融通運(yùn)算一致性 培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)
——以“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”為例

文/洪淑媛

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，教師要立足學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人價(jià)值。核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)。運(yùn)算能力是小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中提出“體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和初步的推理意識”。五、六年級的“教學(xué)提示”中還指出：數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)注重對整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)籌,要進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性，從整體上理解和掌握運(yùn)算的算理和算法，認(rèn)識計(jì)算方法的共性和差異?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中所提到的“運(yùn)算的一致性”是指教師要深入理解數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)，使學(xué)生建立數(shù)的運(yùn)算知識體系，打破零散的、點(diǎn)狀的知識碎片，溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)在加、減、乘、除運(yùn)算中的內(nèi)部聯(lián)系，構(gòu)建系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感悟運(yùn)算的一致性[1]。

馬云鵬、吳正憲老師在《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)》一書中提道：目前的教學(xué)中整數(shù)的四則運(yùn)算是指運(yùn)算體現(xiàn)了“一致性”，所有運(yùn)算都是基于“計(jì)數(shù)單位”展開的[2]。由此可見，小學(xué)階段整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除運(yùn)算的本質(zhì)都是相同計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算。教師在進(jìn)行計(jì)算教學(xué)時(shí)，應(yīng)該緊緊抓住計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心概念，構(gòu)建以計(jì)數(shù)單位為抓手的加、減、乘、除運(yùn)算的整體結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中不斷感悟數(shù)的運(yùn)算的一致性，加深對數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的理解。下面筆者以“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”一課為例展開論述。

一、研讀教材，找準(zhǔn)認(rèn)知起點(diǎn)，尋找知識間的共性

“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”是人教版六年級（上冊）“分?jǐn)?shù)除法”單元的內(nèi)容，這一課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“整數(shù)除法”“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)乘法”與“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”等基礎(chǔ)上進(jìn)行的，也是學(xué)生接下來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算、比和比例的重要基礎(chǔ)。分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則是“除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。這一計(jì)算方法很簡單，但筆者在大量教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生在學(xué)完分?jǐn)?shù)除法后還會出現(xiàn)各種類型的計(jì)算錯(cuò)誤，如：（只改變運(yùn)算符號）；（被除數(shù)倒數(shù)）；（乘法也倒數(shù)）。究其原因，在于多數(shù)學(xué)生只記住了分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，對于為什么要“乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的算理并不理解。對此，教師可以回到教材再次研讀，思考為什么分?jǐn)?shù)除法的算理特別難理解，學(xué)生的認(rèn)知障礙到底在哪里。教師可以從教材中的例題1 開始分析。

教材例題2 用速度模型呈現(xiàn)“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”，本課包括“整數(shù)÷分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)÷分?jǐn)?shù)”。其中“整數(shù)÷分?jǐn)?shù)”是借助線段圖呈現(xiàn)算理，但是大部分學(xué)生感到晦澀難懂；“分?jǐn)?shù)÷分?jǐn)?shù)”則沒有出現(xiàn)算理圖，這給學(xué)生理解算理帶來了很大的困難。從數(shù)的意義來考慮，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)都是記錄不同數(shù)位上計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，加、減、乘、除法計(jì)算的本質(zhì)又都是計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算，因此可以抓住計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心概念，打通分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)、小數(shù)除法的隔斷，融通運(yùn)算的一致性。

二、主動遷移，抓住核心概念，領(lǐng)會數(shù)學(xué)整體性

教學(xué)片段（一）：復(fù)習(xí)導(dǎo)入，提出問題

出示口算題組：

師：大家口算得這么快，有什么計(jì)算秘訣嗎？

生：8 個(gè)十除以2 個(gè)十，計(jì)數(shù)單位相同，就是8÷2=4；6 個(gè)百除以3 個(gè)百，計(jì)數(shù)單位相同，就是6÷3=2；1.6 是16 個(gè)0.1 除以2 個(gè)0.1，計(jì)數(shù)單位相同，就是16÷2=8。

師：也就是說，計(jì)數(shù)單位相同時(shí)，整數(shù)除法和小數(shù)除法都可以直接用計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相除，這樣可以提高我們的計(jì)算速度。那大家思考一下，分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法有沒有關(guān)系？

以上教學(xué)片段的設(shè)計(jì)，意在讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)舊知，喚醒已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，建立整數(shù)除法、小數(shù)除法之間的聯(lián)系，為學(xué)生主動遷移到分?jǐn)?shù)除法打好知識基礎(chǔ)。

教學(xué)片段（二）：主動遷移，自主探究

生1：可以把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，0.32÷0.16=2。

生4：剛才整數(shù)和小數(shù)除法中，計(jì)數(shù)單位相同，我們直接把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除，這道題計(jì)數(shù)單位都是，我們把分子相除就可以。

師：你們真是會思考的孩子，能學(xué)以致用。把整數(shù)、小數(shù)除法計(jì)算的道理遷移到分?jǐn)?shù)除法中，可以使計(jì)算更快、更方便?，F(xiàn)在請大家做一組題目，大家有信心接受挑戰(zhàn)嗎？

以上片段的設(shè)計(jì)，意在讓學(xué)生通過主動遷移舊知，用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)解決新問題，在主動遷移中降低學(xué)習(xí)難度。后面的題組練習(xí)，能夠讓學(xué)生聚焦同分母分?jǐn)?shù)相除，鞏固算法，體會算理。

教學(xué)片段（三）：類比推理，理解算理

師：剛才大家的計(jì)算都完成得很好，現(xiàn)在再看看這一題，你還會計(jì)算嗎?（出示：）先觀察這道題目的特點(diǎn)，說說這道題和剛才做的題目有什么不一樣，先跟同桌交流一下你的困惑。

生1：這題兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母不相同，也就是說計(jì)數(shù)單位不同，不能用剛才的辦法來計(jì)算。

師：有沒有辦法能解決這個(gè)問題？

生2：分母不同，我們可以通分讓分母變得相同。

師：是的，我們可以通分。大家試著用這位同學(xué)的辦法做做看。

以上教學(xué)片段的設(shè)計(jì)，意在讓學(xué)生通過觀察對比發(fā)現(xiàn)本題兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母不同，利用原有的通分、同分母分?jǐn)?shù)除法的遷移，把新問題轉(zhuǎn)化成學(xué)過的問題來解決，培養(yǎng)學(xué)生推理能力。

教學(xué)片段（四）：觀察思考，推導(dǎo)算法

師：觀察剛才做過的幾道題：

思考：觀察上面的兩組算式，想一想，這些算式是怎么轉(zhuǎn)換的，看看能否說清楚每一步在算什么。

生1：前面的幾步都看得懂，最后一步?jīng)]有看明白。

生2：最后一步其實(shí)就是分?jǐn)?shù)乘法導(dǎo)過來的。分?jǐn)?shù)乘法是分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，我們反過來可以把分子乘分子，分母乘分母的算式拆開，變成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘。

生3：這兩組算式看到最后一步，我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)還是一樣不變，除數(shù)變成了它的倒數(shù)，再把被除數(shù)和除數(shù)的倒數(shù)相乘。

師：大家聽明白了嗎？想一想，最開始我們用分子相除的方法已經(jīng)算出了分?jǐn)?shù)除法的得數(shù)，現(xiàn)在怎么還要用把分?jǐn)?shù)除法變換成被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)的辦法呢？

生4：分?jǐn)?shù)除法有時(shí)候需要通分。如果遇到分母大一點(diǎn)的話，通分起來就比較麻煩，而用分?jǐn)?shù)乘法比分?jǐn)?shù)除法簡單多了。

以上教學(xué)片段的設(shè)計(jì)，意在讓學(xué)生在觀察思考中溝通算理和算法的關(guān)系，算式前面是通分，用計(jì)數(shù)單位理解算理，后面則是由分?jǐn)?shù)乘法的反向運(yùn)算推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)除法的算法，有效融通算理和算法。

三、對話歷史，滲透數(shù)學(xué)文化，感悟數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片段（五）：追溯歷史，滲透數(shù)學(xué)文化

師：同學(xué)們，現(xiàn)在老師想請你們用字母把上面分?jǐn)?shù)除法的推導(dǎo)過程表示出來，大家動手試試。

師：其實(shí)早在我國古代《九章算術(shù)》中，就已經(jīng)將分?jǐn)?shù)除法概括為“經(jīng)分”，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在為“經(jīng)分”做注釋時(shí)，將這種方法又重新命名為“散分法”。后來劉徽在注釋《九章算術(shù)》的時(shí)候又提出了“顛倒法”，即用被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)，因?yàn)椤邦嵉狗ā庇?jì)算起來更為簡單、快捷，因此沿用至今，而“散分法”卻被淡忘。通過剛才的計(jì)算推導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)，“散分法”其實(shí)是“顛倒法”的算理，“顛倒法”是“散分法”的“升級版”，它是統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位后，計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算，更進(jìn)一步融通了四則運(yùn)算用計(jì)數(shù)單位運(yùn)算的一致性。

以上教學(xué)片段的設(shè)計(jì)，意在向?qū)W生滲透古代數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感受中國古代數(shù)學(xué)文化的博大精深，同時(shí)深化學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法算理的理解。

四、溝通聯(lián)系，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會運(yùn)算本質(zhì)

教學(xué)片段（六）：打通隔斷，融通算理

師：我們一起來回顧一下分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法的計(jì)算在哪些地方是相通的？在哪些地方有區(qū)別？

生：它們的相同點(diǎn)是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法都是可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)來計(jì)算的，可以用等分計(jì)數(shù)單位，也可以用幾個(gè)計(jì)數(shù)單位包含幾個(gè)計(jì)數(shù)單位，都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的除法計(jì)算。它們的不同是有的是整數(shù)，有的是小數(shù)，有的是分?jǐn)?shù)。

以上教學(xué)片段的設(shè)計(jì)，意在讓學(xué)生回顧四則運(yùn)算，縱向梳理知識間的聯(lián)系，讓整個(gè)四則運(yùn)算形成一個(gè)整體的、系統(tǒng)的知識網(wǎng)，從而理解運(yùn)算本質(zhì)的一致性。

結(jié) 語

綜合分析，本節(jié)課深入研讀教材，找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知障礙，讀懂學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，整體把握數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)，巧妙引導(dǎo)學(xué)生的知識遷移，以計(jì)數(shù)單位貫通分?jǐn)?shù)除法教學(xué)，突破教學(xué)難點(diǎn)；抓住知識間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)，從點(diǎn)狀知識走向結(jié)構(gòu)認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，并能通過運(yùn)算促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展。這樣的運(yùn)算能力也有助于學(xué)生形成用數(shù)學(xué)思維思考問題的品質(zhì)，真正落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。