基于不同運算能力與作圖能力拋物線研究

李亞玲

關(guān)鍵詞：拋物線；作圖能力；運算能力

? 一、問題提出

拋物線在義務教育學段、普通高中學段都是重要內(nèi)容。義務教育學段、普通高中學段有什么不同呢？我國的心理學家對學習的分類傾向于按知識學習、技能學習、能力學習和道德與行為規(guī)范學習來分類。根據(jù)曹才翰、章建躍《數(shù)學教育心理學》數(shù)學學習分類：認知、能力、態(tài)度三分框架[1]，從知識的不同，運算能力與作圖能力的不同研究義務教育學段、普通高中學段拋物線的不同。

? 二、知識方面的不同

義務教育學段拋物線是作為二次函數(shù)的圖象進行學習。義務教育階段對拋物線的研究只是初步的研究，首先通過具體情境，尋找兩個變量代數(shù)關(guān)系的共同特點，從而通過兩個變量代數(shù)依賴關(guān)系（函數(shù)表達式）定義什么樣的函數(shù)是二次函數(shù)：“一般地，形如y=ax■+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)”，函數(shù)是從數(shù)量的角度反映變化規(guī)律，這揭示函數(shù)的本質(zhì)特征——聯(lián)系和變化。然后，通過列表、描點、連線畫出二次函數(shù)的圖象——拋物線，再觀察二次函數(shù)的圖象——拋物線，再從直觀上得出二次函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的圖象與性質(zhì)是函數(shù)理論的主體，通過函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究從數(shù)量和圖形相互聯(lián)系中，顯示出函數(shù)的本質(zhì)特征——聯(lián)系和變化。

義務教育學段對函數(shù)的學習并沒有明確函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極大（?。┲担瑑H僅根據(jù)圖象——拋物線的特點研究函數(shù)的性質(zhì)：軸對稱性、函數(shù)上升或下降趨勢即“y隨x的增加而增大（減小）”。二次函數(shù)的圖象（拋物線）具有的軸對稱性暗含了函數(shù)的奇偶性，而y隨x的增加而增大（減?。嶋H描述了函數(shù)的單調(diào)性，頂點體現(xiàn)了函數(shù)的極值。雖然初中學段對二次函數(shù)的性質(zhì)的研究是不完整、不系統(tǒng)、不全面，但已經(jīng)體現(xiàn)從函數(shù)圖象的幾何特征來描述這一類函數(shù)所具有的性質(zhì)，從圖形的角度認識函數(shù)。充分體現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。

高中數(shù)學課程，拋物線是解析幾何部分的重要內(nèi)容，解析幾何是用代數(shù)的方法為工具來研究幾何問題，拋物線的學習是在學習了橢圓、雙曲線之后，從圖形特征上定義的又一類圓錐曲線。

首先，回顧：動點M到定點F的距離與動點M到定直線l的距離之比K，當O＜k＜1時，點M的軌跡是橢圓；當k＞1時，點M的軌跡是雙曲線。自然地提出：當k=1時，即動點M到定點F的距離與它到定直線l的距離相等時，動點M的軌跡是什么形狀？

然后，分析動點M滿足的幾何條件：即動點M到定點F的距離與它到定直線l的距離相等，將動點M轉(zhuǎn)化為定直線l的上的動點H的垂線與線段HF垂直平分線的交點，然后利用信息技術(shù)畫出動點M的軌跡，發(fā)現(xiàn)動點M的軌跡與二次函數(shù)的圖象相似。從而從拋物線的幾何特征上定義了拋物線：

“我們把平面內(nèi)與定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線”。

高中數(shù)學課程對幾何圖形拋物線的研究通過解析幾何方法：借助拋物線的幾何特征，建立合適平面直角坐標系，導出拋物線的標準方程y2=2px（p＞0），然后用方代數(shù)的方法研究拋物線的幾何特征及與其他直線、曲線的位置關(guān)系，體現(xiàn)形與數(shù)結(jié)合。

? 三、能力的不同

? （一）運算能力的不同

數(shù)學運算包括：理解運算對象（數(shù)、字母（代數(shù)式））、掌握運算法則、究運算思路、求得運算結(jié)果[2]。

義務教育學段拋物線的學習中，數(shù)學運算對象主要是具體的數(shù)、字母，分別表示的是自變量的具體值，項的式系數(shù)，或者在運算的過程中由具體推廣到一般，這符合該學段學生的認知規(guī)律[3]。

例如，在研究二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)中列表的過程，先給定自變量的值，能根據(jù)函數(shù)的表達式求因變量的值，運算是具體數(shù)的四則運算。

又如在求二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=ax2+bx2+c時，常用方法是待定系數(shù)法。

例：如果一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-1，10），（1，4），（2，7）三點，能求出這個二次函數(shù)的解析式嗎？如果能，求出這個二次函數(shù)的解析式。

將具體的點的坐標（-1，10），（1，4），（2，7）代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于參數(shù)a，b，c三元一次方程組a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7，然后再解方程組，得到a，b，c的值，a=2，b=-3，c=5，從而得到二次函數(shù)方程y=ax2+bx2+c的具體表達式y(tǒng)=2x2-3x+5。

再如，在學習二次函數(shù)y=ax2+bx2+c圖象和性質(zhì)時，先研究系數(shù)為確定的常數(shù)y=■x2-6x+21的圖象和性質(zhì)，并通過數(shù)學運算，將y=■x2-6x+21配方，得到y(tǒng)=■（x-6）2+3，從而運用已經(jīng)掌握的二次函數(shù)y=a（x-h）2+k圖象及性質(zhì)，來確定函數(shù)y=■x2-6x+21的頂點、對稱軸后，然后再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，再列表、描點、連線畫出函數(shù)的圖象。然后再一般化，將二次函數(shù)y=ax2+bx2+c進行配方，將函數(shù)表達式化為y=ax+■■+■，然后根據(jù)y=a（x-h）2+k的圖象及性質(zhì)，得到二次函數(shù)y=ax+■■+■的對稱軸為x=-■，頂點坐標為■，■，這一過程中，學生經(jīng)歷的數(shù)學運算是從具體到一般。

學生在這部分的學習過程中，經(jīng)歷這些有效的數(shù)學運算活動，掌握了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達式，利用配方法將二次函數(shù)表達式進行恒等變形，將學習就近區(qū)域進一步提升的基本技能、基本方法，并能由此得到二次函數(shù)相應的性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標以及y隨x的變化如何變化等。

高中數(shù)學拋物線的學習，數(shù)學運算對象是表示兩點間距離和點到線的距離的代數(shù)式，數(shù)學運算更具有一般性，是對滿足到定點和定直線距離相等的點所具有的共同特征的研究。這也符合高中學段學生的認知水平[3]。

是在根據(jù)幾何特征繪制出拋物線的基礎(chǔ)上，根據(jù)拋物線的對稱性，建立合適的平面直角坐標系：然后在平面直角坐標系內(nèi)用坐標（x，y）表示點，并代數(shù)式表示出兩點間的距離和點到直線的距離，所以高中數(shù)學的運算對象是代數(shù)式，高中數(shù)學的運算更具有一般性。利用拋物線的定義寫出方程，根據(jù)方程的特點，對方程兩邊平方，進行有理化、化簡，從而得到拋物線標準方程。利用代數(shù)的方法研究幾何元素之間的關(guān)系，M（x，y）是拋物線上任意一點，點M到準線l的距離為d，由拋物線的定義可知拋物線是點的集合? ?P=M|MF=d

MF=■+y■，d=x+■

所以 ■+y■=x+■

將上式兩邊平方并簡化，得 y2=2px（p＞0）

高中學段，運算對象是點到直線的距離、兩點間的距離，運算對象的關(guān)系是由拋物線的幾何特征來決定。運算的思路是有理化（等式兩邊平方）。求得的運算結(jié)果具有一般性。這些都是與義務教育學段所不同。

高中數(shù)學課程，拋物線是在學生具有了一定的尺規(guī)作圖能力基礎(chǔ)上，初中掌握了作線段的垂直平分線、直線的垂線的等基本尺規(guī)作圖方法，加之高中學段已經(jīng)具有繪制橢圓、雙曲線（機械作圖和利用信息技術(shù)作圖）經(jīng)歷，進一步畫出滿足到定點的距離和定直線的距離相等的點的軌跡，并且高中學段的學生通過前面的學習已經(jīng)熟練地掌握信息技術(shù)的在作圖方面的應用（根據(jù)幾何特征，利用GGB軟件繪制滿足條件的動點的軌跡）。

義務教育學段畫拋物線，是利用函數(shù)關(guān)系，通過列表、描點、連線過程畫出二次函數(shù)的圖象——拋物線，高中學段是根據(jù)拋物線的幾何特征：到定點和定直線距離相等畫出幾何圖形——拋物線。

? 四、教學設(shè)計、實施的不同

? （一）《二次函數(shù)y=ax2圖象和性質(zhì)（第2課時）》教學設(shè)計節(jié)選

類比一次函數(shù)的研究內(nèi)容和研究方法探究二次函數(shù)y=ax2圖象和性質(zhì)

問題1類比一次函數(shù)的研究內(nèi)容和研究方法，畫出二次函數(shù)y=x2的圖象，你能說說它的圖象特征和性質(zhì)嗎？

師生活動：學生用描點法畫二次函數(shù)y=x2的圖象，此時教師巡視過程中關(guān)注學生能否選取適當?shù)淖宰兞康闹担▽W生是否能均勻?qū)ΨQ取值，圖象的形狀不明時，學生是否知道通過加密點來畫圖），描點連線，正確畫出圖象。

若存在問題教師繼續(xù)追問。

追向1：你應如何取值、描點、畫圖的？

追問2：你打算從哪些角度去觀察、概括特征？

師生活動：

1.概括特征：教師引導學生嘗試從圖象的形狀、開口方向、對稱性、頂點等方面描述二次兩數(shù)y=ax2的圖象特征，教師給出拋物線的相關(guān)概念：

二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，每條拋物線都有對稱軸，拋物線與對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。頂點是拋物線的最低點或最高點。

2.從圖象上看函數(shù)隨自變量的增大如何變化。

設(shè)計意圖：教師引導學生概括觀察的角度和方法，以拋物線y=x2為觀察對象，了解拋物線的相關(guān)概念，并嘗試探究具體的二次函數(shù)y=x2的性質(zhì)。

問題2在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=■x2、y=2x2的圖象，函數(shù)y=■x2、y=2x2的圖象與函數(shù)y=x2的圖象相比，有什么共同點？有什么不同點？

師生活動：學生獨立用描點法畫出函數(shù)y=■x2、y=2x2的圖象。

追問1：這兩個函數(shù)的圖象有哪些共同點？

師生活動：類比研究二次函數(shù)y=x2的角度和方法，嘗試從圖象的開口方向、對稱軸、頂點等方面分別描述函數(shù)y=■x2、y=2x2的圖象特征。

追問2：這種共同點是由什么因素引起的？

追問3：這兩個函數(shù)圖象有哪些不同點？是由什么因素決定的？

歸納：當a＞0時，二次函數(shù)y=ax2的圖象有什么特點？

師生活動：引導學生歸納：一般地，當a＞0時，拋物線y=ax2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點，a越大，拋物線的開口越小。

設(shè)計意圖：經(jīng)歷從特珠到一般的研究過程，歸納出二次函數(shù)y=ax2的圖象特征。

后續(xù)略

? （二）《拋物線及其標準方程（人民教育出版社A版）》教學設(shè)計節(jié)選

1.創(chuàng)設(shè)問題情境

在橢圓和雙曲線學習中，我們知道了橢圓、雙曲線的定義，并用方程表示曲線，通過方程描述曲線上的點，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用代數(shù)方法對橢圓和雙曲線進行定量研究。

并且通過學習發(fā)現(xiàn)，如果動點M到定點F的距離與M到定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離之比為K，當0＜K＜1時，點M的軌跡是橢圓；當K＞1時，點M的軌跡是雙曲線。那么K=1時，即動點M到定點F的距離與M到定直線l相等時，點M的軌跡會是什么形狀？

2.拋物線概念的獲得

問題1：利用信息技術(shù)作圖，如圖1，F(xiàn)是定點，l是不經(jīng)過F點的定直線，H是直線上l任意一點，過點H作MH垂直于l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，觀察M的軌跡，在你熟悉的圖形中有與此類似的嗎？你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？

師生活動：引導學生分析問題中的幾何元素及其相互關(guān)系，并利用信息技術(shù)工具進行操作，拖動點H，觀察點M的軌跡及相關(guān)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。

追問：（1）動點M是如何獲得的？

（2）線段FM和線段MH的幾何意義分別是什么？

（3）變化的量有哪些？變化的順序如何？變化中是否存在不變的關(guān)系？

（4）當直線經(jīng)過點時，線段的垂直平分線與過的定直線的垂線是什么位置關(guān)系？

在此基礎(chǔ)上得出拋物線的概念

拋物線的定義：我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.

設(shè)計意圖：通過對問題1的探究及四個追問，引導學生發(fā)現(xiàn)確定拋物線的幾何要素，認識拋物線的幾何特征，抽象出拋物線的概念，發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

在橢圓和雙曲線學習中，我們知道了橢圓、雙曲線的定義，并根據(jù)橢圓和雙曲線的對稱性建立坐標系，得到了橢圓、雙曲線的標準方程，用方程表示曲線，通過方程描述曲線上的點，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用代數(shù)方法對橢圓和雙曲線進行定量研究。

問題2：比較橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為如何建立坐標系，可能使所求的拋物線的方程形式簡單？并求解拋物線的方程。

師生活動：觀察圖1中的拋物線形狀，教師引導學生直觀發(fā)現(xiàn)拋物線的對稱性，建立平面直角坐標系，學生自主推導拋物線方程。教師展示給學生所求的三種不同形式的拋物線方程。

（1）根據(jù)拋物線的幾何特征，以點F為原點，以經(jīng)過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，建立平面直角坐標系Oxy，如圖2所示

焦點F的坐標為：（0，0），準線l的方程為x=-p

設(shè)M（x，y）是拋物線上任意一點，點M到準線l的距離為d，則拋物線是點的集合：

P=M|MF=d? MF=■+y■，d=x+p

■+y■=x+p，

整理得x■+y■=（x+p）■? y■=（x+p）■-x■=2px+p■

（2）根據(jù)拋物線的幾何特征，以經(jīng)過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立平面直角坐標系Oxy，如圖3所示，設(shè)KF=p（p＞0），則焦點F（■，0），準線l的方程：x=-■，拋物線上任意一點M（x，y）? P=M|MF=d

MF=■）■+y■，d=x+■

■+y■=x+■，

整理得（x-■）■+y■=（x+■）■

y■=（x+■）■-（x-■）■=2px? 即：y■=2px

（3）根據(jù)拋物線的幾何特征，以經(jīng)過點F且垂直于直線l的直線為X軸，垂足為K，并使原點與K重合，建立平面直角坐標系Oxy，如圖4所示，設(shè)KF=p（p＞0），則焦點F（p，0），準線l的方程：x=0，拋物線上任意一點M（x，y）

P=M|MF=d

MF=■+y■，d=x

■+y■=x，

整理得（x-p）■+y■=x■? y■=x■-（x-p）■=2px-p■

即：y■=2px-p■

追問：1.類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，每個方程的推導過程是否滿足拋物線上的點的坐標與方程的解之間的一一對應關(guān)系？

2.三種不同形式的拋物線方程哪個更加簡單？為什么？

3.三種不同形式的拋物線方程是否有聯(lián)系？

在學生充分思考與推導的基礎(chǔ)上，對比分析三種不同形式的拋物線方程及其聯(lián)系，由學生確定y2=2px（p＞0）作為拋物線的標準方程，同時寫出焦點坐標和準線方程。

義務教育學段和高中學段拋物線知識不同：義務教育學段拋物線是作為二次函數(shù)的圖象進行學習；高中學段，拋物線是解析幾何部分的重要內(nèi)容。兩個學段由于學生的年齡、思維的發(fā)展水平的不同，這兩個學段對運算和作圖能力的要求有所不同：義務教育學段對二次函數(shù)的圖象——拋物線的學習是運算能力在先，作圖能力在后，是從數(shù)到形；高中學段，幾何圖形——拋物線的學習，作圖能力在先，畫出拋物線后，建立合適的坐標系，從而根據(jù)拋物線的幾何特征建立拋物線的標準方程，運算化簡在后，是從形到數(shù)。這些不同符合認知規(guī)律，又符合數(shù)學知識的邏輯性、連續(xù)性和系統(tǒng)性[4]。

參考文獻：

[1]曹才翰，章建躍.著數(shù)學教育心理學（第3版）[M].北京師范大學出版社，2018.，10：33，34，35.

[2]史寧中，王尚志主編.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M].高等教育出版社2018.5：128.

[3]郭玉峰，劉春艷，程國紅.著數(shù)學學習論[M].北京師范大學出版社，2015，7：150，152.

[4][美]戴爾·H申克著，何一希等譯.學習理論[M].江蘇教育出版社，2014，4：309，310.

（作者單位：中國音樂學院附屬中等音樂?？茖W校）