基于虛功原理的軌下支承失效動力響應(yīng)研究

楊宏印, 吳楠昊, 曹鴻猷, 張 威, 劉章軍

(1. 武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院,湖北 武漢 430073;2.橋梁結(jié)構(gòu)健康與安全國家重點實驗室, 湖北 武漢 430034; 3. 武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院,湖北 武漢 430070)

0 引 言

列車高速通過橋梁時產(chǎn)生的振動會激發(fā)軌道振動,軌道通過軌道墊層將振動傳遞給橋梁(路基),同時由于車輛激勵引發(fā)橋梁(路基)和軌道的振動亦會反作用于車輛系統(tǒng),進(jìn)而影響列車走行的穩(wěn)定性和安全性。這種相互作用就是列車與軌道和橋梁(路基)之間的耦合振動問題。道床板在長期列車荷載和溫度荷載下容易發(fā)生混凝土破碎、在自然條件下逐漸風(fēng)化和粉化。道床板脫空或者扣件支承失效會造成軌下喪失支承接觸面,導(dǎo)致軌枕發(fā)生松動的現(xiàn)象。車-軌-橋耦合作用會在軌下支承失效區(qū)產(chǎn)生異于正常區(qū)的動力特性。軌下支承剛度沿軌道縱向的改變會增大空吊區(qū)附近的軌道支承力。激增的輪軌接觸力將對橋梁和軌道產(chǎn)生突變的加速度,進(jìn)一步造成道床脫空、軌道幾何不平順的局部永久變形、鋼軌扣件的支承失效和橋梁局部的損傷破壞。因此,列車通過軌下支承失效區(qū)域?qū)夯€路和橋梁的運營狀態(tài)。若不能及時維修破損的線路,軌下支承受損段將威脅列車的平穩(wěn)運行和影響乘客的舒適性,甚至嚴(yán)重破壞段會引發(fā)列車脫軌等重大安全事故。

目前,軌下支承失效對系統(tǒng)的動力響應(yīng)分析主要包括試驗和數(shù)值仿真2種方式。S.L.GRASSIE[1]利用試驗數(shù)據(jù),計算軌道支承的剛度和阻尼參數(shù),基于數(shù)值仿真來研究軌枕空吊對軌道產(chǎn)生的動力影響,結(jié)果表明,軌枕空吊會顯著增大動態(tài)接觸力,加速軌道的惡化速度;J.A.ZAKERI[2]研究了軌道在完全支承、部分支承和空吊下的位移和輪軌接觸力,表明3個連續(xù)的軌枕空吊對軌道位移有顯著影響;DAI Jian[3]研究了軌枕的空吊數(shù)量、空吊形式和不同的行車速度對軌道接觸力峰值位置的影響,指出最大輪軌接觸力取決于行車速度和在不同間隔的軌枕空吊缺陷之間完全支承的軌枕數(shù)量;SHI Jin[4]以朔黃重載鐵路線為研究對象,建立了一個包含輪軌摩擦的三維動力有限元模型,研究指出,隨著軌枕空吊數(shù)量的增加,軌枕和軌枕扣件等軌道系統(tǒng)成分和與軌枕空吊相鄰的路基部分可能會出現(xiàn)提早破壞而失去承載能力;ZHU Jianjun[5]提出了一種基于中心有限差分法的數(shù)值模擬方法,并采用該方法計算輪軌接觸模型,仿真結(jié)果表明,輪軌間的沖擊載荷取決于無支承的軌枕數(shù)量、車輛速度和道枕與道床之間的間隙大小;ZHU Jianyue[6]進(jìn)行1∶5 比例的輪軌模型試驗,研究指出,軌道加速度的頻響函數(shù)在跨中出現(xiàn)峰值,并在軌枕上方出現(xiàn)陡傾,道砟是鐵路軌道的重要阻尼源,低頻時道枕的振動幅值最大,當(dāng)軌枕完全空吊時,其振動幾乎是無阻尼的;張大偉等[7]基于非線性作用力建立重載鐵路軌枕空吊的動力響應(yīng)模型,分析了不同軌枕空吊狀態(tài)和列車運行速度對輪軌垂向作用力的影響,得出輪軌垂向力隨空吊數(shù)量的增加與列車運行速度的提高而顯著增大的結(jié)論;鄒春華等[8]基于1∶1室內(nèi)有砟軌道試驗,以路基不均勻沉降作為非線性邊界條件,建立連續(xù)彈性點支承模型,提出了路基不均勻沉降引起的軌枕空吊計算方法;張健等[9]利用顯式積分法求解非線性動力的車輛-軌道耦合方程,探討了軌枕不同懸空狀態(tài)時軌枕中間截面的彎矩變化規(guī)律。

首先,筆者基于虛功原理推導(dǎo)了包含軌下支承失效的列車-軌道-橋梁耦合方程。軌道與橋梁之間的耦合采用單層離散點支承的彈簧阻尼,以各軌枕位置作為離散支承點,將軌道與軌枕視為一體。車輛模型在輪對沉浮自由度上采用Hertz彈性接觸與軌道耦合。然后,利用現(xiàn)有文獻(xiàn)的參數(shù)與解析解比較分析,評價文中計算模型的準(zhǔn)確性。最后,對計算模型進(jìn)行參數(shù)化研究,把軌下支承正常與不同病害程度的軌下支承失效作為工況條件,分析軌道和橋梁的動力響應(yīng)特性及輪軌接觸力的變化規(guī)律。多數(shù)文獻(xiàn)將軌道下方結(jié)構(gòu)均視為路基部分,建立車輛-軌道耦合的計算模型。鑒于此,將軌道和橋梁一起建模,分析軌下支承失效對橋梁和軌道結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的文獻(xiàn)相對較少。筆者所建立的列車-軌道-橋梁耦合的動力學(xué)模型更能充分反映軌下支承失效對軌道和橋梁結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律,以期為軌道和橋梁系統(tǒng)的運營、養(yǎng)護(hù)提供參考依據(jù)。

1 基于虛功原理的車-軌-橋動力耦合方程

首先,基于虛功原理建立了不含軌下支承失效的列車-軌道-橋梁耦合的動力方程。輪軌之間和橋軌之間的相互作用力體現(xiàn)了3個子方程之間的動力耦合關(guān)系,實現(xiàn)子方程耦合。其次,假設(shè)軌道和橋梁喪失相互作用力來模擬軌下支承失效,即去除軌下支承失效區(qū)域的橋軌耦合項。軌下支承失效的車-軌-橋耦合動力學(xué)計算模型如圖1。

圖1 軌下支承失效的車輛-軌道-橋梁耦合模型示意Fig. 1 Schematic diagram of vehicle-track-bridge coupling model with under-rail support failure

筆者建立的車-軌-橋耦合動力學(xué)模型基于以下5個假定:①軌道和橋梁均為彈性體、均質(zhì)體和各向同性體,采用平面Euler-Bernoulli梁來模擬;②輪軌接觸面積是一個小的橢圓區(qū)域,采用線性化的Hertz接觸理論模擬輪軌幾何關(guān)系[10];③車輛模型采用四軸二系懸掛,每個車輛共有10個自由度,即車體和每個轉(zhuǎn)向架考慮沉浮和點頭自由度,每個輪對考慮沉浮自由度;④輪對、轉(zhuǎn)向架和車體沿橋跨方向做勻速運動,不考慮每輛列車之間的縱向連接和縱向振動的影響;⑤軌道采用離散的彈簧阻尼支承連續(xù)梁模型,左右二股鋼軌視為一體。

考慮輪軌接觸不存在拉力,避免將輪軌接觸和輪軌脫離2種工況分開建模。基于假定②將輪軌Hertz接觸的線性彈性剛度系數(shù)統(tǒng)一表示為akvr,接觸系數(shù)a應(yīng)滿足式(1):

(1)

式中:yj為在t時刻第j個輪對處的幾何相容性條件。yj如式(2):

yj=Sj,t-Lr-R

(2)

式中:Sj,t為在t時刻第j個輪對的沉浮;Lr為軌道在接觸點x和當(dāng)t時刻的豎向位移;R為第j個輪對在接觸點x的軌道豎向幾何不平順。

基于虛功原理推導(dǎo)的軌道單元動力方程可表達(dá)為:

(3)

基于虛功原理推導(dǎo)的橋梁單元動力方程可表達(dá)為:

(4)

車輛動力方程的表達(dá)參考文獻(xiàn)[12]。輪對的沉浮自由度通過Hertz接觸彈簧與軌道單元的豎向自由度進(jìn)行耦合連接。因此,只需修正輪對的沉浮自由度及其輪軌耦合項:

(5)

(6)

由“對號入座”法組裝單元矩陣,便可列出列車-軌道-橋梁耦合系統(tǒng)的豎向振動方程,其單元子矩陣的形式如式(7):

(7)

當(dāng)軌下基礎(chǔ)支承剛度和阻尼沿軌道縱向不均勻變化時,只需對模型中各支點剛度和阻尼元件逐一賦值,即可輸入各種彈性動力不平順[13]。在軌枕支承失效的位置,去除軌枕下部的彈簧-阻尼單元,即可令該支點處krb=crb=0。

式(7)中,軌道和橋梁單元及其耦合項的矩陣均是非時變的,而車輛和軌道單元及其耦合項的矩陣均是時變的。在每個時間積分步里,判斷輪軌接觸或輪軌脫離,將非時變矩陣和時變矩陣疊加便可得到系統(tǒng)的動力方程。再利用Newmark方法直接積分求解時程曲線。在MATLAB軟件編寫了相應(yīng)的計算程序。

2 簧上質(zhì)量過簡支梁橋的解析解驗證

選取文獻(xiàn)[14]算例進(jìn)行分析,如圖2?；缮腺|(zhì)量塊從梁左端向右運動,模型參數(shù)如下:彈性模量Eb=2.87 GPa;截面慣性矩Ib=2.90 m4;跨徑s=25 m;單位長質(zhì)量mb=2 303 kg/m;質(zhì)量塊質(zhì)量mv=5 757 kg,懸掛剛度k1=1 595 kN/m,移動速度v=27.78 m/s。橋的振動頻率為ωb=30.02 rad/s,簧載質(zhì)量的頻率ωv=16.66 rad/s。 車輛簡化為車身的沉浮自由度即l/4 彈簧質(zhì)量模型,忽略懸掛和橋梁阻尼的影響。

圖2 簧上質(zhì)量過簡支梁橋模型Fig. 2 Model of a moving sprung mass through a simply supported beam bridge

質(zhì)量塊和橋梁耦合的動力方程由Biggs導(dǎo)出[15]。對于橋梁的動力響應(yīng),Biggs推導(dǎo)的解析解只考慮橋梁的一階模態(tài),如式(9):

(8)

式中:

(9)

將Biggs解析解、移動荷載解析解[16-17]與文中解進(jìn)行對比,得到橋梁跨中的豎向位移、速度和加速度的動力響應(yīng)如圖3～圖5。由圖3～圖5可知,移動荷載解析解與Biggs解析解、文中解的計算結(jié)果出現(xiàn)偏差。因為考慮車橋耦合作用與移動荷載相比,前者致橋振動的能量更大。而文中算法計算的橋梁跨中豎向位移響應(yīng)與Biggs推導(dǎo)的一階模態(tài)解非常吻合。在簡支梁跨中的垂直速度響應(yīng)和垂直加速度響應(yīng)中,文中解與Biggs解有較高的吻合程度,但兩者仍存在微小的相位差。同時文中解在加速度響應(yīng)中出現(xiàn)了高頻振蕩。這可以理解為由于Biggs解析解忽略了車輛振動產(chǎn)生的能量對橋梁高階模態(tài)的激勵,而高階模態(tài)對橋梁的速度響應(yīng)和加速度響應(yīng)存在影響。因此,橋梁動力響應(yīng)的精確計算結(jié)果不可忽略高階模態(tài)。筆者基于虛功原理推導(dǎo)的車-軌-橋耦合有限元法能考慮在耦合作用下輸入橋梁的能量所激發(fā)的高階模態(tài)。

圖3 橋梁跨中位移時程曲線Fig. 3 Time-history curve of mid-span displacement of bridge

圖4 橋梁跨中速度時程曲線Fig. 4 Time-history curve of mid-span velocity of bridge

圖5 橋梁跨中加速度時程曲線Fig. 5 Time-history curve of mid-span acceleration of bridge

3 軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷對軌道和橋梁的動力響應(yīng)分析

參照我國高速鐵路某雙線簡支箱梁橋圖紙,橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:跨徑s=32 m;彈性模量Eb=34.5 GPa;慣性矩Ib=11.1 m4;單位長度質(zhì)量mb=43 630 kg/m;采用Rayleigh阻尼,阻尼比ζ=0.02[18];Hertz接觸剛度為5×108N/m;橋梁一階頻率為4.6 Hz;理論共振車速為108 m/s,考慮v=100 m/s接近共振車速;過渡段路基取12 m;鋼軌單元長度可取為2倍軌枕間距,故鋼軌單元長度取1.2 m[19]。列車編組考慮5輛車勻速通過軌道。其中車輛和軌道的結(jié)構(gòu)參數(shù)取值參考文獻(xiàn)[20]。

軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷的位置及觀測點示意如圖6。筆者分別選取了橋梁段和路基段的2個連續(xù)軌下支承失效與軌下支承結(jié)構(gòu)完整的工況,對毗鄰軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷區(qū)的過渡段中點(觀測點O)和橋梁跨中(觀測點Q)進(jìn)行動力響應(yīng)時程仿真分析。由于軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷本質(zhì)上是動力型不平順,輪對或鋼軌的幾何不平順相對于動力型不平順?biāo)斐傻恼穹梢院雎?。因?筆者只考慮軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷,而不考慮幾何不平順對動力的影響。

圖6軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷的位置及觀測點示意 Fig. 6 Schematic diagram of the defect location and observation point of the infrastructure under the rail

觀測點Q的橋梁位移時程曲線如圖7,觀測點Q的橋梁加速度時程曲線如圖8。由圖7、圖8可知,當(dāng)列車通過橋梁段時,1個軌下支承失效與軌下正常支承相比,橋梁跨中的位移響應(yīng)并未產(chǎn)生明顯的偏差,兩條曲線幾乎重合。但是,軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷會對橋梁跨中的加速度產(chǎn)生高頻振蕩。1個軌下支承失效時,橋梁跨中的最大加速度為0.622 1 m/s2,相比于軌道正常支承狀態(tài)下的最大加速度0.425 2 m/s2,增大到約1.46倍。這是因為軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷處軌道與橋梁失去了耦合作用,導(dǎo)致軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷區(qū)域附近的橋軌耦合作用力突增,使橋梁跨中的加速度明顯增大。

圖7 觀測點Q的橋梁位移時程曲線Fig. 7 Bridge displacement time-history curve at observation point Q

圖8 觀測點Q的橋梁加速度時程曲線Fig. 8 Bridge acceleration time-history curve at observation point Q

觀測點Q的輪軌豎向接觸力如圖9。由圖9可知,輪軌相互作用力是時變的,開始時刻輪軌相互作用力變化劇烈的原因在于車輛突然施加荷載給軌道。當(dāng)車輛平穩(wěn)運行,輪軌豎向接觸力在軌道支承完好時呈現(xiàn)周期性變化,作用力的峰值達(dá)到140.5 kN。而列車經(jīng)過軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷處時,由于軌道喪失支承力,產(chǎn)生余弦型不均勻沉降,引起輪軌間的局部高頻振動。車體突變的加速度產(chǎn)生非周期性變化的慣性力,輪軌相對位移的突變導(dǎo)致非周期性變化的Hertz 接觸彈性力。此時,輪軌豎向接觸力的峰值達(dá)到179.2 kN,較軌下正常支承時增大了27.54%。

圖9 觀測點Q的輪軌豎向接觸力Fig. 9 Wheel-rail vertical contact force at observation point Q

隨著軌下支承失效的數(shù)量增加,軌下結(jié)構(gòu)的缺陷變得越來越嚴(yán)重。觀測點Q在不同數(shù)量軌下支承失效下橋梁加速度與輪軌豎向接觸力如圖10。由圖10可知:在相同速度下,當(dāng)發(fā)生1～2個軌下支承失效時,橋梁跨中加速度分別為0.622 1、0.960 4 m/s2,較軌道良好支承時的0.425 2 m/s2,分別增大了46.31%、125.87%;輪軌豎向接觸力峰值分別為140.5、179.2 kN,較靜輪重134.63 kN,分別增大了4.36%、33.11%。軌下支承失效2個時,橋梁最大加速度和輪軌豎向接觸力峰值均顯著增加。這說明軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷造成的動力性不平順會導(dǎo)致缺陷區(qū)的輪軌接觸點基本失去了軌道墊層的緩沖作用,增大了臨近缺陷區(qū)的動力響應(yīng)。當(dāng)列車荷載反復(fù)作用于軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷區(qū),加劇對此范圍附近橋梁構(gòu)件的疲勞損傷程度,嚴(yán)重時可能危害橋梁的運營安全。

圖10 觀測點Q在不同數(shù)量軌下支承失效下橋梁加速度與輪軌豎向接觸力Fig. 10 Bridge acceleration and wheel-rail vertical force under different numbers of under-rail bearing failures at observation point Q

過渡段的軌道結(jié)構(gòu)直接由路基支承,選擇過渡段路基中點處的1個軌下支承失效與軌下正常支承進(jìn)行對比分析。列車運行速度同為100 m/s,軌道時程分析選取毗鄰缺陷處的觀測點O。觀測點O的軌道位移對比如圖11,觀測點O的軌道加速度對比如圖12。由圖11、圖12可知:當(dāng)軌下支承完好時,軌道的最大豎向位移為0.417 mm,最大豎向加速度為15.43 m/s2;當(dāng)發(fā)生1個軌下支承失效時,軌道的最大豎向位移為0.665 mm,最大豎向加速度為26.28 m/s2,分別是軌道無病害時的1.594倍和1.703倍。這說明高速列車致軌道振動時,軌道下部結(jié)構(gòu)對軌道承受的沖擊起到明顯的減緩作用。當(dāng)列車通過軌下支承失效區(qū)域,輪軌作用力由毗鄰軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷區(qū)的正常支承區(qū)段分擔(dān),而使觀測點O處的軌道位移和加速度振幅顯著增大。

圖11 觀測點O的軌道位移對比Fig. 11 Orbital displacement comparison diagram of observation point O

圖12 觀測點O的軌道加速度對比Fig. 12 Orbital acceleration comparison diagram of observation point O

為進(jìn)一步說明行車速度的差異和軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷的病害程度對軌道的沖擊作用。觀測點O的軌道位移響應(yīng)隨列車行車速度和軌下支承失效數(shù)量的變化規(guī)律如圖13,觀測點O的軌道加速度響應(yīng)隨列車速度和軌下支承失效數(shù)量的變化規(guī)律如圖14。由圖13、圖14可知,軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷的病害程度越嚴(yán)重,即軌下支承失效的數(shù)量越多,軌道的位移和加速度隨行車速度的增加而急劇增大。當(dāng)發(fā)生2個軌下支承失效,且行車速度為20 m/s時,軌道的最大位移為1.388 mm、最大加速度達(dá)到2.073 m/s2;行車速度為80 m/s時,軌道的最大位移為1.605 mm,增大了約15.6%;行車速度為100 m/s時,最大加速度達(dá)到68.7 m/s2,增大了約32倍。這表明行車速度與軌下支承失效數(shù)量相比,行車速度對軌道加速度的影響更加劇烈,而軌下支承失效數(shù)量對軌道位移的影響更明顯。因此,列車應(yīng)低速通過軌下基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)缺陷區(qū)域。軌道線路的日常管養(yǎng)應(yīng)及時發(fā)現(xiàn)并修繕受損區(qū),避免軌下結(jié)構(gòu)缺陷的區(qū)域進(jìn)一步向臨近的正常區(qū)域擴(kuò)展,造成軌道在劇烈的振動下出現(xiàn)損傷破壞。

圖13 觀測點O的軌道位移響應(yīng)隨列車行車速度和軌下支承失效數(shù)量的變化規(guī)律Fig. 13 Variation law of the track displacement response at observation point O changing with the train speed and the number of under-rail support failures

圖14 觀測點O的軌道加速度響應(yīng)隨列車行車速度和軌下支承失效數(shù)量的變化規(guī)律Fig. 14 Variation law of the track acceleration response at observation point O changing with the train speed and the number of under-rail support failures

4 結(jié) 論

基于虛功原理分別建立了橋梁單元和軌道單元的動力耦合方程,并對車輛動力方程中的沉浮自由度及輪軌耦合項加以修正,將各子方程按“對號入座”法組裝車-軌-橋耦合矩陣。當(dāng)軌下支承缺陷時,通過去除橋軌離散連接的彈簧-阻尼耦合項,進(jìn)而修正原始組裝的車-軌-橋系統(tǒng)矩陣。利用該模型探討了軌下支承失效的條件下輪軌豎向接觸力、橋梁和軌道的動力響應(yīng)變化規(guī)律。結(jié)果表明:

1)基于虛功原理建立的車-軌-橋耦合有限元計算模型與解析解相比吻合度較高。軌下支承失效區(qū)域通過去除橋軌連接的彈簧-阻尼耦合矩陣項來修正原始矩陣的方式是合理可行的。

2)軌下基礎(chǔ)支承缺陷對橋梁的位移響應(yīng)影響較小,但會加劇橋梁的加速度響應(yīng)。

3)車輛平穩(wěn)運行時,輪軌豎向接觸力在軌道下方被道床良好支承時呈現(xiàn)周期性變化,而列車經(jīng)過軌下結(jié)構(gòu)缺陷區(qū)域時,輪軌作用力會發(fā)生突變。

4)當(dāng)出現(xiàn)1個軌下支承失效時,軌道豎向位移和加速度動力響應(yīng)變化較小。當(dāng)病害發(fā)展到2個軌下支承失效時,軌道豎向位移和加速度動力響應(yīng)變化顯著增大。同時,列車行車速度的提高對軌道動力響應(yīng)的變化非常劇烈,速度效應(yīng)十分明顯。因此,鐵路部門應(yīng)及時發(fā)現(xiàn)并修復(fù)軌下基礎(chǔ)支承缺陷的病害,提醒列車司機(jī)低速通過病害區(qū)域。