巧用學(xué)習(xí)材料 賦能數(shù)學(xué)建模
——《倍的認(rèn)識》教學(xué)設(shè)計(jì)與評析

執(zhí)教 嚴(yán)慶 評析 倪芳華

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版三年級上冊第4～6 頁例3 和“想想做做”第1～4 題。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)鋪墊，回憶算法

口答下面填空題

3 個5 是（）

8 里面有（）個2

【評析：口答填空題，從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，旨在銜接舊知，對接經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生對“求幾個幾相加用乘法計(jì)算”和“求一個數(shù)里面有幾個另一個數(shù)，用除法計(jì)算”的回憶和思考，為新知的學(xué)習(xí)做好鋪墊?！?/p>

二、自主探究，構(gòu)建新知

1.出示主題圖

（1）自主探究

學(xué)生匯報：一號花壇里有2朵藍(lán)花，6 朵紅花。紅花比藍(lán)花多4 朵，還可以說藍(lán)花比紅花少4朵。算式：6-2=4（朵）。

（2）引入新課

師：我們已經(jīng)學(xué)過用多或少來表示數(shù)量之間的關(guān)系，其實(shí)數(shù)量之間還可以用“倍”來表示，想知道怎么表示嗎？我們一起來研究。（板書課題：倍的認(rèn)識）

2.初步建立“倍”的概念

（1）初步感知

師：如果把2 朵藍(lán)花圈起來表示1 份，紅花有這樣的幾份呢？

①在《作業(yè)紙》上圈一圈、數(shù)一數(shù)、畫一畫。

②交流：是怎樣圈的？幾朵一圈？紅花圈了這樣的幾份？

指出：把2 朵藍(lán)花看作1 份，紅花有這樣的3 份；也就是說紅花有3 個2 朵，可以說成紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的3 倍。

（2）自主構(gòu)建

出示：藍(lán)花2 朵，紅花8 朵。

提問：藍(lán)花2 朵。紅花比原來的多了2 朵，現(xiàn)在紅花是藍(lán)花的幾倍呢？

請大家在《作業(yè)紙》上圈一圈、填一填。紅花有（ ）個2 朵，紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的（ ）倍。

（3）探索算法

師：如果分別用○和△表示藍(lán)花和紅花的朵數(shù)，你能在《作業(yè)紙》上表示紅花是藍(lán)花的6 倍嗎？

師：藍(lán)花有2 朵，紅花有12朵，12 里面有幾個2？除了圈一圈，還可以用什么方法計(jì)算？

師：12÷2=6。這里的12 表示什么？2 和6 呢？注意“倍”表示兩個數(shù)量之間的關(guān)系，不是具體的數(shù)量，所以得數(shù)后面不需要寫“倍”。

比較：這3 道題都是把什么看作一份數(shù)？什么沒有變？什么變了？為什么？

小結(jié)：剛才我們都是把藍(lán)花看作一份，紅花有這樣的幾份就是藍(lán)花的幾倍。

【評析：課始，教師創(chuàng)設(shè)了兩個量比較的問題情境，從“差比”過渡到“倍比”，構(gòu)建了新舊知識的關(guān)聯(lián)。通過圈一圈把藍(lán)花圈成1份，紅花有這樣的3 份；紅花有3個2 朵，引出“倍”：紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的3 倍。接著，標(biāo)準(zhǔn)量也就是一份量不變，比較量變成8 朵、12朵，在圈一圈、畫一畫、擺一擺、比一比等數(shù)學(xué)活動中，讓學(xué)生感受到隨著紅花朵數(shù)的改變，紅花與藍(lán)花的倍數(shù)關(guān)系也在變。理解“幾倍”與“幾個幾”之間的聯(lián)系。初步建立“倍”的認(rèn)知模型。借助直觀圖，再算一算，將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引導(dǎo)到“一個量里包含幾個另一個量就是它的幾倍”，幫助學(xué)生建立“倍”的概念意義?！?/p>

3.深刻理解“倍”的概念

師：接著我們來研究二號花壇里的數(shù)學(xué)問題。有3 朵藍(lán)花，6 朵紅花。紅花的朵數(shù)還是藍(lán)花的3 倍嗎？先圈一圈，再和同桌說一說。

提問：為什么是2 倍而不是3倍呢？

學(xué)生匯報：這里藍(lán)花的一份是3 朵，紅花3 朵一圈，圈了2份，紅花有2 個3 朵，就說紅花是藍(lán)花的2 倍。

強(qiáng)調(diào)：這里是把3 朵藍(lán)花看作一份，紅花有這樣的幾個3，就是幾倍。倍數(shù)是以誰為一份，它有這樣的幾份。在圈的時候不能隨意去圈，要根據(jù)一份的朵數(shù)來圈。

師：紅花不變，如果藍(lán)花變成1 朵，紅花是藍(lán)花的幾倍？如果藍(lán)花變成6 朵，紅花是藍(lán)花的幾倍？你能用圓片和三角擺一擺或畫一畫其他倍數(shù)嗎？

課件出示：

指出：比較量沒變，一份的量變了，它們之間的倍數(shù)關(guān)系也就變了。看來，我們在比較的時候，確定一份的量很重要。第4 幅作品，“1 倍”說明兩種花的朵數(shù)同樣多。可以說成紅花是藍(lán)花的1 倍，也可以說成藍(lán)花是紅花的1 倍。

歸納小結(jié)：把一個數(shù)量看作一份，另一個數(shù)量有這樣的幾份，就是它的幾倍，可以用除法計(jì)算。

4.在變化中發(fā)展“倍”

師：任務(wù)二中要想變成紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的3 倍，藍(lán)花不變，紅花應(yīng)該怎么辦？藍(lán)花變成1 朵呢？紅花怎么辦？

生1：藍(lán)花不變，再增加3 朵紅花，紅花的朵數(shù)就是藍(lán)花的3 倍。

生2：藍(lán)花變成1 朵時，去掉3 朵紅花，紅花的朵數(shù)就是藍(lán)花的3 倍。

師：現(xiàn)在藍(lán)花不變，紅花增加1 朵，還能用整數(shù)倍表示嗎？

師：當(dāng)我們無法用整數(shù)倍表示的時候，可以用幾倍多幾或幾倍少幾來表示。

小結(jié)：倍數(shù)和比多少雖然都是比較關(guān)系，但是是有區(qū)別的。比多少表示多幾個或少幾個，而倍數(shù)是以誰為一份，它有這樣的幾份。

【評析：在研究二號花壇里兩種花的倍數(shù)關(guān)系時，教師分別呈現(xiàn)了一個正例和一個錯例，在新的矛盾沖突中，促使學(xué)生在比較中思考，體會“一份數(shù)”與“幾份數(shù)”之間的關(guān)系。接著，教師設(shè)計(jì)了三個層次的研學(xué)活動，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，學(xué)會深度思考。一是比較量不變，標(biāo)準(zhǔn)量改變；二是標(biāo)準(zhǔn)量、比較量都改變，但都是3 倍關(guān)系；三是兩個量不是整倍數(shù)的關(guān)系。學(xué)生在做中學(xué)、學(xué)中思、思中做，進(jìn)一步明確兩個量比較時，把數(shù)量少的看作一份，另一個量有這樣的幾份就是幾倍。讓學(xué)生在“變”與“不變”中，深刻理解“倍”的意義，形成“倍”的思維模型。】

三、鞏固練習(xí)，拓展延伸

1.填一填

下面帶子的長度是上面帶子的（ ）倍。

（2）先量一量，再填一填。求出第一條線段的長度是第二條的多少倍。（課件演示將帶子直條圖變成線段圖）

2.算一算

（1）看下圖，這里散落擺放的花朵，你能用什么方法很快知道紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？（12 里面有幾個3，用除法計(jì)算）

（2）月季花7 盆，菊花35 盆，菊花的盆數(shù)是月季花的幾倍？（圖略）

3.畫一畫

請?jiān)O(shè)計(jì)一個你喜歡的倍數(shù)，并說一說。

【評析：鞏固練習(xí)的三個層次，運(yùn)用“倍”的知識進(jìn)行判斷、操作、運(yùn)算、創(chuàng)造，深化“倍”的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在圖像表征、操作表征、語言表征等多元表征中，凸顯“倍”的本質(zhì)，“倍”如同比多少一樣，都是比較兩個量時得到的一種關(guān)系，但本質(zhì)是不一樣的。倍數(shù)關(guān)系是由標(biāo)準(zhǔn)量和比較量共同決定的。抽象的數(shù)學(xué)概念教學(xué)在有趣的情境、豐富的活動、多維的思考中落地生根?！?/p>

四、回顧總結(jié)，提升認(rèn)識

師：今天我們學(xué)習(xí)了什么新知識，你對“倍”有哪些認(rèn)識？我們通過什么方法來認(rèn)識“倍”呢？生活中“倍”的現(xiàn)象也很多，請同學(xué)們試著找一找、說一說。

【課后總評】

《倍的認(rèn)識》是學(xué)生構(gòu)建乘法結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵課，具有重要的研究意義和價值。本節(jié)課的起點(diǎn)是學(xué)生已經(jīng)會比較兩個數(shù)量之間的相差關(guān)系及已有表內(nèi)乘除法的認(rèn)識。教學(xué)時，教師借助知識遷移從“差比”引入“倍比”，精選鮮活的學(xué)習(xí)素材，采用動作表征、形象表征、符號表征、言語表征等多元表征，促進(jìn)概念的意義建構(gòu)，巧設(shè)練習(xí)實(shí)現(xiàn)概念鞏固和深化。整節(jié)課，教師引領(lǐng)著學(xué)生較好地經(jīng)歷了“倍”概念的形成過程，建構(gòu)了“倍”的數(shù)學(xué)模型。

一、任務(wù)驅(qū)動，開啟思維之門

問題是數(shù)學(xué)的心臟。思維因問題而發(fā)動，因問題而深入?！氨丁钡母拍钤从诒容^，課始，教師設(shè)計(jì)研學(xué)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，兩個數(shù)量的比較可用“相差關(guān)系”表示，還可用“倍數(shù)關(guān)系”表示，從而引出“倍”的概念。先利用“幾個幾”引出“倍”的含義，再從除法的角度解讀“倍”的概念。當(dāng)比較量（6 朵紅花）沒變，一份的量（2 朵藍(lán)花）變了，倍數(shù)會發(fā)生怎樣的變化呢？引導(dǎo)學(xué)生在錯例辨析和自主操作中，打破思維定勢，讓“倍”的表象在頭腦中更清晰，體會到以一個數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，另一個數(shù)里有這樣的幾份就是它的幾倍，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)會思維。

二、情境創(chuàng)設(shè)，引領(lǐng)思維進(jìn)階

用真實(shí)情境與核心問題引發(fā)和驅(qū)動數(shù)學(xué)思維。教師抓住了情境脈絡(luò)和認(rèn)知脈絡(luò)兩條線有序組織教學(xué)活動。在真實(shí)有效的情境中滲透著審美教育和勞動教育，以兩個花壇里的藍(lán)花和紅花的朵數(shù)為素材，巧設(shè)變式訓(xùn)練，激活學(xué)生思維。在變換的現(xiàn)實(shí)情境中，讓學(xué)生深刻感悟到“倍”是比出來的，“倍”跟“幾個幾”有關(guān)系，“倍”可以看作一種運(yùn)算。教師把準(zhǔn)了認(rèn)知起點(diǎn)，課前，復(fù)習(xí)舊知，回憶了算法；課始，從“差比”引出“倍比”，在多維表征中，初步建立“倍”的模型；課中，在“變”與“不變”的比較辨析中，在數(shù)與形的對應(yīng)轉(zhuǎn)換中，深刻理解“倍”概念的本質(zhì)；課后，在填一填、算一算、畫一畫等多樣性、趣味性的練習(xí)中，提升學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)的能力。找一找生活中“倍”的現(xiàn)象，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，感受數(shù)學(xué)就在身邊。

三、學(xué)習(xí)進(jìn)階，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

教師精心設(shè)計(jì)了相互聯(lián)系、步步遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維不斷進(jìn)階。一是搭建思維支架，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。先從兩種花的數(shù)量比較開始，打通新舊知識跨越進(jìn)階的節(jié)點(diǎn)；再進(jìn)行靈活的變式學(xué)習(xí)活動：標(biāo)準(zhǔn)量不變、比較量變化；標(biāo)準(zhǔn)量變化、比較量不變；標(biāo)準(zhǔn)量和比較量都變化。催生學(xué)生深度思考、探究，促進(jìn)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階。二是搭建知識支架，讓思維更加有效。教師巧妙選用學(xué)習(xí)材料，聯(lián)通生活經(jīng)驗(yàn)，從實(shí)物到圖形，從圖形到線段，從操作到計(jì)算，實(shí)現(xiàn)從直觀思維向抽象思維發(fā)展。在實(shí)際操作中，讓概念可視化。在辨析異同中，發(fā)展推理能力。在“學(xué)思行”融合中，把握“倍”概念的本質(zhì)，“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”，實(shí)際是“求一個數(shù)里有幾個另一個數(shù)”。逐步感悟比較、抽象、歸納等數(shù)學(xué)思想，推動學(xué)生的認(rèn)知水平“拾級而上”，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效進(jìn)階。