回歸課本“建構(gòu)學(xué)材”，規(guī)律問題重視推理

李庾南 劉東升

【摘 要】期末復(fù)習(xí)期間，不少學(xué)校備課組會(huì)摘選一些往年期末試卷中的高頻問題來開展專題復(fù)習(xí)。以規(guī)律問題的復(fù)習(xí)為例，在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)教師應(yīng)把目光投向整冊教材，圍繞課本中的規(guī)律問題素材鉆研專題復(fù)習(xí)課，基于七年級學(xué)生的認(rèn)知能力，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；學(xué)材再建構(gòu)；規(guī)律問題；代數(shù)推理

【中圖分類號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號(hào)】1005-6009（2023）29-0027-04

【作者簡介】1.李庾南，江蘇省南通市啟秀中學(xué)（江蘇南通，226006）教師，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師；2.劉東升，江蘇省南通市教育科學(xué)研究院（江蘇南通，226007）教研員，高級教師。

在初中各學(xué)期的期末復(fù)習(xí)階段，各校數(shù)學(xué)備課組都會(huì)有計(jì)劃地進(jìn)行兩輪復(fù)習(xí)，其中第一輪復(fù)習(xí)更加側(cè)重對前期所學(xué)知識(shí)塊或單元的回顧梳理，并兼顧教材上的典型例題和練習(xí)題。在第二輪的專題復(fù)習(xí)課中，一些學(xué)校備課組習(xí)慣選編一些各地試卷中的熱點(diǎn)考題，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)備考訓(xùn)練，或者圍繞某種解題思想方法進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，此階段的復(fù)習(xí)常常是“離開教材搞專題復(fù)習(xí)”。可見，專題復(fù)習(xí)課怎樣回歸教材開展“學(xué)材再建構(gòu)”仍是一個(gè)值得深入研究的課題。

在李庾南實(shí)驗(yàn)學(xué)校第七屆優(yōu)秀課評比活動(dòng)中，主辦方選取了人教版數(shù)學(xué)七年級上的“規(guī)律問題”作為比賽課題，參賽教師的“同課異構(gòu)”引發(fā)了我們對七年級規(guī)律問題教學(xué)的深入思考?，F(xiàn)以人教版教材七年級規(guī)律問題專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，說明如何回歸課本，重構(gòu)學(xué)材，開展初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課，提高學(xué)生的代數(shù)推理能力。

一、“規(guī)律問題”專題復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)1：從“直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)”的規(guī)律出發(fā)

師：同學(xué)們，今天我們一起來復(fù)習(xí)七年級上冊教材中的“規(guī)律問題”。同學(xué)們剛剛學(xué)過第四章“幾何圖形初步”，現(xiàn)在老師挑選這一章中的一道規(guī)律習(xí)題，檢查同學(xué)們的學(xué)習(xí)情況。

問題1（教材習(xí)題）：兩條直線相交，有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？四條直線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？（見圖1）

生：圖中圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)依次為0，1，3，6，…，第n個(gè)圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是[n（n-1）2]。

師：相鄰兩數(shù)相加，依次可得1，4，9，…，這個(gè)數(shù)列也是有規(guī)律的。同學(xué)們能在網(wǎng)格紙中用小正方形的個(gè)數(shù)來表達(dá)這組數(shù)的規(guī)律嗎？（教師組織學(xué)生利用網(wǎng)格紙畫圖，并投影展示圖2）

師：請同學(xué)們看看圖2，思考這兩個(gè)問題。（1）第④個(gè)圖形比第③個(gè)圖形多 ? ? ? ? 個(gè)小正方形；（2）第n個(gè)圖形比第（n-1）圖形多 ? ? ? ? 個(gè)小正方形（用含n的式子表示）。

【設(shè)計(jì)意圖】“活動(dòng)1”中的圖1、圖2分別選自七上教材第4章“幾何圖形初步”、第2章“整式的加減”，體現(xiàn)了基于課本的“學(xué)材再建構(gòu)”。此外，從圖1到圖2中的數(shù)列規(guī)律也有一定的聯(lián)系，并且展現(xiàn)了數(shù)形對應(yīng)的本質(zhì)，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。

2.活動(dòng)2：日歷中的規(guī)律問題

師：在圖2中有很多“小正方形”，現(xiàn)在我們用田字格方框框住日歷中的4個(gè)日期，再來看看“問題2”。

問題2：圖3是2022年12月的日歷，觀察田字格方框中的4個(gè)數(shù)，你能得出什么結(jié)論？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

生：方框中處于“對角線”上的兩數(shù)之和相等。設(shè)方框左上角的數(shù)為x，另外三個(gè)數(shù)分別為x+1，x+7，x+8，可以算出處于“對角線”上的數(shù)之和都為2x+8。

師：將田字格方框適當(dāng)移動(dòng)，框出的4個(gè)數(shù)之和能否等于56？

生：可以列一元一次方程2（2x+8）=56，解得x=10。

師：現(xiàn)在我們把結(jié)果還原到圖片中驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)“10”在日歷表的最右邊的一列，故框出的4個(gè)數(shù)之和不能等于56。所以這時(shí)只靠列方程得出的答案是不符合實(shí)際的。

【設(shè)計(jì)意圖】“活動(dòng)2”的學(xué)材改編自課本第3章“一元一次方程”，主要訓(xùn)練學(xué)生構(gòu)建一元一次方程模型解決實(shí)際問題的能力。學(xué)生想要解決這個(gè)生活問題，需要經(jīng)歷從實(shí)際問題（抽象）→數(shù)學(xué)問題（一元一次方程）→解決數(shù)學(xué)問題（解方程）→回到實(shí)際問題的背景進(jìn)行檢驗(yàn)取舍→得到實(shí)際問題的解（解決實(shí)際問題）。

3.活動(dòng)3：“三行數(shù)”的規(guī)律問題

師：我們通過問題2研究了小正方形個(gè)數(shù)的問題，現(xiàn)在我們將平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形，請同學(xué)們觀察圖4中的正方體個(gè)數(shù)，思考第n組正方體的個(gè)數(shù)。

生：第n組正方體的個(gè)數(shù)是3n。

師：非常好，現(xiàn)在請同學(xué)們看一看問題3。

問題3：觀察下面三組數(shù)：（1）-3，9，-27，81，-243，…；（2）0，12，-24，84，-240，…；（3）-1，3，-9，27，-81，…。

師：第（1）組數(shù)按什么規(guī)律排列？第（2）（3）組數(shù)與第（1）組數(shù)分別有什么關(guān)系？取每行第n個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和（用含n的式子表示）。

【設(shè)計(jì)意圖】第（1）（2）問仍然是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第（3）問在前兩問基礎(chǔ)上，三個(gè)數(shù)的和為（-3）n+［（-3）n+3］+（-3）n÷3。“活動(dòng)3”改編自課本第1章“有理數(shù)”的一道例題，限于七年級上學(xué)期學(xué)生的運(yùn)算水平，學(xué)生還不具有計(jì)算同底數(shù)冪的復(fù)雜運(yùn)算能力。在教學(xué)時(shí)，教師可根據(jù)學(xué)生學(xué)情進(jìn)行調(diào)整，暫不要求他們進(jìn)一步化簡這三個(gè)數(shù)的和。

如果學(xué)情較好、教學(xué)時(shí)間允許，教師可利用PPT繼續(xù)出示拓展問題（如圖5）：

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些四位數(shù)中4個(gè)數(shù)字之和都是3的倍數(shù)之后，可進(jìn)一步提出以下猜想：設(shè)一個(gè)四位數(shù)abcd，若a+b+c+d可以被3整除，則這個(gè)數(shù)可以被3整除。

針對本拓展教學(xué)，教師可安排學(xué)生獨(dú)立證明“猜想”，并在教室巡視，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生證明成功后，邀請學(xué)生上臺(tái)講解證明思路。

4.活動(dòng)4：課堂小結(jié)

小結(jié)問題1：本課中哪道規(guī)律問題給你留下了較深的印象？舉例說說。

小結(jié)問題2：你在解決規(guī)律問題時(shí)，有哪些解題經(jīng)驗(yàn)或出錯(cuò)經(jīng)歷？可結(jié)合具體的習(xí)題交流。

小結(jié)問題3：請同學(xué)們課后認(rèn)真研究課本，對課本中出現(xiàn)過的規(guī)律問題歸類整理。

【設(shè)計(jì)意圖】在課堂的最后環(huán)節(jié)，教師引入三個(gè)“小結(jié)問題”，引導(dǎo)學(xué)生開展專題復(fù)習(xí)課的解后回顧。前兩個(gè)小結(jié)問題主要針對本課復(fù)習(xí)內(nèi)容展開，“小結(jié)問題3”則啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)復(fù)習(xí)、歸類，這也是促進(jìn)學(xué)生圍繞某個(gè)專題深度思考的學(xué)法指導(dǎo)。

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.專題復(fù)習(xí)要回歸課本開展“學(xué)材再建構(gòu)”

專題復(fù)習(xí)課是期末復(fù)習(xí)階段的一種常見課型，一般由教師選定某個(gè)專題或主題之后選編出一些例題和練習(xí)題，再將其分成幾個(gè)題組進(jìn)行訓(xùn)練。在專題復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)先將目光投向教材，圍繞主題針對復(fù)習(xí)范圍內(nèi)教材各章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行全面檢索，對符合主題要求的習(xí)題或素材進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”。以上文“規(guī)律問題”復(fù)習(xí)課為例，我們先對人教版七年級上冊數(shù)學(xué)教材的各章內(nèi)容進(jìn)行了全面檢索，找出大量有關(guān)“規(guī)律”的習(xí)題或素材后，再篩選出各章典型的規(guī)律問題，根據(jù)問題的難易程度、前后關(guān)聯(lián)度分組并“排序”?；凇邦A(yù)設(shè)”要大于“生成”的考慮，選題、改編或拓展的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)盡量豐富一些，但是有些變式或拓展問題在具體教學(xué)時(shí)應(yīng)根據(jù)學(xué)情“相機(jī)”取舍。

需要指出的是，圍繞教材內(nèi)容進(jìn)行的習(xí)題改編或拓展還要重視“內(nèi)容效度”。比如在一次函數(shù)的單元復(fù)習(xí)時(shí)，教師以一次函數(shù)y=x+1的圖象（直線y=x+1）為背景，設(shè)計(jì)出諸如“求該直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的重心的坐標(biāo)”“原點(diǎn)O到直線y=x+1的距離”“設(shè)點(diǎn)P在直線y=x+1上，A（2，0），當(dāng)△POA的面積為5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)”等問題，從這類變式問題的解題步驟來看，很多關(guān)鍵步驟與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)關(guān)聯(lián)甚微，作為一次函數(shù)單元復(fù)習(xí)的選題與變式。上述“變式”從命題或測量學(xué)視角來看，“內(nèi)容效度”不高。

2.規(guī)律問題的教學(xué)要重視代數(shù)推理的訓(xùn)練

規(guī)律問題作為一類高頻問題是貫穿于小學(xué)、中學(xué)不同階段的，而且有些規(guī)律問題的情境或背景在不同學(xué)段都會(huì)出現(xiàn)，教學(xué)要求也體現(xiàn)出明顯的學(xué)段特征。具體到初中階段，當(dāng)學(xué)生具備了解釋或證明的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力時(shí)，便可安排其進(jìn)行推理證明。當(dāng)然，考慮到上文課例中主要關(guān)注七年級上學(xué)期的規(guī)律問題復(fù)習(xí)，把握好規(guī)律問題證明教學(xué)的“度”非常關(guān)鍵。在初中，證明應(yīng)該作為學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基本組成部分，這些經(jīng)驗(yàn)可能對學(xué)生理解證明起到進(jìn)一步深化和拓展的作用。上文課例“活動(dòng)3”中，我們改編了七年教材第1章“有理數(shù)”的一道例題，并提出“拓展問題”——“四位數(shù)能被3整除嗎”。這道代數(shù)推理題的原型出自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中的“案例66”，學(xué)生在小學(xué)階段已接觸過該題型，所以初中階段可以論證結(jié)論的正確性，讓學(xué)生在邏輯論證的過程中形成推理能力、培養(yǎng)科學(xué)精神。

3.精心預(yù)設(shè)過渡語追求“平滑轉(zhuǎn)場”效果

專題復(fù)習(xí)課離不開題組練習(xí)，不同題組的訓(xùn)練功能并不相同。為了做好不同題組之間的過渡或銜接，在不同題組出示之前應(yīng)預(yù)設(shè)簡要的過渡語，以達(dá)到不同教學(xué)環(huán)節(jié)之間的“平滑轉(zhuǎn)場”。上文復(fù)習(xí)課例中，我們在3個(gè)“活動(dòng)”前都預(yù)設(shè)了不同的“過渡語”，讓即將研究的規(guī)律問題的出示不要過于突然，盡可能讓學(xué)生感到規(guī)律問題是自然而然地產(chǎn)生的。與通過精心預(yù)設(shè)的“過渡語”可以達(dá)到“平滑轉(zhuǎn)場”的效果相比，各個(gè)教學(xué)活動(dòng)之間的前后呼應(yīng)更應(yīng)值得教師在課前預(yù)設(shè)時(shí)“苦心經(jīng)營”。比如，不少教師在組織八年級“變量與函數(shù)”（第1課）教學(xué)時(shí)，開課階段都會(huì)選用“某城市一日溫度變化圖”“汽車勻速行駛”“一根長為2cm的鐵絲圍成長方形”等生活現(xiàn)實(shí)來引出“變量”“常量”，進(jìn)一步分析、抽象、概括出函數(shù)的概念。但是在后續(xù)例題講評、習(xí)題訓(xùn)練的環(huán)節(jié)，又出現(xiàn)很多不同的生活現(xiàn)實(shí)背景，讓學(xué)生鞏固訓(xùn)練所學(xué)概念。筆者認(rèn)為，在鞏固訓(xùn)練階段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生“回看”開課階段的幾種生活現(xiàn)實(shí)背景，安排學(xué)生從函數(shù)的角度進(jìn)行分析研究，或者圍繞開課階段的幾類生活現(xiàn)實(shí)進(jìn)行變式設(shè)問、拓展提問。這樣的教學(xué)讓同類的問題背景或生活現(xiàn)實(shí)相關(guān)聯(lián)，串聯(lián)不同教學(xué)環(huán)節(jié)，再輔以簡要的“過渡語”（如“同學(xué)們，讓我們再回看開課時(shí)的勻速行駛問題”），可以帶領(lǐng)學(xué)生更快理解題意，讓學(xué)生思維聚焦在開課階段就熟悉的問題背景，避免出現(xiàn)“一題接一題”“每題背景都不一樣”的“刷題式”教學(xué)現(xiàn)象。

【參考文獻(xiàn)】

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［3］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.