例析坐標(biāo)系與參數(shù)方程問(wèn)題中的常見(jiàn)解題策略

■陜西省寶雞市岐山縣蔡家坡高級(jí)中學(xué) 楊曉乾

坐標(biāo)系與參數(shù)方程作為選做題,由于難度不大,極易被考生選擇。本題第一問(wèn)考查內(nèi)容多為方程互化,第二問(wèn)常利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或極坐標(biāo)方程中ρ,θ的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題,內(nèi)容涉及距離、面積、弦長(zhǎng)、交點(diǎn)、軌跡等。本文例析坐標(biāo)系與參數(shù)方程問(wèn)題中的常見(jiàn)解題策略,以求幫助同學(xué)們找到“破題”入口,順利解答。

一、利用參數(shù)的幾何意義“破題”

點(diǎn)評(píng):一般地,遇到直線與曲線交于兩點(diǎn),常常是將直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線方程,得到關(guān)于t的一元二次方程,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)t的幾何意義求解,屬于常規(guī)題。當(dāng)然本題也可將直線和曲線的參數(shù)方程都化為普通方程來(lái)解決。

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程,并指出其表示何種曲線;

(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,1),求的值。

二、利用參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)“破題”

例3已知曲線C的參數(shù)方程為,以平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系。

點(diǎn)評(píng):本題第(1)問(wèn)利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)M(2cosα,sinα)是關(guān)鍵,這樣就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解;第(2)問(wèn)利用OP⊥OQ的特點(diǎn)和極徑的幾何意義,巧設(shè)點(diǎn)P,Q的極坐標(biāo),大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算。

(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)求曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)到曲線C2的距離的取值范圍。

點(diǎn)評(píng):本題中在將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)極易出錯(cuò),三種方程的互化要注意其等價(jià)性,否則就算第(2)問(wèn)巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),最后結(jié)果也是錯(cuò)誤的,這一點(diǎn)同學(xué)們要足夠重視。

三、利用極坐標(biāo)的幾何意義“破題”

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為曲線C的方程為x2+y2+8y+7=0。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系。

(1)求直線l及曲線C的極坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)直線l與曲線C相交于M,N兩點(diǎn),滿足||OM|-|ON||=2 5,求直線l的斜率。

點(diǎn)評(píng):在求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí),大多數(shù)情況下是將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程后求解,或者直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的幾何意義求解。本題只要準(zhǔn)確理解極坐標(biāo)中極徑和極角的含義,就能迎刃而解。

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;

點(diǎn)評(píng):本題具有一定的綜合性,不但考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的正確轉(zhuǎn)化,而且考查了極坐標(biāo)中點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)法,以及極徑、極角意義的靈活應(yīng)用。

總之,在復(fù)習(xí)過(guò)程中,要正確理解核心概念,熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能,注重思想和方法的總結(jié),強(qiáng)化參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,極坐標(biāo)中極徑、極角的探究應(yīng)用,學(xué)會(huì)與圓錐曲線、三角函數(shù)等知識(shí)的有機(jī)整合,增強(qiáng)解決坐標(biāo)系與參數(shù)方程問(wèn)題的信心和能力,從而達(dá)到快速“破題”的效果。