對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)和培養(yǎng)

李樹臣 欒尚鋒

【摘 要】《課標(biāo)（2022年版）》提出了“三會(huì)”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)，初中階段的核心素養(yǎng)包括九個(gè)行為表現(xiàn)，幾何直觀是其中之一.幾何直觀是學(xué)生整體素養(yǎng)不可或缺的部分，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng).學(xué)生幾何直觀的形成與發(fā)展是在過程中實(shí)現(xiàn)的，在對(duì)幾何直觀初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，提出了三個(gè)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的策略.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);幾何直觀;培養(yǎng)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）在“課程目標(biāo)”中提出了“核心素養(yǎng)”的概念，并將“幾何直觀”作為初中學(xué)段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一^［1］.本文首先談?wù)剬?duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)，然后探討其教學(xué)策略.

1 對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)

徐利治^［2］教授認(rèn)為：“直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知.”

《課標(biāo)（2022年版）》認(rèn)為“幾何直觀”是“運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣”.分為四個(gè)層次：（1）能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；（2）根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；（3）建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；（4）利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路^［1］.可見，幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.

幾何直觀不僅能為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)、進(jìn)行幾何探究與推理提供便利，而且能為學(xué)生理解與洞察其他更為抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)搭建橋梁，幾何直觀是啟發(fā)問題解決思路的基本策略^［3］.初中階段的幾何直觀主要表現(xiàn)為7個(gè)方面，“能通過尺規(guī)作圖、折紙、剪拼等操作活動(dòng)，感知圖形的結(jié)構(gòu)特征”是其中之一^［4］.

對(duì)于這一表現(xiàn)，文［5］認(rèn)為尺規(guī)作圖是歐氏幾何的基礎(chǔ)，尺規(guī)作圖的操作過程有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的組成元素及其位置關(guān)系，對(duì)圖形的結(jié)構(gòu)特征形成直觀感知，進(jìn)而為邏輯推理奠定基礎(chǔ).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不能把尺規(guī)作圖簡(jiǎn)單的看作是“圖形與幾何”的任務(wù)，應(yīng)將其當(dāng)作一種感知幾何圖形、理解圖形性質(zhì)、探究幾何規(guī)律的認(rèn)知工具.這種表現(xiàn)行為包括三個(gè)方面^［5］：

（1）能用直尺和圓規(guī)作出基本圖形，感悟尺規(guī)作圖的合理性及圖形的幾何特征.例如，在用尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線的同時(shí)，能探究得到角平分線的性質(zhì)，這個(gè)性質(zhì)有兩個(gè)方面的意義：一是“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”，這是角平分線上的點(diǎn)具有的共同屬性（這條平分線上的任何一點(diǎn)都滿足到角兩邊的距離相等的特性），讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在角平分線上的點(diǎn)，不摻雜一個(gè)不具有這種性質(zhì)的點(diǎn)；二是“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”，這是角平分線的本質(zhì)（到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)都在這個(gè)角的平分線上），讓學(xué)生感悟到角平分線外的任何一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離都不相等.

（2）能利用尺規(guī)作圖探討幾何圖形的存在性與結(jié)構(gòu)特征.例如，學(xué)生通過用尺規(guī)作三角形的外接圓，能發(fā)現(xiàn)這個(gè)外接圓的存在性和唯一性：三角形的三條邊都是線段，由于線段的垂直平分線有且僅有一條，所以三角形兩邊的垂直平分線一定有交點(diǎn)，而且這個(gè)交點(diǎn)只能有一個(gè)，從而對(duì)“任意三角形都有唯一一個(gè)外接圓”深信不疑.因此，任意一個(gè)三角形都有一個(gè)外接圓.對(duì)于每個(gè)三角形都有唯一一個(gè)內(nèi)切圓也可以類似進(jìn)行說明，正因?yàn)槊總€(gè)三角形都有唯一一個(gè)內(nèi)切圓，所以根據(jù)直角三角形的三邊長(zhǎng)就可以求出這個(gè)圓的直徑.劉徽曾用兩種方法證明了《九章算術(shù)》中的“勾股容圓”公式.

（3）能利用折紙、剪拼等操作活動(dòng)對(duì)簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行變換、分解與組合，解釋操作過程的幾何原理，明確操作前后圖形的關(guān)系.折紙的數(shù)學(xué)原理就是軸對(duì)稱，通過圖形的剪拼活動(dòng)可以直觀感知圖形的形狀和大小，形成頭腦中的表象，為空間想象建立直觀基礎(chǔ).

案例1 打印紙中的數(shù)學(xué)^［6］.

Ａ４打印紙的長(zhǎng)與寬之比為2，可以用下面兩種折紙的方法進(jìn)行驗(yàn)證并證明：

方法１：如圖１，將Ａ４打印紙折疊，使點(diǎn)Ａ落在BC邊上，得折痕BE．再將四邊形BCDE折疊（如圖２），發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Ｅ落在點(diǎn)Ｃ處．由折疊過程可知，BC=BE=√^—2AB.

方法２：如圖3，將Ａ４打印紙折疊兩次，設(shè)兩條折痕的交點(diǎn)為Ｏ．再將四邊形ABOE折疊（如圖４），發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A落在點(diǎn)Ｏ處．由折疊過程可知，BC=√^—2OB=√^—2AB.

20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一希爾伯特在《直觀幾何》一書中談到：圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果.

總之，幾何直觀有助于學(xué)生更好的學(xué)好數(shù)學(xué)，也是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決的工具，在其他領(lǐng)域的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有廣泛的應(yīng)用^［5］，被《課標(biāo)（2022年版）》作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)之一.

2 初中生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

幾何直觀素養(yǎng)的形成離不開“圖形”，幾何圖形是培養(yǎng)直觀素養(yǎng)的最佳“載體”，這里的“直觀”既包括能看得到的“實(shí)物”，也包括依托看到的“實(shí)物”進(jìn)行思考、想象，而且這一點(diǎn)更為重要.幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)既離不開“圖形”，也離不開“過程”.這里的過程主要指下面的三個(gè)：

2.1 數(shù)學(xué)概念的形成過程

許多幾何概念都有“實(shí)物”模型，在對(duì)這些概念的教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)問題系列，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，在建立概念的同時(shí)加深對(duì)基本圖形的認(rèn)知，感悟幾何直觀的思想.

案例2 三角形內(nèi)切圓概念的建立過程.

為了在三角形內(nèi)切圓概念的建立過程中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，我們?cè)O(shè)計(jì)了下面的問題系列：

（1）你能在∠AOB的內(nèi)部（圖5）

作一個(gè)圓使其與兩邊OA，OB都相切嗎？

（2）任意作一個(gè)△ABC，你能在△ABC內(nèi)部作一個(gè)與各邊都相切的圓嗎？怎樣確定出這個(gè)圓的圓心的位置？

（3）怎樣用尺規(guī)作一個(gè)圓，使它與△ABC的各邊都相切呢？

（4）你能說出上面作圖的道理嗎？與三角形各邊都相切的圓有幾個(gè)？

設(shè)計(jì)意圖 《課標(biāo)（2022年版）》在“課程內(nèi)容”中對(duì)三角形內(nèi)切圓的概念沒有提出明確要求，只有兩條與之相關(guān)的要求：（1）了解三角形的內(nèi)心；（2）能用尺規(guī)作三角形的內(nèi)切圓.三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的“附屬”概念，因此在教學(xué)中必須先給出三角形內(nèi)切圓的概念.

我們采用的是先用尺規(guī)作一個(gè)與三角形各邊都相切的圓，說明這個(gè)圓是確確實(shí)實(shí)存在的，而學(xué)生又不認(rèn)識(shí)，于是需要給這個(gè)“圓”起個(gè)名字.教學(xué)的重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生探究作圖的過程上，于是，我們?cè)O(shè)計(jì)了上面的四個(gè)問題系列.

對(duì)于問題（1），學(xué)生很快就能作出圖6所示的無數(shù)個(gè)圓，而且歸納出這無數(shù)個(gè)圓的圓心都在∠AOB的平分線上.在思考這個(gè)問題的基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)于問題（2）能給出肯定的回答：只要作出△ABC兩角的角平分線，兩條角平分線的交點(diǎn)就是與三角形各邊都相切的圓的圓心.

有了問題（2），學(xué)生很容易給出問題（3）的解答過程：

已知：△ABC（如圖7①）.

求作：⊙I，使它與△ABC各邊都相切.

作法 （1）分別作∠ABC和∠ACB的角平分線BD和CE，BD與CE相交于點(diǎn)I（如圖7②）；

（2）過點(diǎn)I作IF⊥BC于F.

（3）以I為圓心，IF為半徑作圓.

⊙I即為所求作的圓.

對(duì)于問題（4），學(xué)生根據(jù)作法可給出解釋，并作出⊙I是唯一的回答.

這時(shí)教師給出三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形等概念.

這種設(shè)計(jì)首先從作圖得到一個(gè)特殊的圓，然后給出三角形內(nèi)切圓的概念.在建立三角形內(nèi)切圓概念的同時(shí)，學(xué)生進(jìn)一步熟悉尺規(guī)作圖的原理，并且培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

對(duì)于一些抽象但圖形本身比較直觀的數(shù)學(xué)概念，教學(xué)中可以利用圖形對(duì)其概念進(jìn)行直觀表征，這樣能使抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，這種教學(xué)有助于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和記憶，認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵及本質(zhì)特征.還有助于學(xué)生把新學(xué)習(xí)的概念納入到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中，進(jìn)一步優(yōu)化和擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.2 數(shù)學(xué)規(guī)律的探究過程

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中指出：“學(xué)習(xí)任何東西的最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)等都是反映數(shù)學(xué)對(duì)象和概念間關(guān)系的具體知識(shí)，我們不妨稱之為“數(shù)學(xué)規(guī)律”.數(shù)學(xué)規(guī)律是數(shù)學(xué)的“核心”知識(shí)，《課標(biāo)（2022年版）》界定的“課程內(nèi)容”中有很多數(shù)學(xué)規(guī)律，如乘法公式（a+b）（a-b）=a²-b²，（a±b）²=a²±2ab+b²；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；勾股定理及其逆定理；多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系等等.

對(duì)于“數(shù)學(xué)規(guī)律”的教學(xué)，我們都可以通過設(shè)計(jì)的問題系列，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合相應(yīng)的幾何圖形經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)這些“數(shù)學(xué)規(guī)律”的過程，同時(shí)達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

案例3 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程.

【問題呈現(xiàn)】

一個(gè)正方形與一個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和等于c，如果長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為b，另一邊長(zhǎng)恰好等于正方形的邊長(zhǎng)，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng).

【割補(bǔ)圖形】

如圖8，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)也為x.

（1）把長(zhǎng)方形沿虛線剪開，得到兩個(gè)全等的小長(zhǎng)方形（如圖9）；

（2）把其中一個(gè)小長(zhǎng)方形放到圖8所示的正方形右邊，另一個(gè)放到它的下面；然后在右下角補(bǔ)上一個(gè)邊長(zhǎng)為b/2的小正方形，由此得到圖10所示的大正方形.

【觀察發(fā)現(xiàn)】

（1）圖10中大正方形的邊長(zhǎng)為__________，其面積為__________.

（2）用含b，c的代數(shù)式表示這個(gè)大正方形的面積，則為__________.

（3）由（1）（2）你能得到怎樣的方程？這個(gè)方程的解是什么？

【抽象思考】

（4）對(duì)于一般的方程x²+bx=c來說，它的解為__________.

（5）為了推導(dǎo)方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式，我們可以在等式兩邊同除以a，這時(shí)方程變?yōu)閤²+b/ax=－ca，只要把方程x²+bx=c中的b換成b/a，c換成－c/a，則根據(jù)（4）的結(jié)果可得到方程ax²+bx+c=0的解為x=__________.

設(shè)計(jì)意圖 一元二次方程求根公式是《課標(biāo)（2022年版）》界定的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程內(nèi)容，目前的大部分教材，基本上都是利用配方法推導(dǎo)出來的.為了更好的培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，我們?cè)O(shè)計(jì)了“問題呈現(xiàn)—割補(bǔ)圖形—觀察發(fā)現(xiàn)—抽象思考”四個(gè)部分.

這就是大家熟悉的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式.

本案例立足于從圖形的面積出發(fā)，推導(dǎo)出一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)“全新”的過程，這種推導(dǎo)方法凸顯了“數(shù)學(xué)史”的意義，這對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，欣賞數(shù)學(xué)美，感悟數(shù)形結(jié)合思想，加深對(duì)“出入相補(bǔ)原理”的理解和認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)幾何直觀等素養(yǎng)都具有積極的價(jià)值.

2.3 解決問題的過程

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的目的在于利用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問題，解決問題的方法很多，數(shù)形結(jié)合是常用的一種解決問題的方法，由于這種方法能把“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換，因此，在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到通過構(gòu)造圖形解決代數(shù)問題，也可以將幾何問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題進(jìn)行求解.從而把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，同時(shí)有助于學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解和認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

案例4 有一塊如圖11所示的土地，要用一條直線把它分割成面積相等的兩部分，應(yīng)如何確定出直線的位置？

設(shè)計(jì)意圖 我們知道要確定一條直線的位置，只需要確定出兩個(gè)點(diǎn)就可以.由于本題沒有指明這條線要經(jīng)過哪一個(gè)點(diǎn)，所以學(xué)生感到無從下手.教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生首先固定一點(diǎn)，然后根據(jù)“分割成面積相等兩部分”的要求得到另一點(diǎn)的位置，然后連線就可以得到這條直線.這是一道開放性的問題，這條直線可以用多種確定方法，例如，下面幾種方法學(xué)生都能接受：

為解答方便，不妨設(shè)圖中小正方形的邊長(zhǎng)為a.

方法一：可以先確定點(diǎn)A，再確定點(diǎn)G，如圖12，設(shè)AG符合要求，只要求出CG的長(zhǎng)度就能確定出點(diǎn)G.

方法三：在CD上取DH=12a，連接BH即為所求（如圖13）.

本題中能把圖11所示的土地分為二等分的直線有多種位置，從而本題有多種解決方法，教師在教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生的接受能力適當(dāng)選取幾種解法引導(dǎo)學(xué)生去思考、探索.這樣的問題對(duì)于學(xué)生幾何直觀、計(jì)算能力等素養(yǎng)的培養(yǎng)都是非常有益的.

學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)是在日積月累的學(xué)習(xí)與體驗(yàn)中逐步形成的，形成過程是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程.我們結(jié)合案例說明了三個(gè)常用的培養(yǎng)策略，在實(shí)際教學(xué)中，教師要認(rèn)真學(xué)習(xí)《課標(biāo)（2022年版）》，研讀教學(xué)內(nèi)容，不斷探究培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的教學(xué)方法，通過培養(yǎng)幾何直觀達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

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作者簡(jiǎn)介 李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學(xué)正高級(jí)教師;臨沂大學(xué)學(xué)生學(xué)業(yè)導(dǎo)師，山東省教育科研先進(jìn)個(gè)人，山東省創(chuàng)新教育先進(jìn)個(gè)人，三次獲山東省省級(jí)教學(xué)成果獎(jiǎng);全國(guó)義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）核心作者，中國(guó)人民大學(xué)《復(fù)印報(bào)刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委，湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)》特約編委.

欒尚鋒（1968—），男，山東萊蕪人，市優(yōu)秀班主任，市教育教學(xué)先進(jìn)個(gè)人;主要研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué).