非馬爾科夫環(huán)境中海森堡XYZ自旋鏈的隱形傳態(tài)

唐詩生, 艾合買提·阿不力孜

(1. 新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830054; 2. 江蘇省海頭高級中學(xué), 江蘇 連云港 222111)

1 研究背景

量子通信是將量子力學(xué)基本原理融入到信息科學(xué)中產(chǎn)生的一門新興學(xué)科.該學(xué)科主要包括量子隱形傳態(tài)、密集編碼、量子密鑰分發(fā)等[1-2],其中量子隱形傳態(tài)是量子信息領(lǐng)域最引人注目的研究課題之一[3-4].量子隱形傳態(tài)是量子力學(xué)中特有的一種現(xiàn)象,現(xiàn)已發(fā)展成為一種重要的量子通信技術(shù).1993年,Bennett等[5]首次提出量子隱形傳態(tài)方案.量子隱形傳態(tài)是利用量子糾纏原理和經(jīng)典通信,將未知量子態(tài)從發(fā)送方傳輸?shù)浇邮辗降囊环N傳輸方式,在遠(yuǎn)距離的傳輸過程中只傳輸物理系統(tǒng)的有關(guān)信息而不傳輸物理系統(tǒng)本身[6].具體為:Alice和Bob在隱形傳態(tài)前制備好一對EPR粒子并以它作為量子信道;Alice把自己手中的量子位與待傳輸?shù)牧孔游挥肂ell基進(jìn)行聯(lián)合測量,測量后將測量結(jié)果使用經(jīng)典信道通知Bob;Bob根據(jù)Alice的測量結(jié)果,在EPR對中屬于Bob的這個粒子選擇合適的Pauli算子進(jìn)行運(yùn)算,從而恢復(fù)出Alice傳輸未知量子位的狀態(tài).隱形傳態(tài)已引起了很多研究者的興趣,例如:Cao等[7]研究了10量子位量子隱形傳態(tài)的最優(yōu)方案;Verma[8]研究了多量子位雙向控制量子隱形傳態(tài),發(fā)現(xiàn)了這個方案更通用且操作復(fù)雜度較低;Jiang等[9]研究了帶記憶噪聲信道中未知單量子態(tài)控制的量子隱形傳態(tài),發(fā)現(xiàn)對于三翻轉(zhuǎn)和去極化噪聲,無論噪聲參數(shù)如何,記憶都會提高平均保真度;王娜等[10]研究了非最大糾纏態(tài)的受控量子隱形傳態(tài),發(fā)現(xiàn)相對于GHZ態(tài)隱形傳態(tài)在可控性和安全性上都有優(yōu)勢,同時也在保證成功率的情況下減少了一定的測量過程;劉芷儀等[11]研究了高維不對稱受控隱形傳態(tài)的方案,發(fā)現(xiàn)他們提出的方案在物理上容易實(shí)現(xiàn).

考慮到實(shí)際存在的任何物理系統(tǒng)都不可能做到完全封閉,因此都不可避免地受到環(huán)境的影響.由于環(huán)境給量子系統(tǒng)帶來了噪聲,會破壞系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)特性,所以研究開放性量子系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)隨時間的演化動力學(xué)就顯得非常有意義.根據(jù)開放系統(tǒng)的理論知識,由環(huán)境對系統(tǒng)的影響程度,可把量子系統(tǒng)所處的環(huán)境劃分為無記憶效應(yīng)的馬爾科夫環(huán)境和有記憶效應(yīng)的非馬爾科夫環(huán)境[12].由于馬爾科夫環(huán)境沒有環(huán)境記憶效應(yīng),所以量子系統(tǒng)中的信息和能量只能單一地從系統(tǒng)流到環(huán)境,而不能由環(huán)境反過來影響系統(tǒng);非馬爾科夫環(huán)境具有環(huán)境記憶效應(yīng),即系統(tǒng)與環(huán)境之間具有信息、能量[13]等的交換,因此系統(tǒng)的歷史狀態(tài)影響著系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài).

1998年,Diosi等[14]系統(tǒng)地論證了非馬爾科夫量子態(tài)擴(kuò)散方法,并采用真實(shí)存在的物理系統(tǒng)成功地模擬了量子關(guān)聯(lián)的非馬爾科夫動力學(xué)演化;Jing等[15]研究了存在2種噪聲情況時,量子隱形傳態(tài)的時間演化;Yu[16]研究了費(fèi)米庫的量子態(tài)擴(kuò)散,成功地寫出了系統(tǒng)在費(fèi)米庫中的非馬爾科夫主方程;Shu等[17]研究了非馬爾科夫量子態(tài)擴(kuò)散對三能級系統(tǒng)的動力學(xué)控制,發(fā)現(xiàn)對三能級系統(tǒng)的控制效果取決于環(huán)境記憶時間;迪麗達(dá)爾·海依提江等[18]研究了非馬爾科夫環(huán)境對海森堡XXZ自旋鏈模型中量子隱形傳態(tài)的影響,發(fā)現(xiàn)非馬爾科夫環(huán)境的記憶效應(yīng)可有效地提高平均保真度;Islam等[19]研究了在非馬爾科夫近似下混合噪聲中優(yōu)化系統(tǒng)的量子隱形傳態(tài)和密集編碼;阿拉帕提·阿不力米提等[20]研究了非馬爾科夫玻色庫對單個三能級原子量子隱形傳態(tài)的影響,發(fā)現(xiàn)環(huán)境的非馬爾科夫特性強(qiáng)時,三能級原子中量子隱形傳態(tài)保真度擁有較長的弛豫時間.本文主要討論在非馬爾可夫環(huán)境中海森堡XYZ模型的量子隱形傳態(tài),通過非馬爾科夫量子態(tài)擴(kuò)散方法計算出系統(tǒng)的保真度,從而精確地模擬出系統(tǒng)保真度的演化情況.

2 模型與方法

Htot=Hsys+Henv+Hint,

(1)

其中

Bcos(ωt)(σZ1+σZ2)+DZ(σx1σy2-σy1σz2),

(2)

(3)

(4)

L=κ

Lindblad算符中的κA、κB分別描述2個不同自旋耦合強(qiáng)度的常數(shù),在文中取κA=κB=1.

在相互作用繪景中,自旋系統(tǒng)的隨機(jī)薛定諤方程[23]如下式所示

(5)

其中,α(t,s)通常描述為環(huán)境關(guān)聯(lián)函數(shù),且定義為

M[zt]=M[ztzs]=0, M[z*tzs]=α(t,s).

在非馬爾科夫環(huán)境下一階噪聲可以忽略.量子軌跡|ψt(z*)〉的系綜平均密度算子[24]為

ρ(t)=M[|ψt(z*)〉〈ψt(z*)|] =

(6)

在非馬爾科夫環(huán)境的系統(tǒng)量子態(tài)演化精確方程(5)中,明顯可以發(fā)現(xiàn)方程包含一個時間非局域項(xiàng).正是時間非局域部分的存在,導(dǎo)致了方程的積分過程非常的困難甚至不可實(shí)現(xiàn).現(xiàn)將方程(5)中對時間有依賴的部分用操作符O(t,s,z*)[25]來替代,有下式

(7)

由一致性條件得

(8)

從一致性條件中就能夠得到算子O(t,s,z*)的時間演化方程[26]

(9)

式中

然而O算符的運(yùn)動方程必須要有初始條件才能求解,在這里初始條件由

O(t,t,z*)=L

給出.把O操作算符按以下形式進(jìn)行擴(kuò)展,并忽略高階項(xiàng)[27],有

O(t,s,z*)=f1(t,s)O1+f2(t,s)O2+

f3(t,s)O3+f4(t,s)O4+f5(t,s)O5+

f6(t,s)O6+f7(t,s)O7+f8(t,s)O8,

(10)

其中:

O1=σA-,O2=σB-,

O3=σAzσB-,O4=σA-σBz,

O5=σAzσB+,O6=σA+σBz,

fi(i=1,2,…,8)是一些隨時間改變而改變的系數(shù).用O算子的展開式(10)代入方程(9)中,有關(guān)O算符系數(shù)的偏微分方程就能夠準(zhǔn)確地得到

F2f4+F3f4+F4f3+F4f2+F2f2+F3f3+2iDzf4,

F2f1+F3f1+F4f2+F4f3+F2f3+F3f2+2iDzf1,

蔡飛等[12-14]發(fā)現(xiàn)，在缺氧條件下，血府逐瘀湯含藥血清可以增加人微血管內(nèi)皮株（HMEC-1）細(xì)胞活性，增加內(nèi)皮細(xì)胞遷移、黏附和血管腔形成能力。在非缺氧條件下，血府逐瘀湯含藥血清可以促進(jìn)血管數(shù)量的增加。同時不同濃度含藥血清均可影響堿性成纖維細(xì)胞生長因子（bFGF）的轉(zhuǎn)錄水平和濃度，通過對內(nèi)皮細(xì)胞的多環(huán)節(jié)干預(yù)調(diào)節(jié)，促進(jìn)血管新生。研究發(fā)現(xiàn)不同濃度含藥血清可以下調(diào)EphB4和EphrinB2基因表達(dá)，其促血管新生機(jī)制與EphB4/EphrinB2密切相關(guān)。

F1f4+F4f1-F1f2+F3f4+F3f1+F4f2-2iDzf2,

F4f8-F4f5+F5f1-F8f1+F1f7-F2f5-

F3f8-F4f7+F6f1-F7f1+2iDzf7,

F1f6+F2f8-F3f8-F4f7+F5f2-F8f2-

F3f6-F3f7+F6f2-F7f2-2iDzf8,

F1f7+F2f5-F3f5+F4f6-F5f3+F8f3-

F3f7+F3f6-F6f3+F7f3-2iDzf5,

F4f5-F4f8-F5f4+F8f4+F1f6-F2f8-

F3f5-F4f6-F6f4+F7f4+2iDzf6.

上式中

Fds, i=1,2,…,8.

現(xiàn)在代入系數(shù)fi的初始條件,如下所示:

f1(t,t=s)=1,f2(t,t=s)=1,

f3(t,t=s)=0,f4(t,t=s)=0,

f5(t,t=s)=0,f6(t,t=s)=0,

f7(t,t=s)=0,f8(t,t=s)=0.

兩比特海森堡XYZ系統(tǒng)中的量子態(tài)隨時間演化的過程能夠通過上述方程進(jìn)行精確的數(shù)值模擬,量子態(tài)擴(kuò)散方程(5)就能夠簡潔表示為如下時間的局域方程

(11)

其中

其中,γ為環(huán)境噪聲關(guān)聯(lián)系數(shù),其取值大小能夠用來區(qū)分系統(tǒng)處于馬爾科夫環(huán)境還是非馬爾科夫環(huán)境中.實(shí)際中,可通過控制儲存的記憶效應(yīng)來改變參數(shù)γ的取值大小,從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)處于非馬爾可夫環(huán)境或馬爾可夫環(huán)境中:γ>2時系統(tǒng)非常地接近馬爾科夫環(huán)境,特別是在γ→∞時α(t,s)→δ(t-s),非常明顯地發(fā)現(xiàn)此時系統(tǒng)處于馬爾可夫環(huán)境;反之,γ<2時通?？梢暈橄到y(tǒng)接近非馬爾科夫環(huán)境.將方程(11)代入方程(6),就能夠得到量子態(tài)擴(kuò)散非馬爾科夫主方程[28]

[L,ρ

(12)

由方程(12)就能夠得到隨時間演化的系統(tǒng)約化密度矩陣.

3 標(biāo)準(zhǔn)量子隱形傳態(tài)協(xié)議

在標(biāo)準(zhǔn)量子隱形傳態(tài)協(xié)議[18]中,采用最大糾纏態(tài)作為量子信道.通常是4個Bell態(tài)之一,4個Bell態(tài)是

|ψ0,3

|ψ1,2

本文選擇的信道是最大糾纏態(tài)

|ψ

用任意未知的單粒子純態(tài)作為被傳輸?shù)男畔?它在Bolch球上用矢量表示為

其中,0≤θ≤π,0≤φ≤2π.發(fā)生隱形傳態(tài)后總輸出態(tài)為

(13)

其中,ρt代表在t時刻系統(tǒng)的約化密度矩陣,即通過量子態(tài)擴(kuò)散方法計算出來的方程(12);ρin為輸入態(tài)也即傳送的態(tài)

ρin=|φ〉in〈φ|.

方程(12)代入方程(13)可計算出輸出態(tài)ρmout.經(jīng)過隱形傳態(tài)后的量子態(tài)和剛開始外界輸入的量子態(tài)的相似程度可用保真度[29]進(jìn)行衡量,因而可確定隱形傳態(tài)中的傳輸質(zhì)量.保真度的定義為

F=in〈φ|ρmout|φ〉in.

(14)

由于在量子隱形傳態(tài)中事先輸入的量子態(tài)是未知的,所以應(yīng)當(dāng)考慮所有可能出現(xiàn)的輸出態(tài)的保真度.因此,采用平均保真度[30]來度量量子隱形傳態(tài)的保真度就非常合適,它的表達(dá)式為

(15)

4 數(shù)值模擬結(jié)果

利用非馬爾科夫環(huán)境量子態(tài)擴(kuò)散方法獲得系統(tǒng)的約化密度矩陣,接著把隨時間演化的密度矩陣(12)式代入隱形傳態(tài)平均保真度(15)式中,經(jīng)過數(shù)值模擬、計算、分析系統(tǒng)平均保真度的演化過程.具體討論了環(huán)境關(guān)聯(lián)系數(shù)、海森堡自旋系統(tǒng)中兩比特間的自旋耦合系數(shù)、時變磁場、Dzyaloshinski-Moriya相互作用參數(shù)DZ等對平均保真度的影響.

圖1描繪了在不同的環(huán)境關(guān)聯(lián)系數(shù)γ下隱形傳態(tài)平均保真度的演化情況.γ取不同的值,其他參數(shù)選取為J=2,JZ=0.1,β=0,B=0.3,ω=0.6,DZ=0.由圖1可知,選擇不同的環(huán)境關(guān)聯(lián)系數(shù)γ對平均保真度的演化有著重要的影響.當(dāng)γ=2時,系統(tǒng)處于馬爾科夫環(huán)境中,在隨時間演化的過程中系統(tǒng)擁有的平均保真度最小;當(dāng)γ=0.3時,系統(tǒng)處于較溫和的非馬爾科夫環(huán)境,在隨時間演化的過程中系統(tǒng)擁有的平均保真度較大,此時系統(tǒng)擁有的魯棒性比系統(tǒng)處于馬爾科夫環(huán)境時多;當(dāng)γ=0.1時,系統(tǒng)處于強(qiáng)烈的非馬爾科夫環(huán)境中,演化曲線顯示出強(qiáng)烈的非馬爾科夫性震蕩且平均保真度最大.這種現(xiàn)象是因?yàn)榱魅氕h(huán)境中的信息與能量由于環(huán)境具有記憶效應(yīng)而返回系統(tǒng),使系統(tǒng)恢復(fù)到原來的狀態(tài),因此非常明顯地增加了系統(tǒng)的保真度,使系統(tǒng)能夠獲得更多的魯棒性.經(jīng)研究表明:以最大糾纏態(tài)

圖1 在不同環(huán)境關(guān)聯(lián)系數(shù)γ下平均保真度的時間演化

|ψ

作為初始態(tài)時,在其他參量處于適中的情況下,γ取值越小,在演化過程中系統(tǒng)擁有的平均保真度越大,表明非馬爾科夫特性能夠增加系統(tǒng)的平均保真度.

圖2描繪了在不同自旋耦合系數(shù)J下平均保真度的演化動力學(xué),參數(shù)J取不同的值,其他參數(shù)選取為JZ=0.1,β=0,B=0.3,ω=0.6,γ=0.1,DZ=0.由圖2可知,整體而言利用海森堡系統(tǒng)進(jìn)行量子態(tài)傳送時平均保真度都比較高.J從0.3增加到2.0時,系統(tǒng)失真率逐漸減小且振蕩幅度變小、振蕩周期增加.這表明自旋耦合系數(shù)J能夠保護(hù)隱形傳態(tài).

圖2 在不同的自旋耦合系數(shù)J下平均保真度的時間演化

圖3描繪出在不同自旋耦合系數(shù)JZ下平均保真度的演化動力學(xué),JZ取不同的值,其他參數(shù)選取為J=2,β=0,B=0.3,ω=0.6,γ=0.1,DZ=0.由圖3可知:當(dāng)JZ=0時,利用海森堡系統(tǒng)進(jìn)行隱形傳態(tài)時輸入態(tài)與輸出態(tài)的變化最小;當(dāng)JZ逐漸增大時,輸出態(tài)的變化逐漸增加,系統(tǒng)的平均保真度逐漸下降.因此,要使系統(tǒng)獲得較高的保真度就必須選擇較小的JZ.

圖4描繪了XY面上在不同各向異性參數(shù)β下平均保真度的演化動力學(xué),β取不同的值,其他參數(shù)選取為J=2,JZ=0.1,B=0.3,ω=0.6,γ=0.1,DZ=0.由圖4可知,當(dāng)γ=0.1時,也就是在強(qiáng)烈的非馬爾科夫環(huán)境下,當(dāng)β=0時,利用海森堡系統(tǒng)進(jìn)行隱形傳態(tài)時輸出態(tài)的失真率最低;當(dāng)β增加時輸出態(tài)的失真率變大,平均保真度下降.這意味著要使系統(tǒng)獲得較高的保真度就必須選擇較小的β.

圖4 XY面上在不同各向異性參數(shù)β作用下平均保真度的時間演化

圖5描繪了不同磁場強(qiáng)度B下平均保真度的演化動力學(xué),參數(shù)B取不同的值,其他參數(shù)選取為J=1,JZ=0.1,β=0,ω=0.6,γ=0.1,DZ=0.由圖5可知,當(dāng)時變磁場強(qiáng)度B增加時,利用海森堡系統(tǒng)進(jìn)行隱形傳態(tài)過程中輸出態(tài)的失真率變小.這表明時變磁場強(qiáng)度B能夠保護(hù)隱形傳態(tài),使系統(tǒng)獲得較高的保真度和具有更大的魯棒性.

圖5 在不同的時變磁場強(qiáng)度B下平均保真度的時間演化

圖6描繪了處于不同Dzyaloshinski-Moriya相互作用參數(shù)DZ下,平均保真度的演化動力學(xué),DZ取不同的值,其他參數(shù)選取為J=1,JZ=0.1,β=0,B=0.3,ω=0.6,γ=0.1.由圖6可知,在非馬爾科夫環(huán)境下,Dzyaloshinski-Moriya相互作用參數(shù)DZ=0時,利用海森堡系統(tǒng)進(jìn)行隱形傳態(tài)的平均保真度最大,因此輸出態(tài)與輸入態(tài)就非常的相似.當(dāng)參數(shù)DZ增加時,平均保真度有所下降.因此,要使系統(tǒng)獲得較高的保真度就必須選擇較小的參數(shù)DZ.

圖6 在不同的Dzyaloshinski-Moriya相互作用參數(shù)DZ下平均保真度的時間演化

5 結(jié)論

本文利用文獻(xiàn)[14]提出的非馬爾科夫量子態(tài)擴(kuò)散方法,通過數(shù)值計算模擬了海森堡XYZ系統(tǒng)的隱形傳態(tài).以最大糾纏態(tài)

作為量子信道,詳細(xì)討論了不同的環(huán)境關(guān)聯(lián)系數(shù)、自旋耦合系數(shù)、時變磁場強(qiáng)度以及Dzyaloshinski-Moria相互作用參數(shù)DZ對于平均保真度的影響作用.經(jīng)過研究表明:環(huán)境關(guān)聯(lián)系數(shù)取值越小,也就是非馬爾科夫特性越強(qiáng)時,能夠非常顯著地提高系統(tǒng)的平均保真度,從而體現(xiàn)出了非馬爾科夫環(huán)境的優(yōu)越性,這主要得益于非馬爾科夫環(huán)境的記憶效應(yīng);自旋耦合系數(shù)J越大時,能夠非常顯著地提高系統(tǒng)的平均保真度;時變磁場強(qiáng)度B越大時,也能夠顯著地提高平均保真度;此外,其他參數(shù)的選取在一定程度上對平均保真度也有影響.綜上所述,能夠通過合理地組合各種參數(shù),在海森堡XYZ系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)較高的平均保真度,達(dá)到完美的量子態(tài)傳送.