含臨界指數(shù)的多重奇異擬線性橢圓系統(tǒng)正解的存在性

杜 剛

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 喀什 844007)

本文研究下述含臨界指數(shù)的多重奇異擬線性橢圓系統(tǒng)

正解的存在性,其中N≥3,Ω是RN中一有光滑邊界的有界區(qū)域,λ,η,δ>0,

Δpu=-div(|▽u|p-2▽u),

α>1,β>1,α+β>p,α+β=p*.

近年來,含臨界指數(shù)的奇異擬線性橢圓系統(tǒng)一直受到人們的關(guān)注[1-6].其中:文獻(xiàn)[1-3]利用變分方法和分析技巧,研究了含多個(gè)奇異點(diǎn)和臨界指標(biāo)的半線性橢圓系統(tǒng)的正解的存在性;文獻(xiàn)[4]利用Nehari流形得到系統(tǒng)

多解的存在性;文獻(xiàn)[5-6]利用變分方法和集中緊原理,得到含臨界指數(shù)的p-Laplacen奇異擬線性橢圓系統(tǒng)解的存在性.對(duì)于含臨界指數(shù)的多重奇異p-Laplacen系統(tǒng)解的存在性的研究目前結(jié)果很少,本文將討論含有Hardy奇異項(xiàng)和強(qiáng)弱耦合項(xiàng)的p-Laplacen系統(tǒng)正解的存在性.

解決問題(1)的主要困難在2個(gè)方面:一是含有Hardy奇異項(xiàng)和Sobolev臨界指數(shù);二是強(qiáng)耦合項(xiàng)|u|α-2|v|βu、|u|α|v|β-2v與弱耦合項(xiàng)|u|p*-2u、|v|p*-2v相互作用,從而使得系統(tǒng)變得更為復(fù)雜且泛函不滿足(PS)c條件.本文主要是通過應(yīng)用Lions集中緊原理和山路引理,解決了上述問題,得到了在一定條件下此類擬線性橢圓系統(tǒng)正解的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)及主要引理

‖(u,v)‖pW=‖u‖p+‖v‖p.

由Young不等式,可定義最佳常數(shù)

Aμi=

Aμi在RN的達(dá)到函數(shù)是

Vξiμi,ε=ε

其中

φ(x)=1, |x|≤R;φ(x)=0, |x|>R.

由文獻(xiàn)[7]有如下估計(jì)

(Aμi)

Aη,λ,σ(μi)=

(2)

(3)

A

(4)

則泛函J滿足(PS)c條件.

證明設(shè){(un,vn)}?W,滿足J(un,vn)→c

(un,v在W中,

(un,v在Lp(Ω,|x-ξi|-p)×

Lp(Ω,|x-ξi|-p)中,

(un,v在Lp*(Ω)×Lp*(Ω)中,

|?un|p+|?vn|?u|p+

|?v|

λp|un|α|vn|β+η|un|p*+δ|vn|

δ|v|

由Sobolev不等式,有

Aη,λ,σ(μ

Aη,λ,σ(μ

(5)

δ|vn|p*)φj(x)dx],

其中

δ|vn|p*)φj(x)dx)=

δ|v|p*)φ

所以

再由Sobolev不等式

可得

或

φi(x)=1,x∈B(ξi,ε),

φi(x)=0,x∈B(ξi,2ε)c

δ|vn|p*)φi(x)dx)=

δ|v|p*)φ

所以

(6)

由(5)和(6)式可得

Aη,λ,σ(μ

所以

或

另一方面

δ|vn|p*)dx=

δ|v|

A

(un,vn)→(u,v).

為進(jìn)一步研究Hardy-Sobolev常數(shù)Aη,λ,σ(μi),在引理1.1條件H1滿足下,設(shè)

f

fη,λ,σ(τ

其中τmin>0是fη,λ,σ(τ)的極小值點(diǎn).

引理 1.2設(shè)條件H1滿足,則:

(i)Aη,λ,σ(μi)=fη,λ,σ(τmin);

證明類似于文獻(xiàn)[10].

引理 1.3設(shè)條件H1滿足,則對(duì)?t≥0,有

證明定義函數(shù)

g(t)=J(tuε,μk,t(τminuε,μk)),

易見

在t充分靠近0時(shí),g(t)>0,因而存在tε>0,使得

g′(tε)=0,

δτ

注意

所以

g(t

即?t≥0,有

2 定理的證明

定理 2.1假設(shè)條件H1成立,則楕圓系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正解.

證明設(shè)

Τ={h∈C([0,1],W)|h(0)=0,J(h(1))<0},

由Young不等式和Hardy-Sobolev不等式,有

J(u,v)≥c‖(u,v)‖pW-c′‖(u,v)‖p*W.

由上式可得,存在充分小的常數(shù)ρ>0,有

另外,當(dāng)

t→+∞,J(tu,tv)→-∞,

因而存在t0>0,使得

‖(t0u,t0v)‖>ρ,

且

J(t0u,t0v)<0.

由山路引理[11]可得,存在{(un,vn)}?W,有

J(un,vn)→c,J′(un,vn)→0.

由引理1.3可得

由引理1.1知{(un,vn)}存在子列,仍記為{(un,vn)},在W上(un,vn)強(qiáng)收斂于(u,v),且

J(u,v)=c,J′(u,v)=0,

即問題有解.

設(shè)

u-=min{u,0},v-=min{v,0},

同理可得

〈J′(u,v),(u-,v-)〉=0,

從而u≥0,v≥0,再根據(jù)極大值原理可得(u,v)是問題(1)的正解.