1+122+2+…+1n2+n>ln（n+1）．

分析：對(duì)于第（3）問，ln（n+1）=［ln（n+1）－lnn］+［lnn－ln（n－1）］+…+（ln2－ln1）+ln1，是通過“裂項(xiàng)相消”轉(zhuǎn)化而來的，因此只需要證明通項(xiàng)1n2+n>ln（n+1）－lnn即可.即轉(zhuǎn)化為證明：1n2+n=n+1－nnn+1=n+1n－nn+1>lnn+1n，記t=n+1n（t>1），則等價(jià)于證明t－1t>2lnt（t>1），用ex換t，即ex－e－x>2x（x>0）.

評(píng)析：由上述分析可知，這道高考題第（3）問，本質(zhì)上考查的是雙曲正弦函數(shù)在x=0處的切線不等式的等價(jià)變形t－1t>2lnt（t>1）以及數(shù)列求和的重要方法——裂項(xiàng)相消法，對(duì)不等式內(nèi)容與數(shù)列知識(shí)的考查水乳交融，且題根源自于教材課后習(xí)題.

例2 （2023屆湖北圓創(chuàng)第一次聯(lián)合測(cè)評(píng)第22題）已知函數(shù)f（x）=ex+12x2－ax+1（a∈R），其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)f（x）的極小值為h（a），求h（a）的最大值；（2）若存在x1，x2x1≠x2使得fx1=fx2，且x1+x2=1，求a的取值范圍.

分析：對(duì)于第（2）問，不妨設(shè)x112，故可設(shè)x1=12－t，x2=12+t，t>0.又因?yàn)榇嬖趚1，x2x1≠x2，使得fx1=fx2，所以可轉(zhuǎn)化為：存在t>0，使得e12－t+12×（12－t）2－a（12－t）+1=e12+t+12×（12+t）2－a（12+t）+1.整理得e12+t－e12－t+（1－2a）t=0，即存在t>0，使得et－e－t+1－2aet=0.上式中出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)et－e－t，因此聯(lián)想到雙曲正弦函數(shù)在x=0處的切線不等式，構(gòu)造并轉(zhuǎn)化為：

存在t>0，使得et－e－t－2t+（2+1－2ae）t=0，由于et－e－t－2t>0（t>0）恒成立，故必有2+1－2ae<0成立，即a>12+e.

評(píng)析：這道模考題的第（2）問，屬于探索創(chuàng)新情境，通過對(duì)題設(shè)條件的轉(zhuǎn)化，觀察代數(shù)結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到教材習(xí)題中的雙曲正弦函數(shù)的切線不等式，進(jìn)而輕松求出參數(shù)的范圍.

例3 函數(shù)f（x）=ex－1ex，h（x）=xx+1，

（1）判斷x>0時(shí)，f（x）－h(huán)（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以說明；（2）正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1，ane－an+1=fan，11判斷數(shù)列an的單調(diào)性并加以②證明：∑n+1i=1ai<2－（12）n.

分析：對(duì)于第（2）問②，將a1=1代入原不等式之中，左右兩邊進(jìn)行變形可得a2+a3+…+an+an+1<1－（12）n=12×［1－（12）n］1－12=12+（12）2+…+（12）n，只需證明an+1<（12）n，進(jìn)一步只需證明an+1an，令t=an2（t>0），則只需證et－e－t－2t>0（t>0）.

評(píng)析：本題第（2）問22，屬于課程學(xué)習(xí)情境，在不等式與數(shù)列交匯處命題，與例1有異曲同工之妙.試題的本質(zhì)最終還是回歸到證明雙曲正弦函數(shù)在x=0處的切線不等式.

三、結(jié)語

以上探究?jī)?nèi)容，根源還是來自于對(duì)教材課后習(xí)題功能的深度挖掘，充分體現(xiàn)出“用教材教，而不是教教材”的思想觀念.借助于對(duì)高考真題的深入分析，結(jié)合課后習(xí)題內(nèi)容，得到雙曲正弦函數(shù)在x=0處的切線不等式，并應(yīng)用于解決導(dǎo)數(shù)壓軸題，這是教與研深度交融的結(jié)果.