重視數(shù)學(xué)探究活動(dòng) 發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

【摘 要】數(shù)學(xué)探究課是指學(xué)生在教師主導(dǎo)下圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，通過自主學(xué)習(xí)、合作探究、小組展示等方式，主動(dòng)獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問題的課堂模式。探究?jī)?nèi)容可以是課本上的，也可以是根據(jù)課本知識(shí)引申的，關(guān)鍵是要體現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的價(jià)值，滲透探究的一般路徑與方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)的不僅僅是知識(shí)，更重要的是構(gòu)建探究問題的思路，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)遷移與運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；探究活動(dòng)；函數(shù)的圖象與性質(zhì)；核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號(hào)】1005-6009（2023）29-0047-05

【作者簡(jiǎn)介】姜尚鵬，山東省平度市第九中學(xué)（山東青島，266700）教師，一級(jí)教師，青島市優(yōu)秀教師，青島名師，青島市學(xué)科帶頭人，青島市教學(xué)能手。

數(shù)學(xué)探究是指圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)，學(xué)生開展自主探究、合作研究并最終解決問題，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。

“探究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)”安排在高一上學(xué)期，學(xué)生學(xué)完初等函數(shù)的學(xué)習(xí)之后，是一節(jié)探究課。在一方面通過對(duì)教材的挖掘，增進(jìn)學(xué)生對(duì)“對(duì)號(hào)函數(shù)”和“飄帶函數(shù)”的理解。另一方面，引導(dǎo)學(xué)生通過類比與對(duì)比得到研究一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的路徑，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的提煉過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，抽象函數(shù)

我校科技館要制作一個(gè)占地32m2的圍欄保護(hù)孔子像。如下頁(yè)圖1所示，設(shè)圍欄的邊長(zhǎng)AD為xm，因場(chǎng)地限制要求AD不超過3m，圍欄總長(zhǎng)為ym。你能幫忙設(shè)計(jì)圍欄的長(zhǎng)和寬，使圍欄用料最省嗎？

學(xué)生自主構(gòu)建函數(shù)模型，尋找求解最值的方法，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究函數(shù)的單調(diào)性，并引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)y=2x+[32x]一般化，擴(kuò)充研究范圍，拋出研究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)。

【設(shè)計(jì)意圖】借助實(shí)際生活情境，讓學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)函數(shù)模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。由于基本不等式解決不了問題，產(chǎn)生思維沖突，激發(fā)學(xué)生思考需要進(jìn)一步研究一個(gè)新函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

2.復(fù)習(xí)舊知，回憶經(jīng)驗(yàn)

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶之前研究過的類似函數(shù)，即函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)。之后教師播放探究函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的微課視頻。

微課內(nèi)容：通過描點(diǎn)作圖的方式引導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)y=x+[1x]的圖象，之后從圖象觀察函數(shù)的性質(zhì)。但對(duì)于部分性質(zhì)，如值域和漸近線等，無法從圖象直接觀察得出，所以通過從“數(shù)”的角度，即解析式入手先研究函數(shù)y=x+[1x]的性質(zhì)，如值域和漸近線，再完善函數(shù)的圖象?；蛘撸瑥摹靶巍钡慕嵌?，即將函數(shù)分解成兩個(gè)熟悉函數(shù)y=x和y=[1x]，當(dāng)橫坐標(biāo)相同時(shí)，縱坐標(biāo)相加構(gòu)成函數(shù)y=x+[1x]的圖象的角度進(jìn)行分析，這樣得到的函數(shù)圖象更加精確，值域和漸近線也更容易從圖象觀察得出。

【設(shè)計(jì)意圖】通過回憶特例——函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的研究路徑，為后續(xù)研究一般函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)的研究路徑做鋪墊，并在之前研究路徑的基礎(chǔ)上，通過探究對(duì)研究路徑進(jìn)行再擴(kuò)充和再梳理，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理等核心素養(yǎng)。

3.研制策略，優(yōu)化方案

問題1：類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該按照怎樣的思路研究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)？

生：先對(duì)a，b進(jìn)行討論，可以分成y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）、y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）、y=ax+[bx]（a＜0，b＜0）、y=ax+[bx]（a＜0，b＞0）四類函數(shù)。

師：需要對(duì)這四類函數(shù)一一進(jìn)行討論嗎？

生：第三類和第四類函數(shù)的圖象可以通過將第一類和第二類函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱得到，所以只需要研究第一類和第二類函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可。

【設(shè)計(jì)意圖】教師讓學(xué)生自主分析函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)的研究思路，體現(xiàn)了先整體架構(gòu)研究框架，再逐個(gè)擊破的研究方法，能夠培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理等核心素養(yǎng)。

4.小組合作，感悟路徑

問題2：每個(gè)小組選擇一類函數(shù)，你們能給出幾種研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的路徑？

教師把所有小組分成兩隊(duì)，分別研究函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）和函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的圖象與性質(zhì)，學(xué)生先獨(dú)立思考，之后小組討論，最后小組代表展示研究成果。

小組代表1：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＞0），研究路徑是從圖象到性質(zhì)。不妨令a=1，研究b對(duì)函數(shù)y=x+[bx]（b＞0）圖象的影響。借助GeoGebra軟件，可以發(fā)現(xiàn)b影響了函數(shù)在x∈（0，+∞）上圖象的最低點(diǎn)和x∈（-∞，0）上圖象的最高點(diǎn)。（見圖2）同理可以得到a影響了函數(shù)圖象的開口，也就是漸近線，最后我們可以觀察函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）的圖象得到它的性質(zhì)。（見圖3）

師：你能用總結(jié)的性質(zhì)解決“圍欄”問題嗎？

小組代表1：可以。函數(shù)在y=2x+[32x]在x∈（0，3］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=3時(shí)取到最小值。

師：還有其他的研究路徑嗎？

小組代表2：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＞0），研究路徑是從性質(zhì)到圖象。首先研究函數(shù)的定義域，易得[x∣x≠0]。接下來研究奇偶性，由奇偶性的定義易證這是一個(gè)奇函數(shù)。再研究它的單調(diào)性，我們借助基本不等式可以得到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-[ba]），（[ba]，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-[ba]，0），（0，[ba]）并可得函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-2[ab]）∪（2[ab]，+∞）。接下來研究漸近線，當(dāng)x→0時(shí)ax→0，函數(shù)趨向于y=[bx]，所以一條漸近線是y軸，當(dāng)x→+∞時(shí)[bx]→0，函數(shù)趨向于y=ax，所以另一條漸近線為y=ax。最后通過性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，并借助GeoGebra軟件作圖驗(yàn)證。

小組代表3：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＜0），研究路徑是從圖象到性質(zhì)。我們發(fā)現(xiàn)它是由我們熟悉的函數(shù)y=ax和y=[bx]相加得到的，所以我們先借助GeoGebra軟件作出y=x和y=-[1x]的圖象，在x軸上取一點(diǎn)，過這點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與y=x和y=-[1x]的圖象分別交于一點(diǎn)，再通過軟件的平移功能，得到剛才兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，移動(dòng)垂線，得到該點(diǎn)的軌跡就是所求函數(shù)圖象。通過觀察容易發(fā)現(xiàn)，它的定義域[x∣x≠0]，在（-∞，0），（0，+∞）上分別單調(diào)遞增，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)，值域?yàn)镽。下面我們固定a=1，改變b的值，發(fā)現(xiàn)圖象對(duì)應(yīng)的性質(zhì)未發(fā)生改變。我們又固定b=-1，改變a的值，發(fā)現(xiàn)漸近線一直隨著變化，也就是說a影響了函數(shù)圖象的漸近線。

小組代表4：我們小組探究的是函數(shù)y=ax+[bx]（a＞0，b＜0），研究路徑是從性質(zhì)到圖象：先研究?jī)蓚€(gè)熟悉函數(shù)y=ax和y=[bx]的性質(zhì)，合成y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的性質(zhì)。比如，y=ax是奇函數(shù)，y=[bx]是奇函數(shù)，所以y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）是奇函數(shù)，其他性質(zhì)也可以同理推出，最后再畫出函數(shù)的圖象，并通過GeoGebra軟件作圖驗(yàn)證。

師：這樣我們就得到了兩類函數(shù)的圖象與性質(zhì)，他們分別叫“對(duì)號(hào)函數(shù)”和“飄帶函數(shù)”。（見圖4，圖5）同時(shí)我們還得到多種研究路徑：一是把函數(shù)看成一個(gè)整體，然后既可以從“形”出發(fā)，由圖象研究性質(zhì)，也可以從“數(shù)”出發(fā)，由性質(zhì)研究圖象。二是分解函數(shù)，把函數(shù)看成兩個(gè)函數(shù)經(jīng)過運(yùn)算得到的，同樣既可以從“形”出發(fā)，由兩個(gè)函數(shù)的圖象合成研究一個(gè)函數(shù)的圖象，進(jìn)而通過圖象研究性質(zhì)，也可以從“數(shù)”出發(fā)，由兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)合成研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而通過性質(zhì)研究圖象。

【設(shè)計(jì)意圖】通過讓學(xué)生分組研究，避免了同時(shí)研究?jī)深愊嗨频暮瘮?shù)而浪費(fèi)時(shí)間。此外，小組合作還培養(yǎng)了學(xué)生的交流合作能力。教師收集每個(gè)小組的研究路徑，進(jìn)行匯總和結(jié)構(gòu)化梳理，引導(dǎo)學(xué)生梳理研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的方法，有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

5.獨(dú)立思考，內(nèi)化路徑

問題3：通過今天的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為還能研究哪些函數(shù)的圖象與性質(zhì)？給出函數(shù)并嘗試研究它的圖象與性質(zhì)。（開放題）

學(xué)生先獨(dú)立思考，之后通過小組合作，討論交流選擇函數(shù)，并借助GeoGebra軟件研究它的圖象與性質(zhì)。筆者收集學(xué)生研究的函數(shù)類型有y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0），y=a｜x｜+ax2（a＞0），y=2x2sinx等。

大部分學(xué)生選擇的是y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0）這個(gè)函數(shù)。展示小組是從分解成兩個(gè)函數(shù)y=ax2和y=[bx2]的圖象，借助GeoGebra軟件合成一個(gè)函數(shù)y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0）的圖象的路徑進(jìn)行的研究。除了前面分析的研究路徑外，教師還通過追問讓學(xué)生學(xué)習(xí)從復(fù)合函數(shù)的角度研究該函數(shù)。

對(duì)于函數(shù)y=a∣x∣+ax2（a＞0）的圖象與性質(zhì)，展示小組是先從整體研究性質(zhì)再畫圖象的路徑進(jìn)行的研究，因?yàn)閷W(xué)生發(fā)現(xiàn)從代數(shù)角度很容易研究這個(gè)解析式的性質(zhì)，并且由于兩個(gè)部分有同一個(gè)參數(shù)a，不適合分解研究。

對(duì)于函數(shù)y=2x2sinx的圖象與性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生不僅可以研究由基本初等函數(shù)加減得到的函數(shù)，也可以是乘除得到的函數(shù)。當(dāng)然，學(xué)生還給出了很多其他的函數(shù)類型，由于時(shí)間關(guān)系，課堂上沒有一一展示。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于本節(jié)課研究的函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)知識(shí)層面的鞏固放到課后，研究路徑的鞏固放到課上。通過開放式問題激發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生自己構(gòu)造研究的函數(shù)。借助小組代表展示，教師了解學(xué)生構(gòu)造的函數(shù)以及研究思路，并及時(shí)進(jìn)行挑選和梳理，與學(xué)生一起分析如何根據(jù)函數(shù)解析式的特征挑選合適的研究路徑，并將研究的函數(shù)的類型的范圍進(jìn)行推廣，可以是含有兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)，也可以是含有同一個(gè)參數(shù)兩次的函數(shù)，還可以是沒有參數(shù)但變成兩個(gè)基本初等函數(shù)乘除的函數(shù)。這樣，學(xué)生既鞏固了新知，又在新知學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上拓寬了思維與視野，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。

二、教學(xué)思考

1.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)內(nèi)容選擇要恰當(dāng)

本節(jié)課主要內(nèi)容是探究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)以及明確研究一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的路徑。本節(jié)課是在研究函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究一個(gè)更一般化的函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)。這一探究過程意在告訴學(xué)生研究一個(gè)一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的多種路徑，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、特殊到一般等思想，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練、核心素養(yǎng)的提升有著很大的幫助。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)完基本初等函數(shù)之后，作為單元學(xué)習(xí)的提升，安排一節(jié)課讓學(xué)生探究函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)是恰當(dāng)且必要的。

2.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)應(yīng)合理使用信息技術(shù)

教材中信息技術(shù)與數(shù)學(xué)內(nèi)容的融合情況既影響教師的教也影響學(xué)生的學(xué)。［1］描點(diǎn)作圖法適合學(xué)生剛學(xué)習(xí)某個(gè)函數(shù)時(shí)應(yīng)用。當(dāng)學(xué)生有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備后，要對(duì)函數(shù)進(jìn)行深度探究時(shí)，GeoGebra軟件是非常方便的。一是GeoGebra軟件具有呈現(xiàn)作圖的功能?？梢匝杆僮鞒龊瘮?shù)的圖象，方便學(xué)生根據(jù)圖象猜測(cè)性質(zhì)，進(jìn)而通過代數(shù)方法說明。二是GeoGebra軟件具有呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)軌跡的功能。學(xué)生描點(diǎn)作出的函數(shù)圖象畢竟是有限的且靜止的，但是通過GeoGebra軟件調(diào)動(dòng)參數(shù)的變化，跟蹤函數(shù)圖象軌跡可以讓學(xué)生看到若干函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，從而總結(jié)性質(zhì)，加深對(duì)知識(shí)的理解。三是GeoGebra軟件操作與數(shù)學(xué)知識(shí)的融合功能。學(xué)生在研究y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質(zhì)時(shí)，分解成y=ax（a＞0）和y=[bx]（b＜0）的圖象，之后借助GeoGebra軟件作圖的平移功能，通過跟蹤軌跡得到y(tǒng)=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的圖象，這樣的作圖需要學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)才能畫出函數(shù)的圖象。這樣得到的函數(shù)圖象比直接輸入函數(shù)解析式得到圖象更加形象，也更能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。

3.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)要“收放有度”

教師通過微課讓學(xué)生回憶之前是如何學(xué)習(xí)函數(shù)y=x+[1x]的圖象與性質(zhì)，為本節(jié)課類比學(xué)習(xí)函數(shù)y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象和性質(zhì)做鋪墊。有了鋪墊，整個(gè)探究過程教師完全放手，讓學(xué)生自主構(gòu)建研究思路，梳理研究路徑，最后教師再收集學(xué)生的各種研究路徑，與學(xué)生共同總結(jié)與提煉。同時(shí)，將研究路徑進(jìn)行應(yīng)用時(shí)，教師也是充分放手給學(xué)生，讓學(xué)生自主選擇研究的函數(shù)，并自主選擇合適的路徑研究它的圖象與性質(zhì)，最后教師收集學(xué)生研究的各種函數(shù)類型，與學(xué)生共同總結(jié)與提煉。整個(gè)探究活動(dòng)教師放手讓學(xué)生自主研究的同時(shí)又及時(shí)收回研究?jī)?nèi)容，梳理相關(guān)內(nèi)容并進(jìn)行總結(jié)與提煉，真正實(shí)現(xiàn)了“收放有度”。

【參考文獻(xiàn)】

［1］胡鳳娟，呂世虎.高中數(shù)學(xué)教材中信息技術(shù)與函數(shù)內(nèi)容融合的研究——以2019年6個(gè)版本高中數(shù)學(xué)新教材為例［J］.當(dāng)代教育與文化，2021，13（3）：46-54.

［2］丁書明.重啟探究與發(fā)現(xiàn) 發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)——“探究函數(shù)y=x+1/x的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（34）：31-34.