合理構(gòu)建坐標(biāo)系，方程間轉(zhuǎn)化應(yīng)用
——坐標(biāo)系與參數(shù)方程

■湖北省恩施土家族苗族自治州高級(jí)中學(xué) 劉秀軍

坐標(biāo)系與參數(shù)方程在高考中主要以解答題的形式加以單獨(dú)考查,此部分的高考考試大綱要求是:了解坐標(biāo)系的建立方法和原則,體會(huì)在不同的坐標(biāo)系中用有序?qū)崝?shù)組表示點(diǎn)的位置,理解方程與圖形、方程與方程的關(guān)系,掌握簡(jiǎn)單的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的互化,會(huì)從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,并建立模型求解質(zhì)點(diǎn)的參數(shù)(或極坐標(biāo))方程及解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題。

一、極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用問(wèn)題

極坐標(biāo)方程問(wèn)題包括:理解極坐標(biāo)系中相關(guān)元素的概念與幾何意義,極坐標(biāo)方程的基本概念與內(nèi)涵,極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用等。

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C1:x+y=1與曲線C2:,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系。

(1)寫(xiě)出曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程;

(2)在極坐標(biāo)系中,已知射線l:θ=α(ρ＞,若射線l與曲線C1,C2的公共點(diǎn)分別為A,B,求|OA|·|OB|的最大值。

分析：(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,在參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換與應(yīng)用;(2)利用極徑的三角函數(shù)的變換和正切函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果。

解：(1)已知曲線C1:x+y=1,將x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入得曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ-1=0。

點(diǎn)評(píng):解決極坐標(biāo)方程問(wèn)題的基本思路是:①將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化,得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)或極坐標(biāo),以及相互之間的關(guān)系等;②將曲線的極坐標(biāo)方程進(jìn)行合理聯(lián)立,結(jié)合極徑的幾何意義及限制條件求出極坐標(biāo),從而巧妙得解。此類極坐標(biāo)方程問(wèn)題重點(diǎn)考查方程之間的轉(zhuǎn)化,以及同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力等。

二、參數(shù)方程及其應(yīng)用問(wèn)題

參數(shù)方程問(wèn)題包括:理解參數(shù)方程的基本概念與參數(shù)的幾何意義等,能熟練掌握相應(yīng)的直線、圓、圓錐曲線等所對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程,以及參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化,并會(huì)加以簡(jiǎn)單應(yīng)用。

例2(創(chuàng)新題)在極坐標(biāo)系中,圓C:ρ=4cosθ。以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,-3 3),且傾斜角為α。

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程;

(2)已知直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),滿足A為MB的中點(diǎn),求α。

分析：(1)根據(jù)圓C的極坐標(biāo)方程,結(jié)合等價(jià)變換,利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化公式得以確定圓C的直角坐標(biāo)方程;直接利用題設(shè)條件確定相應(yīng)的直線的參數(shù)方程。(2)設(shè)出A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù),將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,構(gòu)建關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理及參數(shù)的幾何意義,通過(guò)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化得以確定對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合直線傾斜角的取值范圍來(lái)確定與求解對(duì)應(yīng)角即可。

解：(1)由 圓C:ρ=4cosθ,可 得ρ2=4ρcosθ,結(jié)合公式ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,可得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,故圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4。

點(diǎn)評(píng):參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的等價(jià)轉(zhuǎn)化是比較常見(jiàn)的考點(diǎn),而參數(shù)方程中,對(duì)應(yīng)參數(shù)的幾何意義,也是創(chuàng)設(shè)試題考查的一個(gè)層面,熟練掌握并利用參數(shù)的幾何意義,以及對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍與限制條件等,可以更加有效快捷地處理一些相關(guān)的參數(shù)方程問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

三、簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題

通過(guò)對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程內(nèi)容的深入理解與掌握,體會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,進(jìn)而培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和能力,體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值,提高應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力。

(1)求圓C1的極坐標(biāo)方程及曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

分析：(1)直接利用題設(shè)條件,以及不同方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式,將參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換;(2)利用三角形的面積公式、三角函數(shù)的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用等,合理交匯與融合,結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理求出結(jié)果。

解：(1)圓C1的普通方程為(x-2)2+y2=4,展開(kāi)得x2+y2-4x=0,將x=ρcosθ,x2+y2=ρ2,代入可得ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ,所以圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ。

點(diǎn)評(píng):此類涉及坐標(biāo)系與參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題,經(jīng)常在極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化與應(yīng)用的基礎(chǔ)上,合理聯(lián)系函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式等其他相關(guān)知識(shí),實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)間的交匯融合,以此為背景來(lái)解決一些與之相關(guān)的簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題,全面考查同學(xué)們解決問(wèn)題的能力。

坐標(biāo)系與參數(shù)方程部分的考查是以解答題的形式出現(xiàn),以極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化與應(yīng)用為基礎(chǔ),融入平面解析幾何、函數(shù)、方程等其他相關(guān)的知識(shí),難度中等,重點(diǎn)考查代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理等核心素養(yǎng),以及函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想等。