基于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)下的近似值運(yùn)算問題

晏 鴻

(新疆烏魯木齊市新疆教育科學(xué)研究院,新疆 烏魯木齊 830049)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020年修訂)》提出:數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括運(yùn)算對象、運(yùn)算法則、運(yùn)算思路、運(yùn)算方法、運(yùn)算程序、運(yùn)算結(jié)果六個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)[1].其中運(yùn)算對象是條件,運(yùn)算法則是規(guī)則,運(yùn)算思路是方向,運(yùn)算方法是工具,運(yùn)算程序是藍(lán)本,運(yùn)算結(jié)果是目的. 本文結(jié)合高考真題,基于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的視角,提出解決近似值運(yùn)算問題的基本思路,以供參考.

1 理解運(yùn)算對象,應(yīng)用運(yùn)算法則

為突顯高考的核心功能,現(xiàn)在的高考卷有一種趨勢,便是適當(dāng)增加融入德智體美勞五育背景的題目.這種題都是以真實(shí)問題為情境,然后進(jìn)行合理的描述,雖然這個(gè)情境學(xué)生本身不了解或者是超出了學(xué)生的能力范圍,但題干中會(huì)直接給出獨(dú)立的結(jié)論,僅要求在這個(gè)結(jié)論基礎(chǔ)上進(jìn)行解題.因此理解運(yùn)算對象、用好獨(dú)立的運(yùn)算法則尤為重要.

分析解決本題的關(guān)鍵在于能否冷靜細(xì)致讀題,正確理解題意與運(yùn)算對象,將有關(guān)式子變形,建立關(guān)于α的等式,運(yùn)用提供的近似計(jì)算結(jié)論求解．但由于題干較長,數(shù)學(xué)閱讀理解能力要求較高,再加上考查了近似值運(yùn)算,屬于非常規(guī)考查,因此考查難度較大．

故選D.

故選D.

A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6

解析由L=5+lgV,得

lgV=L-5=4.9-5=-0.1.

故選C.

評析這類題的解決重在不要被大段的文字所迷惑,本末倒置.要抓住運(yùn)算對象,理解運(yùn)算對象的數(shù)學(xué)問題本質(zhì),運(yùn)用好題目中提供的運(yùn)算法則.

2 探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法

代數(shù)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法,是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的外部表征,是數(shù)學(xué)能力強(qiáng)弱的反映.提高運(yùn)算能力更需要優(yōu)化思維品質(zhì),結(jié)合感性與理性,關(guān)聯(lián)已知與未知,將方向與方法融合,知識與經(jīng)驗(yàn)貫通,從運(yùn)算思路、運(yùn)算方法入手,選擇合理的解決辦法.

A. 1.0×109m3B. 1.2×109m3

C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3

分析本題思維難度不大,只要求出棱臺的高,利用棱臺的體積公式就可解決,如果體積公式?jīng)]記住,也可以選擇把棱臺補(bǔ)成棱錐的方法,此外還要把具體數(shù)字算對．

解析如圖1,由已知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9(m),增加的水量為棱臺的體積V．

圖1 2022年新高考全國Ⅰ卷理4

棱臺上底面S=140.0(km2)=140×106(m2),

下底面積S′=180.0(km2)=180×106(m2),

≈(96+18×2.65)×107

=1.437×109≈1.4×109(m3)．

故選C．

圖2 例4題圖 圖3 例4解析圖

A.I1

C.I2

解析如圖3,作正方形ABCE,F為正方形的對角線的交點(diǎn),則∠AFB=90°,∠BOC<90°,∠AOB=∠COD>90°.

又AB=BC,則OA

作AG⊥BD于點(diǎn)G,由AB=AD,

則OB

而cos∠AOB=cos∠COD<0,

所以I3

于是I3

故選D．

評析近幾年的高考數(shù)學(xué)命題對標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn),創(chuàng)新考查思路,堅(jiān)持反套路反刷題,引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)改變機(jī)械死板、以練代講的模式.如例2對棱臺體積的考查,既在課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容范圍內(nèi),又回避了各種教輔資料上?？嫉闹?、錐和球,用不常規(guī)的考題,選拔出真正理解學(xué)科知識本質(zhì)的學(xué)生,有利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng),讓高三幾本教輔、幾張?jiān)嚲碇v到底失效．

3 設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果

數(shù)學(xué)運(yùn)算表面上看是一種數(shù)學(xué)規(guī)律的變化,運(yùn)算過程只需要遵循運(yùn)算法則就行,但深層次理解就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中包含邏輯推理的素養(yǎng),是“邏輯思維與數(shù)字計(jì)算”的混合體,是演繹推理的一種形式.因此依據(jù)邏輯推理,為近似值運(yùn)算設(shè)計(jì)最簡潔、最有效的運(yùn)算程序,是運(yùn)算成功的前提.

例5 (2014年全國Ⅱ卷·理21)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

(1)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,求b的最大值;

解析(1)因?yàn)間(x)=f(2x)-4bf(x)

=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x),

所以當(dāng)x>0時(shí),

e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)>0.

又g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)[ex+e-x-(2b-2)],

2(ex+e-x-2)≥0.

①當(dāng)b≤2時(shí),g′(x)≥0,即x=0時(shí)等號成立. 此時(shí)g(x)在R上單調(diào)遞增.

又g(0)=0,故對任意x>0,有g(shù)(x)>0.

綜上可知,當(dāng)b≤2時(shí),對任意的x>0,有g(shù)(x)>0,故b的最大值為2.

(2)由(1)知,

所以ln2的近似值為0.693.

總之,對于近似值運(yùn)算問題,還需要記住一些常見的數(shù),例如:π≈3.141 5,ln2≈0.693 1,e≈2.718 3,sin1≈0.841 5,ln2≈1.099等,否則在近似值運(yùn)算過程中就可能會(huì)找不到頭緒.作為高考題,一般都會(huì)采用臺階式命題,只要抓住題中隱含的提示,合理運(yùn)用邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng),問題就會(huì)迎刃而解.