基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系的解題策略探究
——以一道幾何最值問題的解法為例

李小蛟

(成都市樹德中學(xué),四川 成都 610091)

活動是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本形式,思考是數(shù)學(xué)的核心問題.如何提升學(xué)生的解題能力,重要的不是研究教師怎樣講,而是研究如何創(chuàng)設(shè)良好的問題情境,讓學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn),在思考與活動中經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程.通過知識內(nèi)在的聯(lián)系將相關(guān)知識整合融通,使知識上下溝通、左右逢源,使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、整體化,以達(dá)到在頭腦中建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

1 題目呈現(xiàn)

題目已知菱形ABCD,E為AD中點(diǎn),且BE=3,則菱形ABCD面積的最大值為____.

題目以平面圖形菱形為背景考查面積最值,學(xué)生在解題思考時(shí)可從平面幾何、三角函數(shù)、向量相關(guān)知識入手,對題目條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.學(xué)生在閱讀完題目條件后能瞬間聯(lián)想到相關(guān)知識點(diǎn),看似起點(diǎn)低,但真正動筆演算時(shí)卻發(fā)現(xiàn)解答的落腳點(diǎn)很高,在考場上臨場解答非常有難度.下面我們從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā),尋找題目條件與相關(guān)知識的內(nèi)在聯(lián)系,探究本題的解法(為了解題方便,不妨設(shè)AB=a,∠EAB=θ).

2 題目探究

探究策略1余弦定理+斜率轉(zhuǎn)化.

題目已知中線長度求面積,學(xué)生很自然地聯(lián)系到利用余弦定理將邊角轉(zhuǎn)化,通過菱形的邊長和夾角以及中線建立關(guān)系,再利用三角形面積公式將面積統(tǒng)一到角度θ.對于分式形式的三角函數(shù)最值問題可聯(lián)系到圓的參數(shù)方程(三角代換),將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題中的斜率.

評注幾何問題代數(shù)化處理是數(shù)學(xué)解題中一貫的基本思想方法,求解面積最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值,再聯(lián)系三角函數(shù)與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系,最后將問題轉(zhuǎn)化為解析幾何中的斜率問題.

探究策略2余弦定理+輔助角公式.

同探究策略1將面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值后,可采用變更主元的方法(本題將θ看成常值,將S看成變量),利用輔助角公式變形,再利用正弦函數(shù)本身的有界性求解.

評注利用三角函數(shù)的有界性是求解最值(范圍)問題最有效的一種策略,探究策略2利用三角函數(shù)自身內(nèi)在的性質(zhì)將求解問題簡單化,強(qiáng)化知識本身具體的屬性,重視知識本源,強(qiáng)化深度學(xué)習(xí)[1].

探究策略3 余弦定理+萬能公式.

同探究策略1將面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值后,出現(xiàn)兩個(gè)變量(sinθ,cosθ),如何將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題是解答中最關(guān)鍵的思考點(diǎn),而萬能公式是將正余弦函數(shù)統(tǒng)一到同一函數(shù)名(正切函數(shù))最有效的方法之一.

所以(SABCD)max=12.

評注三角函數(shù)的最值(范圍)問題求解是要將三角函數(shù)化為三個(gè)一“同一角度、同一函數(shù)名、一次式”進(jìn)行求解.探究策略3還引導(dǎo)將非齊次的分式形式轉(zhuǎn)化為基本不等式或?qū)春瘮?shù)求解最值.

探究策略4 阿波羅尼斯圓.

將動點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定性的點(diǎn)軌跡(或?qū)⒆兞哭D(zhuǎn)化為定量)是研究平面幾何的有效方法.基于本題中菱形所有邊長相等,點(diǎn)E又為邊AD的中點(diǎn),于是可聯(lián)系兩線段比值為定值的阿波羅尼斯圓來解決問題.

在直線BE上取兩點(diǎn)M,N,使得BM=2ME,BN=2BE,取MN中點(diǎn)O則點(diǎn)A軌跡是以O(shè)為圓心,ON為半徑的圓.

所以(SABCD)max=4(S△ABE)max=12.

評注已知兩定點(diǎn)且動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值,根據(jù)初中平面幾何知識可以輕松地得出阿波羅尼斯圓與兩定點(diǎn)所在直線以及兩點(diǎn)的距離,快速找到阿波羅尼斯圓的圓心以及半徑.通過圓上點(diǎn)在運(yùn)動過程中到直線距離的變化可直接觀察得到相關(guān)最值,求解快速準(zhǔn)確.

探究策略5 平行四邊形邊長與對角線數(shù)量關(guān)系.

題目中只給出平面圖形中邊的關(guān)系和長度,基于菱形的面積可只用對角線之積解決,所以可只探究菱形對角線與邊的數(shù)量關(guān)系.

因?yàn)?|AB|2=|AC|2+|BD|2,

所以|AC|2+9|BD|2=144.

當(dāng)且僅當(dāng)AC=3BD時(shí),等號成立.

所以(SABCD)max=12.

評注平行四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和,巧妙地將本題中菱形的邊長與對角線建立等量關(guān)系,進(jìn)而建立對角線的相關(guān)數(shù)量關(guān)系(|AC|2+9|BD|2=144),最后用不等式相關(guān)知識求解最值.

探究策略6線段成比例+不等式.

鑒于菱形面積可利用對角線之積求解,故可利用題目條件將對角線用相關(guān)量表示,再考慮字母的輪換對稱性,然后利用不等式相關(guān)知識求解最值.

連接BD,過點(diǎn)A,E分別作AD垂線,交點(diǎn)分別為G,F,易得|BG|∶|GF|∶|FD|=2∶1∶1.

又|BF|2+|EF|2=|BE|2,即x2+y2=9.

所以(SABCD)max=12.

評注依據(jù)本題中的對角線變化,又已知BE=3,故可以在△BEF中通過BE建立BF與EF的關(guān)系,再將菱形面積轉(zhuǎn)化到BD與AG的積,利用重要不等式x2+y2≥2xy求解最值.

探究策略7線段成比例+三角運(yùn)算.

通過平行、相似找到相關(guān)量之間的關(guān)系,再利用三角函數(shù)將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量,將代數(shù)最值轉(zhuǎn)化為三角最值.

評注通過平行線分線段成比例,三角形的相似將菱形的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的倍數(shù),在Rt△BEF中通過∠EBD建立關(guān)系將菱形的對角線轉(zhuǎn)化為同一角度的不同三角函數(shù)值,再利用二倍角公式求解最值.

探究策略8 海倫公式.

菱形面積的求解本質(zhì)上可分解為三角形面積求解.三角形面積如果只利用邊長求解最直接的方法即海倫公式.

設(shè)AE=x,則AB=2x.

所以SABCD=4S△ABE

所以(SABCD)max=12.

數(shù)學(xué)是一個(gè)整體,不同的數(shù)學(xué)知識之間存在著緊密的、重要的聯(lián)系.學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)理解的同時(shí),應(yīng)當(dāng)能溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系[2].但是,由于知識在教材中的呈現(xiàn)是相對獨(dú)立的,教學(xué)又是以課時(shí)為單位設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)內(nèi)容,加上學(xué)生受到認(rèn)知發(fā)展的限制,在沒有引領(lǐng)的情況下,往往不容易發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)聯(lián).因此在解題教學(xué)中,教師應(yīng)利用適當(dāng)?shù)男问胶头椒◤臄?shù)學(xué)的邏輯上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生在解題的過程中不斷地探索,進(jìn)而展示數(shù)學(xué)知識的整體性與數(shù)學(xué)方法的一般性.