淺談運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想培育幾何直觀(guān)的教學(xué)策略

陳華明

【摘 要】本文以筆者自身的教學(xué)實(shí)踐為依據(jù)，淺談在日常教學(xué)中如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的手段培育學(xué)生的幾何直觀(guān)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 幾何直觀(guān) 教學(xué)策略

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常借助圖形表征加深學(xué)生對(duì)數(shù)的感知能力。幾何直觀(guān)是應(yīng)用圖和表將知識(shí)或者問(wèn)題形象化、具體化，并通過(guò)合理的思考、想象、猜想做出一些可行的結(jié)論，有助于把握問(wèn)題的本質(zhì)，有利于新知識(shí)的遞增生成。因此，在小學(xué)階段對(duì)學(xué)生幾何直觀(guān)素養(yǎng)的構(gòu)建越來(lái)越受到數(shù)學(xué)一線(xiàn)教師的重視。

一、借形賦能，感悟幾何直觀(guān)

在教學(xué)中，我們將數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的文字描述通過(guò)形象化的圖形語(yǔ)言進(jìn)行呈現(xiàn)，能夠有效地揭示問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì)，有助于梳理知識(shí)脈絡(luò)，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的特征，從而打破數(shù)學(xué)語(yǔ)言枯燥、難懂的思維定勢(shì)，有利于學(xué)生進(jìn)行觀(guān)察、比較、分析等探究活動(dòng)，變枯燥為生動(dòng)、化抽象為具體。

例如，在教學(xué)人教版三上“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，筆者在課堂上出示練習(xí)題：比較13×12與14×11的大小。學(xué)生自然而然地想到通過(guò)計(jì)算能夠?qū)崿F(xiàn)兩道算式的大小比較。如果我們?yōu)轭}目進(jìn)行賦能，對(duì)算式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)楸容^兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的大小，借助幾何圖形將兩個(gè)算式以另一種方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前：一個(gè)長(zhǎng)為13厘米、寬為12厘米的長(zhǎng)方形和一個(gè)長(zhǎng)為14厘米、寬為11厘米的長(zhǎng)方形，運(yùn)用多媒體手段將兩個(gè)圖形重疊在一起（如圖1）。此時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行觀(guān)察，生1：“我發(fā)現(xiàn)把圖形重疊后可以忽略掉相同的重合的部分13×11的面積大小，因此要比較13×12與14×11的大小，我們只要比較13×1與11×1的大小即可?！蓖ㄟ^(guò)圖形的具象化引導(dǎo)，把較為復(fù)雜、難算的算式用圖形的語(yǔ)言進(jìn)行呈現(xiàn)，不用計(jì)算，即可一目了然地比較出13×12＞14×11，而且能夠一下子比較出它們相差多少。通過(guò)此過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生感悟借助圖形解決問(wèn)題的便捷性，從而進(jìn)行幾何直觀(guān)素養(yǎng)的滲透。

二、化新為舊，孕育幾何直觀(guān)

形與數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的兩個(gè)因素，如何將二者巧妙的連接和貫通，并為教學(xué)所用，就需要執(zhí)教者合理利用。教師應(yīng)該創(chuàng)造條件，引導(dǎo)學(xué)生改變認(rèn)知方式，關(guān)聯(lián)舊知、建立新知，要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，借助形與數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容。

例如，在進(jìn)行人教版五下“通分”的教學(xué)伊始，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)情境導(dǎo)入新課：“爸爸買(mǎi)了兩塊同樣的蛋糕。爸爸吃了一塊蛋糕的[5/6]，媽媽吃了另一塊蛋糕的[2/3]，爸爸和媽媽誰(shuí)吃得多？” 基于學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”的相關(guān)內(nèi)容，已充分掌握了運(yùn)用畫(huà)圖表示分?jǐn)?shù)的方法，在教師的引導(dǎo)下，大部分學(xué)生都能運(yùn)用舊知中的方法解決新問(wèn)題。一部分學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖法成功解決了該問(wèn)題：假設(shè)蛋糕是長(zhǎng)方形的，把長(zhǎng)方形平均分成6份，其中的5份涂上陰影，表示出爸爸吃了這塊蛋糕的[5/6]，再畫(huà)媽媽吃的[2/3]，通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，那么媽媽吃的[2/3]即為6份中的4份，而爸爸吃的[56]即為6份中的5份，由此得出“爸爸吃的蛋糕比媽媽多”這個(gè)結(jié)論。這時(shí)，筆者也通過(guò)課件展示媽媽所吃蛋糕大小示意圖，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、比較后發(fā)現(xiàn)[2/3]＝[4/6]的結(jié)論，因?yàn)閇2/3]＝[46]，所以[2/3]＜[5/6]。也就是要比較兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的大小時(shí)，首先要把異分母分?jǐn)?shù)化為同分母分?jǐn)?shù)才能比較出大小，從而引出通分的概念。在此過(guò)程中，運(yùn)用直觀(guān)的圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)串聯(lián)新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促使學(xué)生領(lǐng)悟新知，初步孕育幾何直觀(guān)的模型。

三、化繁為簡(jiǎn)，構(gòu)建幾何直觀(guān)

化繁為簡(jiǎn)或者化大為小是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的解題方法，當(dāng)學(xué)生遇到一些復(fù)雜、抽象的問(wèn)題時(shí)，往往因?yàn)殄e(cuò)綜復(fù)雜、混亂不堪的思緒而無(wú)從入手。此時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生想方設(shè)法從簡(jiǎn)單直觀(guān)的知識(shí)入手，發(fā)現(xiàn)題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，再利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決復(fù)雜問(wèn)題。通過(guò)圖形的表達(dá)，可以化繁為簡(jiǎn)、以退為進(jìn)地解決問(wèn)題，從而進(jìn)行幾何直觀(guān)的素養(yǎng)構(gòu)建。

例如，在教學(xué)人教版六下“整理與復(fù)習(xí)”中的“數(shù)學(xué)思考”時(shí)，筆者先拋出問(wèn)題：一個(gè)小組10位同學(xué)進(jìn)行兩兩握手游戲，一共握了幾次手？先讓學(xué)生嘗試尋找答案，學(xué)生會(huì)利用畫(huà)圖連線(xiàn)的方法尋求解決方案，但由于數(shù)據(jù)比較大，關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，相互之間穿插頻繁，學(xué)生會(huì)有雜亂無(wú)章的感覺(jué)，產(chǎn)生畏難情緒。這時(shí)就需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序思考，由淺入深、化繁為簡(jiǎn)。首先，從2個(gè)人握手開(kāi)始考慮，將人抽象為2個(gè)點(diǎn)，連線(xiàn)畫(huà)圖后得出2個(gè)點(diǎn)只能連成1條線(xiàn)段，相當(dāng)于握了1次手；接著，研究3個(gè)人握手，也就是在原來(lái)2個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上又增加了一個(gè)點(diǎn)，通過(guò)連線(xiàn)畫(huà)圖后得出3個(gè)點(diǎn)可以連3條線(xiàn)段；再增加1個(gè)點(diǎn)，連線(xiàn)畫(huà)圖得出4個(gè)點(diǎn)可以連出6條線(xiàn)段；5個(gè)點(diǎn)可以連出10條線(xiàn)段。最后，把以上數(shù)據(jù)整理成表格，通過(guò)對(duì)表格中的數(shù)據(jù)推理可知：3個(gè)人兩兩握手1 + 2＝3（次），4個(gè)人1 + 2 + 3 ＝6（次），5個(gè)人1 + 2 + 3 + 4＝10（次）……以此類(lèi)推，10個(gè)人1 + 2 + 3 + … +? 9 ＝??45（次）。教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖連線(xiàn)、整理表格，觀(guān)察、感悟數(shù)據(jù)中蘊(yùn)藏的規(guī)律，以此解決繁難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而構(gòu)建幾何直觀(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、借圖析義，建立幾何直觀(guān)

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)常借助畫(huà)線(xiàn)段圖來(lái)尋找解決問(wèn)題的方法，幫助思維做出準(zhǔn)確判斷。它能準(zhǔn)確、清楚地表示題中蘊(yùn)藏的數(shù)量關(guān)系，簡(jiǎn)潔、形象地體現(xiàn)所要解決的問(wèn)題，是一種重要的解決問(wèn)題的輔助手段。面對(duì)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生借助線(xiàn)段圖分析問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生以形助學(xué)，嘗試畫(huà)圖，借助圖形分析數(shù)量關(guān)系，明確先求什么，再求什么。在列式解答后，讓學(xué)生再結(jié)合算式和線(xiàn)段圖整理解題思路，反思整個(gè)解題過(guò)程，感受畫(huà)圖策略的價(jià)值，經(jīng)歷借助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程，形成初步的數(shù)學(xué)模型。

例如，在教學(xué)人教版五下“分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算”時(shí)，教師出示題目：“一杯純牛奶，樂(lè)樂(lè)喝了一半后，覺(jué)得涼，就兌滿(mǎn)熱水。他又喝了一半，就出去玩了。樂(lè)樂(lè)一共喝了幾杯純牛奶？幾杯水？”教師的教學(xué)應(yīng)該基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：首先，學(xué)生的讀題能力差，遇到文字較多、邏輯交叉的題目有排斥感；其次，學(xué)生的理解基于生活化的經(jīng)驗(yàn)，在兌水的時(shí)候?qū)W生會(huì)想象成完全溶解在一起，無(wú)法分清哪些是水、哪些是奶，想象不出“水奶分離”的情況；最后，學(xué)生的思維架構(gòu)不到題目主體，通常因無(wú)從入手而選擇性放棄。教師的教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，這時(shí)，解題策略的生成就顯得相當(dāng)?shù)闹匾?。教師先讓學(xué)生理解“混合成一杯的水和奶，實(shí)際上是由半杯水和半杯奶組成的”這一解題的關(guān)鍵思路，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出兌滿(mǎn)水后喝的水和奶的線(xiàn)段圖（如圖2），尋找解題策略。通過(guò)畫(huà)直觀(guān)圖等方法解決類(lèi)似的生活化問(wèn)題，在學(xué)生解答的同時(shí)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)的模型，這樣通過(guò)幾何直觀(guān)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型就有高度。

編后記

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了小學(xué)階段核心素養(yǎng)的11個(gè)主要表現(xiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)課程教學(xué)起到指導(dǎo)性的作用。小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)在教學(xué)中對(duì)學(xué)生適時(shí)滲透核心素養(yǎng)的培育，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。本專(zhuān)輯的文章分別從量感和幾何直觀(guān)兩個(gè)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)出發(fā)，探討核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略，希望能給一線(xiàn)教師帶來(lái)啟發(fā)。