不等式選講中的易錯(cuò)題剖析

■江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 周恩超

不等式選講主要以中檔題為主,主要考查對(duì)象為一元函數(shù)與多元函數(shù),一元函數(shù)主要是雙絕對(duì)值函數(shù)和單絕對(duì)值函數(shù),以考查雙絕對(duì)值函數(shù)為主,多元函數(shù)主要是求最值或證明不等式。第一問(wèn)主要是解雙絕對(duì)值不等式或畫(huà)雙絕對(duì)值函數(shù)的圖像,第二問(wèn)則為雙絕對(duì)值不等式恒成立、雙絕對(duì)值不等式能成立或不等式證明等。重點(diǎn)考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。本文針對(duì)在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容中出現(xiàn)的易錯(cuò)題進(jìn)行錯(cuò)因分析,希望能更好地幫助同學(xué)們學(xué)好這部分知識(shí)。

易錯(cuò)點(diǎn)一、不能正確使用零點(diǎn)分段法解不等式,絕對(duì)值不等式求解技能掌握不到位

例1(2023 年四川省南充高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知m＞0。

(1)若m=2,求不等式f（x）＞2 的解集;

易錯(cuò)分析：第(1)問(wèn)不能正確去掉絕對(duì)值或者運(yùn)算能力不過(guò)關(guān),缺少對(duì)細(xì)節(jié)的把握;第(2)問(wèn)不會(huì)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù),結(jié)合圖像法討論單調(diào)性,利用數(shù)形結(jié)合的思想求解。

當(dāng)x＜-1時(shí),g（x）單調(diào)遞增;當(dāng)-1≤x≤m時(shí),g（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x＞m時(shí),g（x）單調(diào)遞減。所以當(dāng)x=m時(shí),g（x）取得最大值,即g（x）max=g（m）=m+1。

所以m的取值范圍為（0,8]。

總結(jié)：對(duì)于含絕對(duì)值的不等式的求解一般采用零點(diǎn)分段法,其解題步驟大致為:①求零點(diǎn);②分區(qū)間去掉絕對(duì)值;③分別解各區(qū)間上所得不等式;④取所得結(jié)果的并集。注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值。也可以采用圖像法,通過(guò)作出函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的思想求解。

易錯(cuò)點(diǎn)二、不能正確分辨恒成立與有解問(wèn)題

(1)求不等式f（x）＞4的解集;

(2)若f（x）≥x2+m的解集非空,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

易錯(cuò)分析：解集非空即不等式有解,并不需要m≤[f（x）-x2]min,只需要m≤[f（x）-x2]max,沒(méi)有弄清楚有解問(wèn)題和恒成立問(wèn)題的區(qū)別。

正解：(1)不等式f(x)＞4 的解集為（-∞,0）∪（4,+∞）。(過(guò)程略)

(2)因?yàn)閒（x）≥x2+m的解集非空,所以m≤f（x）-x2的解集非空,即m≤[f（x）-x2]max。

當(dāng)x≤1時(shí),g（x）=-x2-2x+4,對(duì)稱軸為x=-1,開(kāi)口向下,所以g（x）≤g（-1）=5;

當(dāng)1＜x＜3時(shí),g（x）=-x2+2,對(duì)稱軸為x=0,開(kāi)口向下,所以g（x）＜g（1）=1;

當(dāng)x＞3時(shí),g（x）=-x2+2x-4,對(duì)稱軸為x=1,開(kāi)口向下,所以g（x）≤g（3）=-7。

綜上可得,g（x）max=5,即m≤5。

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞,5]。

總結(jié)：恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題的基本類型及轉(zhuǎn)化方法:(1)恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a＞f（x）在D上恒成立?a＞f（x）的解集包含D??x∈D都有a＞f（x）?a＞f（x）max;(2)能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a＞f（x）在D上能成立??x∈D有a＞f（x）?a＞f（x）min;(3)恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a＞f（x）在D上恰成立?a＞f（x）的解集為D?另一轉(zhuǎn)化方法為:若x∈D,f（x）≥a在D上恰成立?f（x）min=a。

易錯(cuò)點(diǎn)三、絕對(duì)值三角不等式的使用方向或系數(shù)配湊不合理

例3(中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2022～2023學(xué)高三上學(xué)期11月測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)。

易錯(cuò)分析：絕對(duì)值三角不等式的使用方向或配湊不合理,導(dǎo)致題目無(wú)法正確解答。

總結(jié)：對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)求最值問(wèn)題,應(yīng)優(yōu)先考慮使用絕對(duì)值三角不等式,但使用絕對(duì)值三角不等式時(shí),首先,要有目標(biāo)意識(shí),在配湊時(shí)要結(jié)合目標(biāo)把不等式中的未知數(shù)消掉;其次,要注意不等號(hào)的方向和等號(hào)成立的條件。

易錯(cuò)點(diǎn)四、利用基本不等式或柯西不等式證明時(shí),不能根據(jù)不等式的特點(diǎn)合理配湊

例4(2023 年江西省景德鎮(zhèn)模擬預(yù)測(cè),2022 年貴州省貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí))函數(shù)

(1)求函數(shù)f（x）的最小值;

(2)若(1)中函數(shù)>f（x）的最小值為k,且實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+2b+4c=k,求證:a2+

易錯(cuò)分析：不理解柯西不等式的使用條件,不能根據(jù)所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行合理配湊。

正解：(1)當(dāng)x≥1 時(shí),f（x）=4x-1,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),所以此時(shí)函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=3;

總結(jié)：利用基本不等式或柯西不等式證明不等式時(shí),可以按照以下流程進(jìn)行處理:審題(觀察式子結(jié)構(gòu))→結(jié)構(gòu)分析(多元、和為定值)→選擇模型(均值、柯西)→對(duì)比結(jié)構(gòu)(確定變形方向)→解答問(wèn)題。

易錯(cuò)點(diǎn)五、不等式的證明方法選擇不當(dāng)

例5(2022年云南省昆明一中高三)已知正數(shù)a,b,c滿足等式a+b+c=1。求證:

易錯(cuò)分析：不能正確使用不等式的證明方法:綜合法和分析法。

總結(jié)：對(duì)于不等式的證明問(wèn)題常用比較法、綜合法和分析法。(1)一般地,對(duì)于含根號(hào)的不等式和含絕對(duì)值的不等式的證明,“平方法”(即不等號(hào)兩邊平方)是一個(gè)非常有效的方法。(2)如果所證命題是否定性命題,或唯一性命題,或以“至少”“至多”等方式給出,則考慮用反證法。(3)能轉(zhuǎn)化為比較大小的可以用比較法。(4)能利用基本不等式或柯西不等式證明的多用綜合法與分析法。