矩形水平通道內(nèi)液體Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流的數(shù)值模擬

＊趙佳悅 侯紅 梁啟煜 郭永紅

（山西能源學(xué)院 能源與動力工程系 山西 030600）

將封閉矩形通道內(nèi)的水平液層從底部加熱，表面冷卻，再與層流強制對流疊加，這樣的流動叫做Poiseuille-Rayleigh-Bénard（P-R-B）對流。Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流廣泛存在于自然界和工業(yè)領(lǐng)域中，例如化學(xué)氣相沉積，電子設(shè)備冷卻，海水淡化裝置和板式換熱器等。對Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流的研究，有利于對換熱器和材料制備過程進行合理設(shè)計和改良[1]。

流體在通道流動的過程中，由于浮升力的作用，會出現(xiàn)二次流。在一定范圍的Re數(shù)下，液體的浮力引起縱向流卷（即流卷的軸線平行于流動方向）的發(fā)展。一些文獻中通過理論計算，數(shù)值模擬或?qū)嶒灧治龅姆椒ㄑ芯苛怂酵ǖ乐械腜oiseuille-Rayleigh-Bénard對流。Rahli[2]指出，Poiseuille-Rayleigh-Benard對流中，流動由兩個對流源疊加而成：水平壓力梯度引起的通道內(nèi)主流和垂直溫度梯度引起的二次流。文獻[3-5]研究了底部加熱，上面冷卻的通道二次流的發(fā)生機制?？v向流卷在流動入口區(qū)域的側(cè)壁附近觸發(fā)，然后逐漸向中心移動，側(cè)壁處的擾動是對流不穩(wěn)定性形成的重要因素。Zhang[6]對底部和側(cè)壁加熱通道的流動和傳熱特性進行了實驗研究，通道寬深比為6，其底部和側(cè)壁被加熱且通道頂部被冷卻。實驗結(jié)果表明，通道底部的熱流密度一定時，液膜內(nèi)部首先出現(xiàn)兩個較大的流卷，并且占據(jù)整個橫截面，之后增加到四個。Gau等[7]觀察了兩平行板之間空氣的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流，運用流動可視化方法得出了Gr/Re2=20，Re=500條件下空氣內(nèi)部的流動狀態(tài)。

研究發(fā)現(xiàn)，Poiseuille-Rayleigh-Bénard流動的流型和熱傳遞取決于Ra數(shù)、Re數(shù)等參數(shù)[8]。Benderradji[9]對寬深比為10，底部均勻熱流加熱的水平通道內(nèi)流體流動和傳熱特性進行了數(shù)值計算，得出當(dāng)Ra/Re2＞18時縱向流卷產(chǎn)生的機理發(fā)生改變，而且有流卷產(chǎn)生時，整體的傳熱系數(shù)明顯大于僅有強制流動的通道。Ostrach和Kamotani等[10]對等溫板之間充分發(fā)展的氣流進行了實驗，指出渦卷在Re=38，Ra＞8000時變得不規(guī)則。Nicolas[11]通過實驗方法做出了無限大寬深比和有限寬深比通道內(nèi)Poiseuille層流流動中Ra-Re平面的穩(wěn)定性圖，確定了流動的臨界Re數(shù)和Ra數(shù)。Ostrach和Kamotani發(fā)現(xiàn)在大寬深比的通道中，縱向流卷的波長大約等于液體高度的兩倍，即使對于大Ra數(shù)的情況也是如此。

本文采用數(shù)值模擬的方法研究底部定溫加熱、表面定溫冷卻的矩形水平通道內(nèi)液體的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流，分析不同Re數(shù)和Ra數(shù)對流型和換熱的影響，為工程實踐提供一定的理論依據(jù)。

1.物理數(shù)學(xué)模型

本課題采用的物理模型為矩形水平通道，如圖1所示。其幾何尺寸長為L=50cm，寬為W=10cm，深為d=1cm。上表面為冷卻表面，溫度為Tc，下表面為加熱面，溫度為Th，左右側(cè)壁為絕熱豎壁，流體以速度v流過通道，入口溫度為T=Tc，環(huán)境溫度T0=Tc。為簡化起見，假定：（1）液體為不可壓縮牛頓流體，密度滿足Boussinesq近似；（2）所有固體壁面均為無滑移邊界條件；（3）流動速度低，為層流。

圖1 物理模型

2.結(jié)果分析與討論

（1）縱向流卷形成的機理。圖2為當(dāng)Re=10，Ra=5000時，不同的X-Z截面上的縱向流卷圖。這種縱向流卷形成的機制，被稱為經(jīng)典機制。從圖中可以看到，縱向流卷起初形成于兩側(cè)壁處（Y=5），并逐漸沿著流體流動方向往通道的中心區(qū)域擴展（Y=8，Y=15）。從Y=22之后，縱向流卷完全發(fā)展。這是因為在側(cè)壁絕熱情況下，由于速度邊界層的存在，流體流動的速度沿通道中心向兩側(cè)壁逐漸減小。因此強制對流在側(cè)壁附近較弱，在通道中心附近較強，可以認(rèn)為流體在側(cè)壁附近是自然對流，所以絕熱側(cè)壁附近的熱量不容易散失，導(dǎo)致熱量在側(cè)壁面附近聚集，溫度升高。因此，在通道內(nèi)部形成了X方向溫度梯度，由于流體密度隨溫度升高而降低，該處的溫度梯度使流體產(chǎn)生了密度梯度。在側(cè)壁附近的流體密度低于通道中心區(qū)域流體的密度，在浮升力和重力的作用下，側(cè)壁附近流體向上方流動，而稍遠(yuǎn)離側(cè)壁的流體向底部流動。同時，由于此處Z方向上亦存在溫度梯度，因此，在通道兩側(cè)壁處的流體便會產(chǎn)生流卷。再加上流體內(nèi)部,黏性力的作用，兩側(cè)壁處的流卷逐漸在其后方激發(fā)出新的流卷，直至流卷布滿整個通道的X-Z截面?？v向流卷形成時在通道內(nèi)成對出現(xiàn)，且相鄰的兩個流卷旋轉(zhuǎn)方向相反。流卷直徑約等于通道高度。在充分發(fā)展區(qū)，在X-Z截面上共有12個縱向流卷。

圖2 Re=10, Ra=5000時不同X-Z截面上縱向流卷的溫度場和速度場

（2）Re數(shù)對Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流的影響。圖3為Ra=5000時，Z=0.5截面上的無量綱溫度場在不同Re數(shù)下的變化?？梢钥闯?，隨著Re數(shù)的增加，充分發(fā)展區(qū)的縱向流卷出現(xiàn)位置逐漸向后移。這是因為在通道特征尺寸保持不變且流體黏度值基本穩(wěn)定的情況下，Re數(shù)的增加意味著流體流速增加，從而在入口段相同Y坐標(biāo)位置處的絕熱側(cè)壁附近的對流增強，熱量不容易在側(cè)壁聚集，因此縱向流卷在充分發(fā)展區(qū)的出現(xiàn)位置不斷向后移動，但縱向流卷的個數(shù)不隨Re數(shù)的改變而改變。

圖3 Ra=5000時不同Re數(shù)下Z=0.5截面的溫度云圖

（3）Ra數(shù)對Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流的影響。在流體力學(xué)中，Ra數(shù)是用來表征浮力驅(qū)動流體的無量綱數(shù)。當(dāng)Ra數(shù)低于某個臨界值時，流體內(nèi)部的傳熱主要以導(dǎo)熱的形式；當(dāng)Ra數(shù)超過該臨界值時，流體內(nèi)部的傳熱主要是以對流形式。對于水平通道內(nèi)液體的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流來說，研究Ra數(shù)對流體流動的影響是至關(guān)重要的。正如前文所提到的，水平矩形通道內(nèi)的縱向流卷與流體內(nèi)部溫度梯度引起的浮升力有關(guān)。當(dāng)封閉矩形通道內(nèi)流體的Ra數(shù)小于使流卷出現(xiàn)的臨界Ra數(shù)時，由該溫度梯度產(chǎn)生的浮升力不足以克服流體內(nèi)部的黏性力，從而無法觸發(fā)縱向流卷，此時通道內(nèi)為單純的Poiseuille流動。在一定Re數(shù)下，當(dāng)Ra數(shù)超過這個臨界值，浮升力的影響逐漸增加，并能夠克服流體黏性力的影響，使流體內(nèi)部的熱對流變得不穩(wěn)定而激發(fā)出橫向流卷。若Ra數(shù)繼續(xù)增加，直到大于某值（即Ra*），同時使Re數(shù)大于Re*，這時通道內(nèi)流動由橫向流卷轉(zhuǎn)變?yōu)榭v向流卷。

圖4為在Re=10時，不同Ra數(shù)下Z=0.5截面處的溫度云圖?？梢钥吹?，隨著Ra數(shù)的增加，初始縱向流卷在側(cè)壁附近形成的位置逐漸靠近入口區(qū)。在Ra=5000的時候，初始縱向流卷大致在Y=2.2處出現(xiàn)；當(dāng)Ra數(shù)增加到12760時，初始縱向流卷大致在Y=1.7處出現(xiàn)；當(dāng)Ra=22700的時候，初始縱向流卷大致在Y=0.8處出現(xiàn)。這主要是因為隨著Ra數(shù)的增加，流體內(nèi)部對流換熱逐漸增強，從而使得側(cè)壁附近能夠激發(fā)出縱向流卷的溫度梯度出現(xiàn)的位置逐漸靠前。從圖中還可以看到，在Ra=5000的時候，充分發(fā)展區(qū)出現(xiàn)位置大致在Y=23處；而當(dāng)Ra數(shù)增加到12760時，充分發(fā)展區(qū)的出現(xiàn)位置向前移到了Y=11處；當(dāng)Ra=22700時，充分發(fā)展區(qū)的出現(xiàn)位置大致在Y=6.8處。這也就是說，隨著Ra數(shù)的增加，矩形通道內(nèi)流體的充分發(fā)展區(qū)出現(xiàn)位置距流卷開始形成位置的長度也逐漸變短。這是因為隨著Ra數(shù)的增加，浮升力對流體的影響逐漸增強，從而使得縱向流卷向中心區(qū)域擴展的速度增加。當(dāng)Ra=5000時，充分發(fā)展區(qū)通道截面上的縱向流卷數(shù)量為12個；當(dāng)Ra=12760時，該區(qū)域的縱向流卷數(shù)量增加到14個；當(dāng)Ra=22700時，縱向流卷數(shù)量為16個。而且可以看出，截面處的流體溫度隨著Ra數(shù)的增加升高得更快。這說明Ra數(shù)的增加對提高流體對流換熱效果有著積極的作用。

圖4 Re=10時不同Ra數(shù)下Z=0.5截面的溫度云圖

3.結(jié)論

本文通過三維流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬，借助FLUENT軟件研究了底部定溫加熱，上表面定溫冷卻的矩形通道內(nèi)液膜的Poiseuille-Rayleigh-Bénard對流，分析了縱向流卷的演變過程和Re數(shù)和Ra數(shù)對流動的影響。主要結(jié)論如下：（1）在所取的參數(shù)范圍內(nèi)，由于封閉通道上下表面存在溫差，通道中出現(xiàn)縱向流卷形式的二次流?？v向流卷由側(cè)壁效應(yīng)引起。流卷首先發(fā)生在側(cè)壁附近，然后逐漸向中間移動。（2）Re數(shù)的增加對縱向流卷的個數(shù)沒有影響，但會延長充分發(fā)展段出現(xiàn)的位置。（3）Ra數(shù)的增加會使縱向流卷的個數(shù)增加，使入口段長度減小。