小周期結(jié)構(gòu)磁-力-電耦合問題的高階雙尺度漸近分析

劉宇銘,馮永平

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

0 引 言

磁-力-電耦合行為普遍存在于壓磁材料、壓電材料以及人工智能材料中,在多物理場(chǎng)作用下,新材料就會(huì)表現(xiàn)出復(fù)合材料特有的磁-力-電耦合效應(yīng)。這些磁-力-電耦合材料已經(jīng)在航天、人工智能等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。早期已有很多學(xué)者對(duì)相關(guān)材料屬性進(jìn)行了研究,Suchtelen[1]研究發(fā)現(xiàn)壓磁與壓電復(fù)合材料中會(huì)產(chǎn)生磁電耦合行為;Qing等[2]得到了三維磁-力-電耦合問題的Hellinger-Reissner變分原理;Lee[3]和He[4]先后分別構(gòu)造了一些不同的泛函變分描述熱-磁-力-電耦合行為。對(duì)于求解耦合問題的解中,Pan等[5-6]、Jiang等[7]得到了多層功能梯度矩形板和含二維多邊形夾雜的各向異性磁-電耦合的解析解。磁-力-電復(fù)合材料在宏觀結(jié)構(gòu)上有非絕對(duì)均勻性,對(duì)磁-力-電耦合問題進(jìn)行多尺度分析具有重要的理論意義及應(yīng)用前景。本文將用高階雙尺度方法分析滿足第一類邊界條件的小周期結(jié)構(gòu)中磁-力-電耦合問題的漸近行為及均勻化行為。

現(xiàn)在,用雙尺度方法解決耦合問題已經(jīng)越來越廣泛。文獻(xiàn)[8]中用新型的高階多尺度漸近法分析了具有周期孔洞結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料問題,給出相應(yīng)的均勻化方程和均勻化常數(shù)以及有限元算法;文獻(xiàn)[9]中對(duì)復(fù)合材料用有限元方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)計(jì)算量龐大,在已有的雙尺度分析與有限元分析的基礎(chǔ)上,給出了構(gòu)建邊界層和周期單胞的雙尺度有限元計(jì)算方法;文獻(xiàn)[10]構(gòu)建了新型雙尺度有限元方法,利用匹配邊界層分析,得到位移和電勢(shì)的相互耦合關(guān)系,最后分析其雙尺度有限元解的漸近估計(jì)誤差,并通過數(shù)值計(jì)算檢驗(yàn)其方法的有效性;文獻(xiàn)[11]在構(gòu)造的邊界層上,運(yùn)用多尺度有限元方法解決復(fù)合材料中具有周期震蕩系數(shù)的熱傳導(dǎo)問題,并給出其多尺度截?cái)嗾`差估計(jì),且用三維數(shù)值案例驗(yàn)證其算法的正確性與有效性;文獻(xiàn)[12]通過構(gòu)造帶有周期阻尼結(jié)構(gòu)耦合問題的L-階雙尺度漸近解,運(yùn)用雙尺度展開方法求解,最后得到其L-階雙尺度有限元解的漸近誤差估計(jì)。

數(shù)學(xué)上,第一類邊界條件下小周期性區(qū)域中的磁-力-電耦合問題可用以下偏微分方程組的邊值問題來表述[13]:

(1)

其中:

(ⅱ)Ω是有界的小周期閉區(qū)域且滿足Lipschitz邊界條件;

cijkl(ξ)是有界可測(cè)函數(shù)

其中,{η}為任意實(shí)對(duì)稱矩陣,γ1,γ2是與ε無關(guān)且大于 0 的常數(shù)。

類似地,κil(ξ)是有界可測(cè)函數(shù):

其中,{ρ}為任意實(shí)對(duì)稱向量,λ1,λ2是與ε無關(guān)且大于 0 的常數(shù)。

考慮如下偏微分方程組:

(2)

其中,Fj(ξ),Uj(ξ),j=0,1,2,…,是關(guān)于ξ為1-周期的向量函數(shù)或標(biāo)量函數(shù),且Fj(ξ),Uj(ξ),∈L2(Q),W=(W1,W2,…,Wn)T,Q為小周期單胞。

1 uε(x),ψε(x),φε(x)雙尺度形式漸近展開式

假設(shè)uε(x),ψε(x),φε(x)具有如下的漸近展開形式:

(3)

(4)

(5)

其中,Mα(ξ),Nα(ξ),Pα(ξ),Eα(ξ),Rα(ξ),Sα(ξ),Tα(ξ),Fα(ξ),Gα(ξ)為周期單胞Q上待定的周期單胞函數(shù);Mα(ξ)為待定的函數(shù)矩陣;Nα(ξ),Pα(ξ),Eα(ξ),Rα(ξ)為待定的向量函數(shù);Sα(ξ),Tα(ξ),Fα(ξ),Gα(ξ)為待定的標(biāo)量函數(shù);u0(x),ψ0(x),φ0(x)為待定的均勻化解。

將方程(3)、(4)、(5)代入方程組(1)并通過整理合并,對(duì)比等式兩端ε-1同次冪的系數(shù),可得到以下求解待定單胞函數(shù)組的3個(gè)方程組:

(6)

(7)

(8)

對(duì)比等式兩端ε0同次冪的系數(shù),并在Q上作關(guān)于ξ積分,得到以下形式等式:

fi(x), inΩ;

inΩ;

inΩ。

由以上3式,問題(1)的均勻化解組(u0(x),ψ0(x),φ0(x))可由以下均勻化方程組定解:

(9)

(10-1)

(10-2)

(10-3)

(10-4)

(10-5)

(10-6)

而(Mα1α2m,Eα1α2m,Rα1α2m),(Nα1α2,Fα1α2,Sα1α2),(Pα1α2,Gα1α2,Tα1α2),可分別在Q上由以下方程組定解。

(11)

(12)

(13)

當(dāng)l≥2時(shí),通過比較方程兩端ε1,ε2,ε3,…,所有待定單胞函數(shù)可以類似遞推定解。

注2:由 Korn 不等式及 Lax-Milgram 引理易證方程組(6)、(7)、(8)、(9)、(11)、(12)及(13)在相應(yīng)函數(shù)空間中存在唯一弱解組。

定理1若be(x),bm(x),fi(x),u0(x),φ0(x),ψ0(x)在Ω內(nèi)足夠光滑,則

(ⅰ)方程組(1)有(3)、(4)、(5)的漸近展開形式;

(ⅳ)均勻化解u0(x),ψ0(x),φ0(x),由方程組(9)定解;

2 雙尺度漸近解誤差估計(jì)

在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中,通常用二階雙尺度近似解計(jì)算解組(uε(x),ψε(x),φε(x)):

(14)

(15)

(16)

定理2 設(shè)(uε(x),ψε(x),φε(x))為方程組(1)的弱解組,設(shè)fi(x)∈H2(Ω),be(x)∈H2(Ω),bm(x)∈H2(Ω),u0(x)∈H4(Ω),φ0(x)∈H4(Ω),ψ0(x)∈H4(Ω),則有如下漸近估計(jì):

其中,C1,C2,C3是與fi(x),be(x),bm(x),u0(x),φ0(x),ψ0(x)無關(guān)的正常數(shù)。

注3:在一般區(qū)域中,磁-力-電耦合材料的等效性能可用匹配的邊界層問題展開相關(guān)問題研究。

注4:本文利用邊界值為0的第一類邊界條件定義周期單胞函數(shù),在實(shí)際問題中,當(dāng)對(duì)材料問題做適當(dāng)對(duì)稱性假設(shè)后可使用周期性邊界條件定解單胞函數(shù),并且可證明這兩種定義方式定解是同一個(gè)唯一解。

3 小 結(jié)

本文通過雙尺度方法分析了第一類邊界條件小周期區(qū)域內(nèi)磁-力-電耦合問題的高階雙尺度漸近解,并得到了其均勻化常數(shù)與均勻化解,最后證明了其二階雙尺度解的漸近誤差估計(jì)。文中的雙尺度方法對(duì)求類似問題的漸近解提供了可行的算法,也為進(jìn)一步求數(shù)值解提供了理論基礎(chǔ)。