擺式懸吊調(diào)諧質(zhì)量阻尼器基于慢變參數(shù)法的非線性優(yōu)化研究

陳倩敏,譚 平*,向 越

(廣州大學 a.土木工程學院; b.工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室,廣東 廣州 510006)

外界激勵作用下(風、地震等)會給結(jié)構(gòu)帶來過大的動力響應,甚至給結(jié)構(gòu)帶來不可逆轉(zhuǎn)的損傷。目前,已有的消能減振方式,包括被動控制方式、主動控制方式、半主動控制方式及主、被動混合控制方式。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper,TMD)是一種基于吸能減振機理在實際工程中應用較為廣泛的減振系統(tǒng)。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的形式多樣,其中擺式懸吊調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Pendulum Tuned Mass Damper,PTMD)是TMD的一種特殊形式,由質(zhì)量體、擺繩及阻尼部件等組成,其作用機理是在外界激勵作用下,慣性質(zhì)量產(chǎn)生擺動,從而對主結(jié)構(gòu)產(chǎn)生反方向的慣性作用,以此來減小主結(jié)構(gòu)的動力響應。近些年,有許多學者對PTMD展開了研究。Sun等[1]提出了三維自適應擺式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器,及一種自適應實時調(diào)諧算法。呂江等[2]提出了一種新型擺式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器。Wang等[3]提出了擺錘式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Pendulum Pounding Tuned Mass Damper,PPTMD),并對參數(shù)進行了優(yōu)化。Christie等[4]提出了一種可變共振磁流變液擺式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器,能利用可控差動變速器中的旋轉(zhuǎn)磁流變阻尼器來增加擺錘的剛度。Qiu等[5]研究了軸向磁擺調(diào)諧質(zhì)量阻尼器,提出了一種磁擺TMD動態(tài)參數(shù)的辨識方法。Xiang等[6]提出了一種自復位擺式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器。

PTMD存在明顯的非線性特征,許多研究是基于小擺角的前提下將其等效線性化的。Gerges等[7]推導了無主結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系的頻響函數(shù),以主結(jié)構(gòu)的位移均方差為優(yōu)化目標對PTMD進行參數(shù)優(yōu)化。如果PTMD的振幅較小,可以將PTMD-結(jié)構(gòu)體系看作是線性的,但當PTMD的擺角超過一定限值時,PTMD擺角非線性的影響則不可忽略,這種非線性會造成結(jié)構(gòu)的失諧,甚至加大結(jié)構(gòu)的動力響應。激勵強度的增大也會增加PTMD-結(jié)構(gòu)體系的非線性,等效線性化的模型高估了PTMD的減振性能。Roffel等[8]研究了多自由度結(jié)構(gòu)與非線性擺式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器耦合的三維運動動力響應。Zhang[9]對非線性振動系統(tǒng)提出了一種參數(shù)為x的局部精確修正中點規(guī)則。Sharif-Bakhtiar等[10]和Brzeski等[11]采用諧波平衡法和Floquet理論分析了具有阻尼的離心擺式減振器在主系統(tǒng)和擺系統(tǒng)中的非線性動力響應,并對強非線性吸振器進行了數(shù)值優(yōu)化。Xu等[12]和Viet等[13]研究了在諧波激勵下PTMD非線性對單自由度系統(tǒng)減振控制的影響,并利用諧波平衡法對不同激勵幅值下考慮PTMD擺角非線性與等效線性化系統(tǒng)得到的結(jié)果進行了對比分析。Colherinhas等[14]和García等[15]對擺式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器進行了優(yōu)化設計研究。

進行PTMD設計時,考慮非線性因素帶來的影響是十分必要的。在非線性模型中,由于非線性項的存在,頻率響應函數(shù)很難得到解析表達式。孫毅等[16]和Li等[17]研究了TMD剛度高次非線性對TMD振動控制性能的影響,他們首先考慮非線性因素建立了單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系模型,同時采用Krylov-Bogoliubov慢變參數(shù)法,推導了諧波激勵下平動單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD非線性系統(tǒng)的頻響函數(shù),并用數(shù)值法對頻響函數(shù)進行驗證,將其與等效線性模型在不同激勵幅值下的頻率響應進行對比;接著,分別基于H2、H∞準則對非線性模型下的PTMD進行參數(shù)優(yōu)化設計,得到了不同激勵幅值下的最優(yōu)參數(shù),并與等效線性模型下的優(yōu)化參數(shù)進行對比;最后,分別采用3種最優(yōu)參數(shù)對比分析了某超高結(jié)構(gòu)在簡諧激勵下的時程響應。

1 單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系的運動方程

本文討論的PTMD理論模型包括剛性擺桿、懸吊質(zhì)量塊和阻尼元件。為了便于分析,不設置線性彈簧,僅考慮結(jié)構(gòu)自定心剛度,即懸吊質(zhì)量塊的重力提供恢復力,擺桿一端與主結(jié)構(gòu)鉸接,一端與擺球質(zhì)量固接,僅考慮單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD在二維平面內(nèi)運動。本文假定主結(jié)構(gòu)為單自由度模型,理論模型如圖1所示。

圖1 單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系模型

以擺桿在簡化單自由度主結(jié)構(gòu)連接點初始位置為原點建立如圖1所示的坐標系。圖中,m1、k1、c1分別為主結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度及阻尼系數(shù),m2、k2、c2分別表示PTMD質(zhì)量、附加剛度和阻尼系數(shù),該模型中不考慮附加剛度,即k2=0,L表示PTMD的有效擺長,PTMD質(zhì)量塊擺動的角度(擺角)用θ表示。x1為主結(jié)構(gòu)相對于地面沿水平向(x軸)的位移,x2為PTMD質(zhì)量塊相對于主結(jié)構(gòu)的水平位移,z2為PTMD質(zhì)量塊在坐標系z軸上的坐標。

結(jié)合線性懸吊結(jié)構(gòu)體系運動方程推導以及PTMD阻尼元件的力學模型,采用拉格朗日方程推導單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系運動方程。

(1)

T、V分別表示單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系的動能和勢能,表示非保守力做的功,廣義坐標qk分別為x1、θ。

(2)

(3)

L=T-V,

(4)

(5)

將式(2)～式(5)代入式(1),得到單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系的運動方程為

(6)

2 單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系考慮非線性項的頻響函數(shù)

在單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系的非線性模型中,由于擺角的存在,無法通過運動方程直接得到頻響函數(shù)的解析解。已有研究將擺角等效線性化對運動方程進行簡化,推導出頻響函數(shù),高估了PTMD的振動控制性能。在大幅響應下,非線性對結(jié)構(gòu)的影響不可忽略,因此,對擺角部分項進行泰勒展開,忽略高次諧波項,利用慢變參數(shù)法[18-19]求頻響函數(shù)的近似解析解。

表1 單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系的參數(shù)定義

經(jīng)變換,運動方程化為以下形式:

(7)

根據(jù)泰勒展開式,忽略高次諧波項:sinθ≈θ-θ3/6,cosθ≈1-θ2/2,設解為

(8)

其中,A(τ)、B(τ)、φ1(τ)和φ2(τ)均連續(xù),分別代表主結(jié)構(gòu)的位移穩(wěn)態(tài)響應幅值、PTMD的擺角穩(wěn)態(tài)響應幅值、主結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應相位及PTMD的擺角穩(wěn)態(tài)響應相位?；诼儏?shù)法進行求解時,假定A(τ)、B(τ)、φ1(τ)、φ2(τ)不是關(guān)于時間連續(xù)的,而是在一個振動周期內(nèi)緩慢變化的,為近似一個周期內(nèi)的積分均值。

定義φ1=στ-φ1,φ2=στ-φ2,將其代入計算簡化,推得非線性懸吊結(jié)構(gòu)調(diào)諧體系穩(wěn)態(tài)響應的頻響方程組為

(9)

其中,A、B、φ1、φ2均為一個振動周期內(nèi)的積分均值。

由于非線性系統(tǒng)無法得到頻響函數(shù)的解析解,結(jié)構(gòu)位移頻響函數(shù)H1(w)可由穩(wěn)態(tài)時響應幅值X1與激勵幅值g來確定[20]。

(10)

利用Matlab對不同激勵頻率下的頻響方程組進行求解,主結(jié)構(gòu)位移的穩(wěn)態(tài)響應幅值為A,主結(jié)構(gòu)位移的頻響函數(shù)為

(11)

對式(6)作變換sinθ≈θ,cosθ≈1,忽略高次項2,推得等效線性模型的頻響函數(shù)為

(12)

為了驗證基于慢變參數(shù)法理論推導的頻響方程組的正確性,在同樣的初始條件下,將其所得到的頻響函數(shù)與采用數(shù)值法所得到的頻響函數(shù)進行對比,數(shù)值法利用Newmark-β法求解運動方程組,取主結(jié)構(gòu)不再隨時間變化的位移響應幅值與外激勵幅值之比作為頻響函數(shù),假定結(jié)構(gòu)自振周期T1為1s,主結(jié)構(gòu)阻尼比ξ1=0.02,PTMD的質(zhì)量比μ=0.01。簡諧激勵幅值P0=0.035 m/s2,PTMD的頻率比與阻尼比采用Gerges等[7]基于H2準則推導的地震作用下PTMD最優(yōu)頻率比fopt和阻尼比ξopt,理論公式滿足以下關(guān)系式:

(13)

對于線性結(jié)構(gòu),時間步長的選取對其頻響函數(shù)沒有影響,但非線性結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的結(jié)果與時間步長的選取有關(guān),數(shù)值法求解頻響函數(shù)時,時間步長分別取dt=0.02 s、0.01 s、0.005 s、0.002 s、0.001 s和0.000 5 s,對采用數(shù)值法得到的頻響函數(shù)與利用慢變法推導得到的頻響函數(shù)誤差γ進行分析。

(14)

其中,H1N(σ)、H1T(σ)分別表示由數(shù)值法和理論得到的頻響函數(shù)。

以慢變參數(shù)法推導的理論頻響函數(shù)為標準,對數(shù)值法采用不同時間步長所得到的頻響函數(shù)進行誤差分析,見圖2。

圖2 數(shù)值法與理論推導的頻響函數(shù)對比

由圖2顯示,時間步長越小,數(shù)值法求解的結(jié)果越精確,理論法與數(shù)值法求解結(jié)果的誤差越小。當時間步長dt=0.000 5 s,兩種方法得到的頻響函數(shù)最大誤差為0.76%,可見兩種方法解得的頻響函數(shù)擬合度很高,驗證了采用K-B慢變參數(shù)法推導非線性模型頻響函數(shù)的可行性。

3 PTMD非線性影響規(guī)律

為分析在簡諧激勵下,PTMD擺角非線性的影響規(guī)律,對3種工況下PTMD非線性模型與線性模型在相同激勵幅值下的結(jié)構(gòu)進行響應分析,工況如表2所示。簡諧激勵幅值P0分別取0.01 m/s2、0.03 m/s2、0.08 m/s2和0.13 m/s2。

表2 不同工況下單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系的參數(shù)

在不同激勵幅值下,工況1、2、3分別采用等效線性模型和非線性模型進行頻域?qū)Ρ确治?結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)響應如圖3所示。

圖3 3種工況在不同激勵幅值下的響應對比

由圖3可知,在激勵幅值P0≤0.03時,兩種模型下的頻率響應誤差較小,此時可以忽略非線性的影響。隨著激勵幅值P0的增大,PTMD的擺角響應峰值增大,非線性效應增大,等效線性模型與非線性模型之間的誤差隨之增大。工況1隨著激勵幅值的增大,非線性模型的主結(jié)構(gòu)位移頻響函數(shù)的第二個峰值大于第一個峰值。大幅值激勵下,非線性模型的響應遠大于線性模型,線性模型高估了PTMD的減振性能。當激勵幅值P0=0.13 m/s2時,等效線性模型與非線性模型頻響函數(shù)之間的最大誤差達到了58.72%,遠遠超過了所能接受的誤差范圍,認為誤差在5%以內(nèi)可以不考慮非線性帶來的影響[12]。

隨著質(zhì)量比的增大,主結(jié)構(gòu)的位移峰值減小,峰值對應的頻率比左移,PTMD擺角響應峰值減小,兩種模型的頻響函數(shù)誤差大幅降低,質(zhì)量比μ=0.1,在激勵幅值P0=0.13 m/s2下,兩種模型頻響函數(shù)的最大誤差為0.5%,表明增大質(zhì)量比可以有效提高PTMD的振動控制性能,同時PTMD非線性也會減弱。工況2與工況3在兩種模型下頻響函數(shù)的最大誤差分別為3.04%、0.5%,此時可以不考慮非線性帶來的影響。因此,對于小質(zhì)量比的PTMD-結(jié)構(gòu)體系研究PTMD擺角非線性效應的影響十分必要。

4 PTMD參數(shù)H2優(yōu)化

隨著激勵幅值的增大,PTMD擺角非線性增強,在進行PTMD設計時需要考慮擺角非線性,以此對工況1進行參數(shù)優(yōu)化設計,采用數(shù)值搜索法對PTMD非線性模型基于H2準則對PTMD的設計參數(shù)進行優(yōu)化。不同激勵幅值下PTMD的最優(yōu)參數(shù)如表3所示。

表3 工況1不同激勵幅值下的優(yōu)化參數(shù)

表3中,Gerges優(yōu)化采用PTMD等效線性模型,不考慮主結(jié)構(gòu)阻尼,基于H2準則對PTMD進行優(yōu)化設計,推得最優(yōu)參數(shù)理論公式(13)。該優(yōu)化方法與本文的H2優(yōu)化的目標函數(shù)一致。

H2優(yōu)化具體流程如圖4所示。

圖4 H2優(yōu)化流程方法圖

工況1分別采用H2優(yōu)化參數(shù)與Gerges優(yōu)化參數(shù)在不同激勵幅值下的頻率響應對比,如圖5所示。

圖5 工況1在不同激勵幅值下兩種優(yōu)化方法的頻響函數(shù)對比

從頻響對比圖5中可以看出,隨著外激勵幅值的增大,兩種優(yōu)化方法下的結(jié)構(gòu)位移響應的差別越來越大。在主結(jié)構(gòu)位移頻響圖中,P0=0.13 m/s2時,H2優(yōu)化的位移峰值比Gerges優(yōu)化減小了41.14%。值得注意的是,在小激勵幅值下,兩種優(yōu)化方法的位移頻響函數(shù)差別也較大。原因是 Gerges優(yōu)化假設主結(jié)構(gòu)阻尼為0,沒有考慮結(jié)構(gòu)本身的抗震性能,得到的PTMD的最優(yōu)參數(shù)偏高,而H2優(yōu)化考慮了結(jié)構(gòu)自身的阻尼,在小激勵幅值下,非線性的影響很小,因此,得到的最優(yōu)參數(shù)比Gerges最優(yōu)參數(shù)小。為了驗證這一點,在小激勵幅值作用下,將μ=0.02,ξ1=0采用H2優(yōu)化方法對PTMD參數(shù)進行優(yōu)化,并與Gerges優(yōu)化進行對比。圖6表明,在小激勵幅值下,均不考慮主結(jié)構(gòu)阻尼時,非線性的影響很小,H2優(yōu)化與Gerges優(yōu)化的頻響函數(shù)誤差小于5%。

圖6 小激勵幅值下Gerges優(yōu)化與H2優(yōu)化主結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)對比

5 數(shù)值算例

為驗證非線性模型下PTMD優(yōu)化設計參數(shù)的有效性,以某超高層結(jié)構(gòu)作為工程算例,進行時程仿真分析,結(jié)構(gòu)總高度為394.8 m,考慮結(jié)構(gòu)第一階振型用于PTMD參數(shù)優(yōu)化及減振效果分析。結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)質(zhì)量為198 176.3 t,第一階自振周期為5.66 s,結(jié)構(gòu)阻尼比為1.5%,受到結(jié)構(gòu)空間限制,PTMD的質(zhì)量比為2%。結(jié)構(gòu)所在地區(qū)抗震設防烈度為8(0.2 g)度。本文在簡諧激勵作用下,基于H2與H∞準則對該超高層結(jié)構(gòu)考慮非線性因素時結(jié)構(gòu)體系中的PTMD進行了參數(shù)優(yōu)化,將優(yōu)化結(jié)果與Gerges優(yōu)化分別在簡諧激勵與El Centro經(jīng)典地震記錄下進行時程響應對比分析。

5.1 簡諧激勵下的時程響應分析

選正弦激勵作為輸入激勵,激勵幅值P0=0.2 m/s2,兩種優(yōu)化方法的最優(yōu)參數(shù)如表4。

在應用Matlab進行數(shù)值仿真時,選用實際結(jié)構(gòu)考慮非線性因素的單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系運動方程式(6),PTMD參數(shù)分別選用H2優(yōu)化與Gerges優(yōu)化得到的最優(yōu)參數(shù),對結(jié)構(gòu)體系進行時程響應計算時采用Newmark-β法。從時程響應圖7中發(fā)現(xiàn),Gerges優(yōu)化的主結(jié)構(gòu)位移峰值、主結(jié)構(gòu)加速度峰值分別比無控結(jié)構(gòu)減小了26.76%和30.23%。H2優(yōu)化的主結(jié)構(gòu)位移峰值、主結(jié)構(gòu)加速度峰值分別比無控結(jié)構(gòu)減小了61.61%及60.71%。與Gerges優(yōu)化相比,考慮非線性H2優(yōu)化的主結(jié)構(gòu)位移峰值、主結(jié)構(gòu)加速度峰值分別減小了47.59%和43.69%,PTMD擺角峰值減小了23.4%?？紤]非線性的H2優(yōu)化比Gerges優(yōu)化有更好的振動控制性能,并且能在更小的擺角范圍內(nèi)提供更好的位移控制效果。表明在大幅響應下考慮非線性因素對PTMD進行參數(shù)優(yōu)化設計能有效降低結(jié)構(gòu)位移響應,從而提高PTMD的振動控制性能。

圖7 簡諧激勵下結(jié)構(gòu)-PTMD時程響應

5.2 實際地震激勵下的時程響應分析

為了驗證非線性模型下優(yōu)化方法在實際地震作用下對提高PTMD振動控制性能的有效性,將El Centro (EW,1940)經(jīng)典地震記錄作為地震輸入,El Centro (EW,1940)經(jīng)典地震記錄持續(xù)時間53 s,地震記錄幅值為1.1 m/s2和3 m/s2,分別表示多遇地震與設防地震。選用實際結(jié)構(gòu)考慮非線性因素的單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系的運動方程式(1),PTMD參數(shù)分別選用H2優(yōu)化得到的最優(yōu)參數(shù)與Gerges優(yōu)化得到的最優(yōu)參數(shù),對結(jié)構(gòu)體系進行時程響應對比分析。

(15)

從時程響應圖8及圖9中可以看出,3種優(yōu)化參數(shù)的PTMD在多遇地震、設防地震下均有較好的減震性能。多遇地震下,Gerges優(yōu)化的減震率為63.19%,而H2優(yōu)化的減震率為68.76%,H2優(yōu)化的擺角峰值比Gerges優(yōu)化的減小了11.13%。設防地震下,Gerges優(yōu)化的減震率為59.14%,H2優(yōu)化的減震率為67.07%,H2優(yōu)化的擺角峰值比Gerges優(yōu)化的減小了10.10%。H2優(yōu)化在地震激勵下表現(xiàn)出比Gerges優(yōu)化更好的減震效果,地震激勵幅值越大,這種優(yōu)勢表現(xiàn)得更加明顯。從滯回曲線中可以看出,H2優(yōu)化參數(shù)下的PTMD以更小的水平位移提供更大的阻尼力。H2優(yōu)化下主結(jié)構(gòu)阻尼耗能更小,為結(jié)構(gòu)提供了更高的安全冗余度。

圖9 設防地震下PTMD-結(jié)構(gòu)體系時程響應

6 結(jié) 論

(1)在大幅響應下,PTMD表現(xiàn)出非線性,因此,考慮非線性因素建立單自由度結(jié)構(gòu)-PTMD體系理論模型,采用慢變參數(shù)法推導了考慮擺角高次非線性的頻響函數(shù),用數(shù)值法對其進行驗證,結(jié)果表明,兩種方法計算得出的頻響函數(shù)的誤差范圍小于0.76%。

(2)對比PTMD非線性模型與等效線性模型在不同激勵幅值下的結(jié)構(gòu)響應,發(fā)現(xiàn)激勵幅值越大,PTMD擺角非線性效應越強,兩種模型頻率響應差別越大。工況1在激勵幅值為0.13時,誤差高達58%。因此,在大幅響應下,PTMD擺角非線性對PTMD振動控制性能的影響不可忽略。增大質(zhì)量比,可以減小非線性效應。

(3)H2優(yōu)化下PTMD振動控制性能高于Gerges優(yōu)化,激勵幅值越大,優(yōu)勢越明顯。質(zhì)量比μ=0.01,P0=0.13 m/s2時,H2優(yōu)化的位移峰值比Gerges優(yōu)化的減小了41.14%。在大幅值響應下,考慮PTMD擺角非線性對PTMD進行參數(shù)優(yōu)化能有效減小主結(jié)構(gòu)位移峰值,并提高PTMD的減震性能。對在不同優(yōu)化參數(shù)下的某超高層辦公樓進行了數(shù)值模擬,結(jié)果表明,簡諧激勵下,H2優(yōu)化下主結(jié)構(gòu)位移峰值比Gerges優(yōu)化的減小了47.59%,兩條地震波下 H2優(yōu)化的減震率比Gerges優(yōu)化的高出5%～8%,位移能夠更快地減小并穩(wěn)定下來。