壓電雙材料反平面問題的界面裂紋分析*

梅 杰 李 楊 李立杰 陳定方 宋 鋼

武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院 武漢 430063

0 引言

壓電材料具有機(jī)電耦合性，即力載荷可引起材料變形，進(jìn)而引起電場的改變，同時(shí)電場也會(huì)引起變形使應(yīng)力和裂紋尖端撕開位移發(fā)生改變，這種特性使其在現(xiàn)代工程中具有廣闊的應(yīng)用前景。研究表明，在多層壓電元件中，由于界面處材料成分和性質(zhì)的突變，常常導(dǎo)致界面處應(yīng)力集中，使界面處出現(xiàn)開裂或蠕變現(xiàn)象，從而大大縮短了壓電元件的使用壽命[1]。界面裂紋開始擴(kuò)展的應(yīng)力強(qiáng)度因子臨界值小于相應(yīng)的2 種單材料臨界值，在相同的臨界值作用下，界面裂紋的擴(kuò)展速率高于相應(yīng)2種單材料的擴(kuò)展速率。由此可見，界面是一個(gè)較薄弱的環(huán)節(jié)，與界面處的雜質(zhì)、孔洞等缺陷存在一致，這些缺陷對(duì)界面疲勞性能的弱化有很大影響。

壓電材料的研究多集中在單壓電材料斷裂和裂紋尖端場的各類強(qiáng)度因子，而對(duì)壓電雙材料的界面損傷研究較少，對(duì)正交各向異性壓電雙材料的界面端裂紋應(yīng)力分析則更少，故研究壓電雙材料界面裂紋意義重大。Wang X 等[2，3]研究了面外機(jī)械載荷作用下2 種不同壓電材料界面上的導(dǎo)電裂紋，發(fā)現(xiàn)了裂紋尖端的振蕩平方根奇異性，同時(shí)定義了一個(gè)復(fù)雜的電彈場濃度矢量以表征裂紋尖端附近的奇異場，并導(dǎo)出了能量釋放率的簡單表達(dá)式；Pak Y E[4]對(duì)壓電雙材料中動(dòng)態(tài)擴(kuò)展裂紋的近尖端應(yīng)力和電位移場進(jìn)行了解析求解，推導(dǎo)了裂紋張開位移和電位跳躍關(guān)于應(yīng)力和電位移強(qiáng)度因子的顯式表達(dá)式，導(dǎo)出了壓電雙材料中的界面裂紋與路徑無關(guān)的分離動(dòng)態(tài)J 積分；Choi S R 等[5，6]考慮了在機(jī)電載荷作用下2 個(gè)不同的橫觀各向同性壓電材料之間的3 個(gè)共線界面裂紋問題，得到了應(yīng)力強(qiáng)度和電位移強(qiáng)度因子的閉式解；Gherrous M等[7]分析了反平面機(jī)械載荷和平面內(nèi)電載荷作用下的半無限大雙壓電雙材料反平面界面三階Griffith 裂紋問題，利用傅立葉變換法，將壓電方程轉(zhuǎn)化為奇異積分方程組，并用切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行數(shù)值求解，得到應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移強(qiáng)度因子，并分析了材料參數(shù)對(duì)裂紋的影響；Lapusta Y 等[8]分析了雙材料在反平面機(jī)械和平面內(nèi)電載荷作用下的界面裂紋，導(dǎo)出了裂紋面的剪應(yīng)力、電場和機(jī)械位移跳躍的簡單解析表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)了剪切應(yīng)力、電場和電位移跳躍的奇異點(diǎn)，其強(qiáng)度因子也被確定；Onopriienko O 等[9]考慮了在面外機(jī)械載荷和面內(nèi)電場作用下裂紋面處具有多種邊界條件的裂紋，得到了壓電材料界面在反平面機(jī)械和平面電載荷作用下導(dǎo)電裂紋的鍵區(qū)模型。目前，尚未有關(guān)于含界面裂紋的半無限壓電雙材料結(jié)構(gòu)的電彈性行為的主要工作。

本文研究了含界面邊裂紋的壓電雙材料在2 種組合機(jī)電載荷電場作用下壓電雙材料界面裂紋的擴(kuò)展情況。利用邊界配置法，求出了壓電介質(zhì)為橫觀各向同性的壓電雙材料的應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率的表達(dá)式，并從材料屬性、邊界條件和邊界配置法3 個(gè)方面分析了影響應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率的因素。相比Nishioka T 等[10]導(dǎo)出的J 積分，本文得到了界面裂紋擴(kuò)展的應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率；文獻(xiàn)[7]～文獻(xiàn)[9]只給出了應(yīng)變、電場、應(yīng)力和電位移中部分表達(dá)式，本文得到了應(yīng)變、電場、應(yīng)力和電位移的解析表達(dá)式；界面模式Ⅲ裂紋在半平面結(jié)構(gòu)(2 種不同厚度的粘結(jié)壓電材料在力—電載荷作用下)的情況尚未研究。

1 正交同性反平面問題的基本方程

對(duì)于反平面問題，位移和電場強(qiáng)度分量為

控制微分方程為

式中：c44為彈性常數(shù)，e15為壓電常數(shù)，Y11為介電常數(shù)，φ為電勢，2為拉普拉斯算子。

對(duì)于一般的壓電材料，存在以下關(guān)系

將式（3）帶入式（2）可得

應(yīng)變和電場強(qiáng)度分量為

本構(gòu)方程為

正交異性壓電雙材料板反平面界面端裂紋如圖 1，xoy平面為正交同性界面；C44[1]、e15[1]、Y11[1]為壓電介質(zhì)Ⅰ的材料常數(shù)，C44[2]、e15[2]、Y11[2]為壓電介質(zhì)Ⅱ的材料常數(shù)；在界面上預(yù)設(shè)了一道邊裂紋，a為裂紋長度，b為材料長度，h為材料厚度。

圖1 為含邊裂紋壓電雙材料裂紋擴(kuò)展模型。情況1為模型受到剪應(yīng)力τyz＝τ0和面內(nèi)電載荷D0作用；情況2 為模型受到剪切位移γyz＝γ0和面內(nèi)電載荷D0作用。x軸沿界面方向，z軸為壓電材料的極化方向。在此，先分析情況1，得邊界條件為

圖1 正交同性壓電雙材料板

當(dāng)θ＝±π 時(shí)

當(dāng)θ＝0 時(shí)

當(dāng)x＝-a或x＝b-a，∣y∣≤h時(shí)

2 橫觀各向同性反平面問題的解

在式中，i取1、2，分別表示壓電材質(zhì)Ⅰ、電材質(zhì)Ⅱ。若要使位移和電勢滿足式（4），則位移和電勢應(yīng)為

式中：Ain、Bin、Cin、Din分別為待定常數(shù)，由具體問題的邊界條件確定；λin為特征值，由裂紋面的邊界條件和界面處的連續(xù)條件來確定。

設(shè)uz(r，θ)＝H(r)J(θ)′，φz(r，θ)＝K(r)L(θ)，則式（4）可表示為

在極坐標(biāo)系下，拉普拉斯算子為

將式(11)帶入式(10)得

將uz(r，θ)＝H(r)J(θ)′、φz(r，θ)＝K(r)L(θ)帶入式(12)得

由于2 個(gè)方程相同，下面以推導(dǎo)其中一個(gè)為例，由式(13)的上半式兩邊同時(shí)除以可得

令式（14）等于λi得方程組為

進(jìn)而通解為

由式(15)得

式(17)為歐拉方程，經(jīng)歐拉公式推導(dǎo)可得

當(dāng)r→0 時(shí)，，故Nn＝0，可得

將式（16）、式（19）帶入uz(r，θ)得

其中

由此，式(20)可進(jìn)一步寫為

同理

將uz（r，θ）和φz（r，θ）分別對(duì)y求導(dǎo)得

由式（29）～式（31）解得

考慮到反平面問題，式（33）中略去了對(duì)稱項(xiàng)，故界面裂紋在壓電介質(zhì)Ⅰ中可得

介質(zhì)Ⅰ中的應(yīng)變和電場強(qiáng)度表達(dá)式為

介質(zhì)Ⅰ中的應(yīng)力和電位移表達(dá)式為

在裂紋尖端附近，第一項(xiàng)為主項(xiàng)，其余各項(xiàng)可忽略不計(jì)。令K1τ為介質(zhì)Ⅰ中的應(yīng)力強(qiáng)度因子，即有

同理，類似的結(jié)果也可對(duì)壓電介質(zhì)Ⅱ?qū)懗?。由式?7）可知，在裂尖處應(yīng)力具有 1/2 階的奇異性，介質(zhì)Ⅰ、介質(zhì)Ⅱ的應(yīng)力強(qiáng)度因子相同，與文獻(xiàn)[11]的結(jié)論一致。在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)行了應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率研究，從多方面分析了影響應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率的因素。

用YⅢ表示無量綱的Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，即YⅢ＝Kτ/K0，其中。

由此可知邊界條件式（7a）、式（7b）與平衡方程均已滿足，只有加載條件與式（7c）為滿足；可用邊界配置法進(jìn)行求解，從而確定系數(shù)通過求出應(yīng)力強(qiáng)度因子。采用邊界配置法求解壓電材料的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

同理，在第2 種加載情況下，裂紋尖端附近，第1項(xiàng)為主項(xiàng)，其余各項(xiàng)可忽略不計(jì)。令Kiγ（i＝1，2）是介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的應(yīng)變強(qiáng)度因子，即

能量釋放率G可表示為

進(jìn)而，繼續(xù)采用邊界配置法求出k1(1)、k1(2)、a1(1)和a1(2)。

如圖1 所示，左右、上下半邊界的配點(diǎn)數(shù)為N1，上下邊界的配點(diǎn)數(shù)為N2?；窘庵械募?jí)數(shù)取前M項(xiàng)，在一個(gè)點(diǎn)上可得到2 個(gè)含有2M個(gè)未知數(shù)的方程；如果2N1+N2的個(gè)數(shù)與M相等，則可求出2M個(gè)未知數(shù)。但是，為了避免奇異矩陣或病態(tài)矩陣，通常2N1+N2的個(gè)數(shù)大于M的個(gè)數(shù)，求最小二乘解。

3 配點(diǎn)數(shù)和冪級(jí)數(shù)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率的影響

3.1 配點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響

考慮應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率與配點(diǎn)個(gè)數(shù)N1、N2的變化關(guān)系，在第1 種加載情況下的取比值a/b＝0.3，h/b＝0.1，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M＝30，τ0＝4.2×106Pa，配點(diǎn)個(gè)數(shù)2N1+N2由5 變化到60，結(jié)果如圖2 所示。

圖2 配點(diǎn)個(gè)數(shù)與應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系

考慮能量釋放率G與配點(diǎn)個(gè)數(shù)N1、N2的變化關(guān)系，取比值a/b＝0.05，h/b＝1，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M＝25，γ0＝6.2×10-5，D0＝5×10-3C/m2，配點(diǎn)個(gè)數(shù)2N1+N2由5 變化到50，結(jié)果如圖3 所示。

圖3 配點(diǎn)個(gè)數(shù)與能量釋放率的關(guān)系

由圖2 可知，在第1 種加載情況下，當(dāng)a/b＝0.05、h/b＝1、冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M＝25 不變時(shí)，邊界配點(diǎn)數(shù)為5 ～15 時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨邊界配點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加從1.326 7 減小到1.311 8；在配點(diǎn)數(shù)為20 時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子增加到1.338 5；在配點(diǎn)數(shù)為20 ～35 時(shí)，值逐漸減小到1.326 5；當(dāng)配點(diǎn)數(shù)為35 ～60 時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子的值基本維持在1.326 5 左右，只有小數(shù)點(diǎn)后的三四位在變化。在第2 種加載情況下，當(dāng)a/b＝0.05，h/b＝1，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M＝25，在圖3 中能量釋放率從配點(diǎn)數(shù)為15 時(shí)的12.425 4 逐步減小到配點(diǎn)數(shù)為30 時(shí)的9.078 2；當(dāng)配點(diǎn)數(shù)為30 ～60 時(shí)，能量釋放率的值基本維持在9.078 2 左右。當(dāng)N1、N2足夠大時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率的值基本上不隨配點(diǎn)數(shù)的改變而變化，說明在邊界配點(diǎn)數(shù)足夠多時(shí)其對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率的影響不大。

3.2 冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M 的影響

考慮第1 種加載情況下應(yīng)力強(qiáng)度因子YⅢ與冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M的變化關(guān)系。取比值a/b＝0.3，h/b＝0.1,τ0＝4.2×106Pa，左右兩邊配點(diǎn)數(shù)N1＝20，上邊界上的配點(diǎn)個(gè)數(shù)為N2＝40，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M由15 變化到60，可得圖4 所示關(guān)系。

圖4 冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M 與應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系

考慮能量釋放率與冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M的變化關(guān)系。取比值a/b＝0.05，h/b＝1，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M＝25，γ0＝6.2×10-5，D0＝5×10-3C/m2，左右兩邊配點(diǎn)數(shù)N1＝20，上邊界上的配點(diǎn)個(gè)數(shù)為N2＝40，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M由5 變化到60，可得圖5 所示關(guān)系。

圖5 冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M 與能量釋放率的關(guān)系

由圖4 可知，在第1 種加載情況下，當(dāng)a/b＝0.3、h/b＝0.1、配點(diǎn)數(shù)N1＝20 不變、冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子YⅢ的值變化最大幅度為0.013 0，基本不發(fā)生變化；當(dāng)點(diǎn)數(shù)較少、應(yīng)力強(qiáng)度因子出現(xiàn)波動(dòng)情況、M＝15 ～17 時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子增加；當(dāng)M＝17 ～33 時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子持續(xù)減小，值到達(dá)1.344 9；當(dāng)M＝33 ～60 時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子穩(wěn)定在1.344 9。由圖10可知，在第2種加載情況下，當(dāng)a:b:h＝1:50:50、a＝0.01 m、配點(diǎn)數(shù)N1＝20 不變、冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，能量釋放率的值由大到小；當(dāng)冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)較少時(shí)，能量釋放率的值較大，隨冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加值逐漸減小并趨于穩(wěn)定，這與應(yīng)力強(qiáng)度因子類似；當(dāng)冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)增加到22 時(shí)，能量釋放率的值趨于穩(wěn)定。

如前所述，邊界配置法的收斂性和穩(wěn)定性是有價(jià)值和參考意義的，與文獻(xiàn)[12]結(jié)論相似。由此，第1 種加載情況下的配點(diǎn)數(shù)取30，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)取33；第2 種加載情況下的配點(diǎn)數(shù)取35，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)取22。

4 應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響因素

4.1 a/b 和h/b 對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

壓電材料Ⅰ、Ⅱ分別采用PZT-6B、PZT-5H 壓電陶瓷，材料常數(shù)如表1 所示[13]。

表1 壓電陶瓷的材料參數(shù)

得到τ0＝4.2×106Pa 時(shí)不同a/b和h/b條件下的Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，如圖6 所示。

圖6 應(yīng)力強(qiáng)度因子YⅢ在不同a/b 和h/b 條件的值

在圖6 中，曲線趨勢與文獻(xiàn)[14]、文獻(xiàn)[15] 對(duì)普通材料的分析結(jié)果類似。在4 種不同h/b值下，應(yīng)力強(qiáng)度因子都隨著a/b的值增加而增大；4 種h/b比值中，h/b＝0.1 時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子最大，h/b＝1 時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子最小；在a/b值為0.1、0.9 時(shí)，4 種不同h/b的壓電雙材料尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子差值最小，數(shù)值最接近。h/b＝0.1 應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化趨勢與其他3 種不同，其他3 種h/b在a/b小于0.7 時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子均緩慢增長，且數(shù)值較??；當(dāng)a/b大于0.7時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子開始快速增加，而當(dāng)h/b＝0.1 時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子增長速度比其他3 種變化較?。划?dāng)長度b一定、材料高度h減小時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子增加，但高度h的減小對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的增加作用大于長度b的增大。

4.2 電位移D0 對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

圖7 為τ0＝4.2×106Pa、a/b＝0.3 時(shí)，不同h/b值的YⅢ隨外加電位移D0的變化關(guān)系圖。本文采用邊界配置法分析了矩形橫觀各向同性壓電雙材料界面裂紋在反平面剪切載荷和平面內(nèi)電載荷作用下的電彈性問題，將線彈性斷裂力學(xué)的傳統(tǒng)概念擴(kuò)展到壓電效應(yīng)，并將結(jié)果通過應(yīng)力強(qiáng)度因子表示出來。由圖7 可知，應(yīng)力強(qiáng)度因子在恒定應(yīng)力載荷作用下不受電載荷影響，與電位移無關(guān)，但受到材料厚度與長度比的影響，厚度比越小，應(yīng)力強(qiáng)度因子越大。

圖7 應(yīng)力強(qiáng)度因子與電位移D0

5 影響能量釋放率的因素

5.1 電位移D0 對(duì)能量釋放率的影響

圖8 為反平面載荷為剪切力時(shí)，取不同h/b值的G/Gcr隨外加電位移 的變化關(guān)系。圖9 為反平面載荷為剪切應(yīng)變時(shí)，取γ0＝6.2×10-5、a:b:h＝1:50:50、a＝0.01 m，不同冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)計(jì)算出的G/Gcr隨外加電位移D0的變化關(guān)系圖。

圖8 反平面載荷為剪切力時(shí)能量釋放率G 與D0 的關(guān)系

圖9 反平面載荷為剪切應(yīng)變時(shí)能量釋放率G 與D0 的關(guān)系

由圖8 可知，在第1 種加載情況下，能量釋放率G與D0無關(guān)，與外加剪切載荷τ0有關(guān),且τ0越大能量釋放率越大；由式（37）可知k1(1)和k1(2)的大小與D0無關(guān)；由式（38）、式（39）可知，K1γ、K2γ僅與t1k1(1)、t2k1(2)有關(guān)，而與D0無關(guān)；結(jié)合式（37）～式（39）可得到能量釋放率G與D0無關(guān)。由此，在第1 種加載情況下，能量釋放率G只與外加剪切載荷τ0有關(guān)而與電位移D0無關(guān)；第2 種加載情況下能量釋放率G與外加剪切應(yīng)變?chǔ)?和電位移D0有關(guān)；G/Gcr總為正值，零點(diǎn)在外加電位移D0等于零的位置，與文獻(xiàn)[16]結(jié)論一致，但與文獻(xiàn)[17]的不同。文獻(xiàn)[17]采用不可滲透條件，得出第1 種加載情況下的能量釋放率G與D0有關(guān)，且可取負(fù)值。

5.2 彈性模量對(duì)能量釋放率的影響

本文控制PZT-5H 的參數(shù)不變，對(duì)PZT-6B 的彈性模量進(jìn)行改變，取PZT-6B 的彈性模量彈性分別為25 GPa、30 GPa、35 GPa、40 GPa、45 GPa、50 GPa、55 GPa、60 GPa、65 GPa，得到圖10 所示能量釋放率G隨彈性模量的變化。由圖10 可知，能量釋放率G隨材料彈性模量的增大而減小，且能量釋放率減小的幅度降低，減小幅度由C44＝25×109N/m2時(shí)的1.2×10-9m2/N 變?yōu)镃44＝65×109N/m2時(shí)的2.52×10-11m2/N，即材料彈性模量的增大能明顯的阻礙裂紋擴(kuò)展。

圖10 材料彈性模量對(duì)能量釋放率G 的影響

6 近年文獻(xiàn)研究分析

表2 給出了2016 年～2022 年參考文獻(xiàn)的研究內(nèi)容對(duì)比，主要進(jìn)行了載荷類型、材料類型和研究方法的對(duì)比。在裂紋形式上，本文與表中文獻(xiàn)都不同，研究的是壓電雙材料的邊裂紋擴(kuò)展，表中文獻(xiàn)均為中心裂紋，研究方法上采用了較有限元法更簡單的邊界配置法；載荷形式上，分析了2 種多場耦合下的壓電雙材料裂紋擴(kuò)展，表中論文均只考慮了一種多場耦合條件下的壓電雙材料裂紋擴(kuò)展。

表2 近年文獻(xiàn)研究內(nèi)容對(duì)比

7 結(jié)論

1）在裂尖處，應(yīng)力具有1/2 階的奇異性；式(37)可看出介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的應(yīng)力強(qiáng)度因子是相同的。

2）應(yīng)力強(qiáng)度因子的大小與材料的尺寸比有關(guān)，當(dāng)材料長度b和材料厚度h不變時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂紋長度a的增加而增加；當(dāng)材料長度b和裂紋長度a不變時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著材料厚度h的增加而減小。

3）在外加剪切載荷作用下，應(yīng)力強(qiáng)度因子與外加電場的大小無關(guān)，能量釋放率與外加電場的大小無關(guān)，但與外加剪切載荷τ0有關(guān)；而當(dāng)外加剪切載荷變?yōu)榧羟袘?yīng)變時(shí)，能量釋放率與外加電場的大小有關(guān)，且總為正值，零點(diǎn)約在外加電位移為零處。

4）能量釋放率還與材料的彈性模量有關(guān)，能量釋放率隨材料彈性模量的增大而減小，且能量釋放率減小的幅度降低，即材料彈性模量的增大有明顯的止裂作用。冪級(jí)數(shù)個(gè)數(shù)和邊界配點(diǎn)數(shù)都對(duì)邊界配置法的值有影響，當(dāng)冪級(jí)數(shù)個(gè)數(shù)和邊界配點(diǎn)數(shù)較少時(shí)邊界配置法得出的值與真實(shí)值之間存在差距，但隨著冪級(jí)數(shù)個(gè)數(shù)和邊界配點(diǎn)的增加，邊界配置法求出的值逐漸趨于穩(wěn)定，更接近真實(shí)情況。