三軸電磁-壓電混合驅(qū)動快速刀具伺服的軌跡跟蹤控制

朱志遠， 朱紫輝， 周曉勤， 朱利民， 朱志偉*

（1.南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.吉林大學(xué) 機械與航空航天工程學(xué)院，吉林 長春 130025；3.上海交通大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，上海 200240）

1 引 言

基于快速刀具伺服（Fast Tool Servo， FTS）的單點金剛石車削方法被廣泛用于復(fù)雜光學(xué)曲面的超精密加工［1-3］。當(dāng)前，F(xiàn)TS主要采用壓電［2，4］、洛倫茲力［5］和電磁法應(yīng)力［3，6］等進行驅(qū)動。其中，電磁法應(yīng)力驅(qū)動由于具有較大行程和較高力密度等優(yōu)點，近年來應(yīng)用于數(shù)十至數(shù)百微米的中等行程FTS的驅(qū)動源［6］。

為實現(xiàn)法應(yīng)力電磁驅(qū)動FTS刀具運動軌跡的超精密跟蹤，CHEN等［3］基于理想Bode圖頻率整形，設(shè)計了分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)。LU等［7］針對所研制的超快FTS，在主控制器基礎(chǔ)上迭加了自適應(yīng)前饋抵消控制器，以實現(xiàn)對擬周期性軌跡的超高精度跟蹤。為抑制外部切削力的擾動，WU等［8］和房豐洲等［9］設(shè)計了自抗擾控制器（ADRC）用于電磁法應(yīng)力驅(qū)動FTS的軌跡跟蹤，通過擴張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer， ESO）對系統(tǒng)未建模特性、非線性和未知擾動進行觀測并補償。夏薇等［10］采用擾動觀測器（Disturbance Observer, DOB）對系統(tǒng)未建模和非線性部分進行觀測補償。然而，ESO和DOB有限的觀測估計能力限制了軌跡跟蹤性能的進一步提升。為補償電磁驅(qū)動磁滯損耗引起的遲滯非線性，ZHANG等［11］構(gòu)建了基于Duhem模型的系統(tǒng)遲滯模型，并對法應(yīng)力電磁驅(qū)動納米定位平臺進行了前饋補償以提高系統(tǒng)的控制精度。

相較于單軸FTS，三軸FTS可同步驅(qū)動金剛石刀具沿XYZ三軸進行超精密運動，更高的運動自由度賦予了三軸FTS更高的加工柔性，可實現(xiàn)復(fù)雜曲面的自適應(yīng)加工需求［13-14］。當(dāng)前三軸FTS仍以壓電并聯(lián)驅(qū)動為主，CHEN等［2］和ZHU等［12］采用三軸壓電正交布置，分別設(shè)計獲得了理論上運動解耦的三軸FTS，并將各軸視為相互獨立的單輸入單輸出（Single-input-single-output，SISO）系統(tǒng)，采用PID控制器實現(xiàn)三軸軌跡跟蹤控制。LI等［13］將三軸FTS視為SISO系統(tǒng)，采用Prandtl-Ishlinskii逆模型三軸壓電進行開環(huán)補償，并利用PID控制器對Z軸運動進行閉環(huán)控制。作者團隊在前期研發(fā)了混合法應(yīng)力電磁驅(qū)動和壓電驅(qū)動的串并混聯(lián)三軸FTS，其中法應(yīng)力電磁驅(qū)動構(gòu)成平面XY并聯(lián)運動，而壓電驅(qū)動串聯(lián)搭載于平面運動上實現(xiàn)Z軸運動［14］。基于該構(gòu)型原理，作者團隊進一步優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)制作了第二代樣機，盡管三軸間具有理論解耦性，但加工裝配等原因會引起軸間耦合，同時動力學(xué)耦合帶來的高階諧振等因素不可避免地會降低各軸的控制精度。

針對所研制的三軸電磁-壓電混合驅(qū)動、串并聯(lián)混合構(gòu)型FTS的高精度軌跡跟蹤控制問題，本文以陷波濾波器消除系統(tǒng)的高階諧振來改善系統(tǒng)動力學(xué)性能，基于軸間耦合模型構(gòu)建前饋解耦補償，將三軸驅(qū)動轉(zhuǎn)化為弱耦合SISO系統(tǒng)。最終，以PID為主控制器，并結(jié)合基于動態(tài)遲滯模型的前饋補償實現(xiàn)三軸FTS對復(fù)雜空間軌跡的高精度跟蹤。

2 三軸電磁-壓電混合驅(qū)動FTS

2.1 三軸FTS驅(qū)動系統(tǒng)

三軸電磁-壓電混合驅(qū)動FTS的結(jié)構(gòu)剖視示意如圖1（a）所示，主要包括二維XY平面并聯(lián)法應(yīng)力電磁驅(qū)動模塊和串聯(lián)搭載在平面驅(qū)動上的Z向壓電驅(qū)動模塊。平面驅(qū)動由四組完全對稱的法應(yīng)力單向驅(qū)動單元構(gòu)成，其基本結(jié)構(gòu)和驅(qū)動原理如圖1（b）所示。其中，永磁鐵在動子兩側(cè)的氣隙內(nèi)產(chǎn)生反向、恒定的偏置磁場，勵磁線圈則在氣隙內(nèi)產(chǎn)生同向、可調(diào)的驅(qū)動磁場，偏置磁場和驅(qū)動磁場的疊加使得動子兩側(cè)產(chǎn)生大小不等的磁吸力，從而實現(xiàn)對動子的驅(qū)動。偏置磁場的引入使得驅(qū)動單元從理論上獲得了線性相關(guān)于勵磁電流和動子位置的驅(qū)動力。如圖1（a）所示，通過對四組驅(qū)動單元進行正交對稱布置，并采用類雙平行柔性導(dǎo)向機構(gòu)，實現(xiàn)了平面XY并聯(lián)驅(qū)動的理論解耦。

圖1 三軸FTS結(jié)構(gòu)與原理Fig.1 Schematic and principle of tri-axial FTS

這里基于直圓柔性鉸鏈設(shè)計了交叉對稱雙平行柔性鉸鏈機構(gòu)，用于壓電疊堆的Z向運動導(dǎo)向，并將該Z向驅(qū)動模塊整體串聯(lián)搭載在平面電磁驅(qū)動模塊上，從而構(gòu)建了三軸串并混聯(lián)、電磁-壓電混合驅(qū)動FTS。為弱化Z向壓電驅(qū)動慣性力對平面運動的擾動，壓電驅(qū)動采用相對XY平面對稱的雙向驅(qū)動方法。所設(shè)計的三軸FTS詳細的結(jié)構(gòu)描述和工作原理可參見文獻［14］，合理選擇結(jié)構(gòu)參數(shù)，F(xiàn)TS的XY軸向行程約為50 μm，Z軸行程約為15 μm。

2.2 FTS動力學(xué)測試

為測試系統(tǒng)動力學(xué)特性并辨識系統(tǒng)動力學(xué)模型，所搭建的測試系統(tǒng)照片如圖2所示，相應(yīng)儀器的型號與主要技術(shù)指標(biāo)如表1所示。為測試三軸運動，采用三組Microsense公司生產(chǎn)的超精密電容位移傳感器正交布置，并盡可能靠近刀尖位置以獲得刀具實際運動，電容傳感器的帶寬和量程分別為20 kHz和500 μm。采用PCIe-6363型高性能數(shù)據(jù)采集卡在所配置的Desktop Real-time實時控制模式下，對測得的位移信號進行采集，并實時計算控制量輸出信號以實現(xiàn)對FTS運動的控制，在測試過程中設(shè)置的采樣頻率為20 kHz。采集卡實時輸出的平面XY運動控制量經(jīng)過兩個SMA5005-1型線性伺服功率放大器放大后驅(qū)動勵磁線圈，而Z向運動控制量則經(jīng)過E-617.001型功率放大器驅(qū)動壓電疊堆。

表1 FTS動力學(xué)測試實驗儀器及其性能指標(biāo)Tab.1 Instrumentations and their performance for dynamics testing of FTS

圖2 FTS動力學(xué)測試系統(tǒng)實物圖Fig.2 Photograph of experiment setup for FTS dynamic testing

為了測試三軸FTS的動力學(xué)特性，對每個運動軸分別進行掃頻激勵。平面XY軸掃頻電壓幅值設(shè)為0.25 V，頻率從0.1 Hz線性變化至1.5 kHz；Z軸的掃頻電壓幅值和偏置電壓均設(shè)為1 V，頻率從0.1 Hz線性變化至6 kHz。對輸入命令信號和輸出位移信號進行快速傅里葉變換，并通過比較輸入輸出的幅值比和相位差，獲得三軸的頻率響應(yīng)函數(shù)，如圖3所示。由圖3可知，X軸運動存在兩個頻率為490 Hz和690 Hz的諧振峰；Y軸運動只有1個諧振峰，所對應(yīng)的諧振頻率為564 Hz；Z軸運動有3個諧振峰，對應(yīng)的諧振頻率分別為1 331，1 501，2 872 Hz。

圖3 三軸FTS的開環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)Fig.3 Open-loop frequency response functions of tri-axial FTS

從耦合頻率響應(yīng)函數(shù)可知：X軸對Y和Z軸的動態(tài)耦合Pxy，Pxz的幅值分別比主運動響應(yīng)Pxx小18 dB和37 dB；Y軸對X和Z軸的動態(tài)耦合Pyx，Pyz的幅值分別比主運動響應(yīng)Pyy小20 dB和31 dB；Z軸對平面XY軸的動態(tài)耦合Pzx，Pzy的幅值分別比主運動響應(yīng)Pzz小35 dB和32 dB。由此可知，盡管三軸FTS具有理論運動解耦性，但是加工、裝配誤差等仍會引入軸間耦合運動。其中，XY平面并聯(lián)運動間的軸間耦合較大，而串聯(lián)于XY平面運動上的Z軸運動對平面耦合較小，對FTS整體的運動精度影響較小。

考慮各軸的諧振特征，辨識獲得的各軸名義傳遞函數(shù)分別為：

由名義模型生成的頻率響應(yīng)函數(shù)也繪制在圖3中，與實驗測試結(jié)果具有很好的吻合度，這表明所辨識的系統(tǒng)模型能夠較為準(zhǔn)確地描述三軸FTS的動力學(xué)特性，可以用于設(shè)計控制系統(tǒng)。

3 高性能軌跡跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計

由動力學(xué)測試結(jié)果可知，三軸FTS的XZ軸存在高頻諧振，這會降低系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，而XY軸間還存在著較大的運動耦合，這會降低平面運動精度。針對該問題，這里采用陷波濾波器對X軸和Z軸的高頻諧振進行動力學(xué)補償，并以前饋解耦補償降低XY平面的運動軸間耦合，從而綜合改善系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

另一方面，電磁驅(qū)動固有的磁滯損耗和壓電內(nèi)摩擦導(dǎo)致的能量耗散等不可避免地會在三軸運動中引入遲滯非線性，從而惡化運動精度。針對該系統(tǒng)非線性，本文以動力學(xué)補償后的線性模型級聯(lián)靜態(tài)Prandtl-Ishlinskii遲滯模型構(gòu)建各軸動態(tài)非線性模型，并基于相鄰時間步各參量近似相等的假設(shè)，構(gòu)建無需直接求逆的遲滯前饋補償模型，從而改善被控系統(tǒng)的運動特性。以經(jīng)典的PID為主控制器，所構(gòu)建的三軸FTS控制系統(tǒng)框圖如圖4所示，其中Hi-1(i=x，y，z)為動態(tài)遲滯逆模型，Nxy(s)，Nyx(s)為設(shè)計的解耦器，Rk(t)(k=x，y，z)為系統(tǒng)的輸入，j(t)(j=x，y，z)為系統(tǒng)的輸出。

圖4 三軸FTS軌跡跟蹤控制系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of trajectory tracking control system for triaxial FTS

3.1 陷波濾波器設(shè)計

由圖3可以看出，X軸在690 Hz處存在二階諧振峰，Z軸在1 331，1 501和2 872 Hz處存在諧振峰，這類諧振峰會使系統(tǒng)在軌跡跟蹤時出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，從而影響跟蹤精度。本文采用陷波濾波器以消除諧振峰影響，并盡可能地減少相位延遲。對于i=x，z方向，陷波濾波器可表示為［15］：

式中：對于X軸，k=1；對于Z軸，k=3，ωi，n，k和ωi，d，k為濾波器的中心頻率，ξi，n，k和ξi，d，k為等效阻尼比，gi為濾波器的增益，一般取gi=針對被控系統(tǒng)，濾波器的中心頻率根據(jù)XZ軸頻率響應(yīng)函數(shù)中的諧振頻率獲得，而阻尼比則通過試錯法獲得，最終所設(shè)計的陷波濾波器參數(shù)如表2所示。

表2 陷波濾波器參數(shù)Tab.2 Parameters of notch filters

針對陷波修正后的系統(tǒng)，重新掃頻測試獲得的X軸和Z軸的頻率響應(yīng)函數(shù)分別如圖5（a）和5（b）所示。陷波補償后系統(tǒng)的高頻諧振得到明顯抑制，由于高頻諧振引起的相位突變也得到了很好的補償。采用三階模型對陷波后的X軸和Z軸進行系統(tǒng)辨識，所獲得的名義模型為：

圖5 系統(tǒng)陷波后的開環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)Fig.5 Open-loop frequency response function of triaxial FTS after notch filtering

圖5給出了所辨識名義模型頻率響應(yīng)函數(shù)，能夠很好地吻合實驗測試結(jié)果，表明經(jīng)過動力學(xué)改善后FTS各軸可近似描述為典型三階系統(tǒng)。

3.2 前饋解耦補償

前饋解耦補償?shù)幕驹硎亲屇骋惠S向的輸入對其他軸向輸出的傳遞函數(shù)為零，從而實現(xiàn)軸間運動的解耦［16］。由2.2節(jié)三軸FTS動力學(xué)分析可知，平面XY向電磁驅(qū)動軸間耦合遠大于Z向壓電驅(qū)動引起的耦合。為簡化控制系統(tǒng)，僅對平面強耦合運動進行解耦補償，其前饋解耦補償原理如圖6所示，其中，ud，i(s)(i=x，y)為解耦系統(tǒng)輸入，j(s)(j=x，y)為解耦系統(tǒng)輸出。

圖6 平面運動前饋解耦補償原理Fig.6 Principle for in-plane feed-forward decoupling

由圖6可知，要實現(xiàn)平面運動的解耦，需要ud，x(s)對y(s)的傳遞函數(shù)和ud，y(s)對x(s)的傳遞函數(shù)均為零，即：

求解可得：

為獲得Pxym(s)和Pyxm(s)，對經(jīng)陷波濾波補償后的平面XY兩軸進行掃頻測試，所獲得的軸間耦合頻率響應(yīng)函數(shù)如圖7所示?？紤]幅頻響應(yīng)特征，分別采用五階和七階傳遞函數(shù)進行耦合傳遞函數(shù)擬合，所辨識獲得的兩軸耦合傳遞函數(shù)Pxym(s)和Pyxm(s)為：

圖7 陷波補償后平面耦合頻域響應(yīng)函數(shù)Fig.7 Frequency response functions of in-plane couplings after notch filtering

由所辨識模型Pxym(s)和Pyxm(s)獲得的頻率響應(yīng)特性如圖7所示，均能很好地吻合實際測試結(jié)果。值得指出的是，根據(jù)辨識結(jié)果由式（8）求解獲得的解耦補償控制器階數(shù)較高，這會增加求解的復(fù)雜度并降低求解的穩(wěn)定性。為了簡化計算，在此采用靜態(tài)增益代替解耦補償控制器傳遞函數(shù)，以實現(xiàn)平面XY軸間的耦合補償，即：

對經(jīng)過解耦補償后的系統(tǒng)進行掃頻測試，重新獲得X軸和Y軸的軸間耦合頻率響應(yīng)函數(shù)，如圖7所示。與補償前相比，軸間耦合分別降低了約14 dB和15 dB，證明了所構(gòu)建的前饋解耦補償方法的有效性。與主運動相比，補償后X軸對Y軸的耦合約為-32 dB，Y軸對X軸的耦合約為-35 dB，從而將三軸運動視為相互獨立的三個單輸入單輸出系統(tǒng)。

3.3 動態(tài)遲滯補償

為補償法應(yīng)力電磁驅(qū)動和壓電驅(qū)動存在的動態(tài)遲滯非線性，這里提出采用陷波補償和解耦補償后的線性動力學(xué)模型級聯(lián)PI遲滯模型以描述系統(tǒng)的遲滯非線性，并構(gòu)建等效補償策略以提高三軸控制精度。

3.3.1 動態(tài)遲滯模型構(gòu)建

基于線性遲滯算子的PI模型可表示為［17］：

式中：hk(uk)為PI模型的輸出位移，uk為輸入電壓，pri，k(uk)和μi，k分別為第i個遲滯算子和其對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)，Ts為采樣周期，li，k和ri，k分別為第i個遲滯算子的左右閾值。為了兼顧遲滯模型精度和計算復(fù)雜度，取算子個數(shù)N=8。

為了提高模型精度，算子的閾值需根據(jù)輸入的變化而變化，為簡化計算，閾值取為［18］：

式中：cm，k為非對稱閾值修正系數(shù)，‖uk‖∞為控制電壓的最大值，對于平面XY軸，‖ux‖∞=‖uy‖∞=4，對于Z軸，‖uz‖∞=10。

對于PI模型與系統(tǒng)動力學(xué)模型級聯(lián)構(gòu)建的動態(tài)遲滯模型，其驅(qū)動電壓uk(t)與輸出位移zk(t)的關(guān)系為：

式中：*表示卷積運算，L-1{·}表示Laplace逆運算。

3.3.2 PI模型參數(shù)辨識

動態(tài)遲滯模型的辨識實際上就是求解遲滯算子權(quán)重μi，k和閾值修正系數(shù)cm，k，可轉(zhuǎn)換為以下函數(shù)最小化問題：

式中zk，d(tj)為與uk對應(yīng)的FTS實測位移。

選取頻率成分為1，10，20，50和100 Hz的諧波疊加信號作為三個軸的驅(qū)動電壓，各諧波分量的幅值隨機選取，用于辨識動態(tài)遲滯模型。選取典型遺傳算法求解式（15）中最小化問題，參數(shù)邊界根據(jù)經(jīng)驗選擇為［-2，2］，優(yōu)化后的參數(shù)結(jié)果如表3所示。同時，所辨識模型的輸出結(jié)果和實際測得的XYZ三向運動如圖8（a）、8（b）和8（c）所示，兩者表現(xiàn)出較好的一致性。由圖8可知，XY兩軸的模型誤差小于±0.6 μm，分別約為滿幅行程的±1.95%和±2.05%，Z軸的模型誤差小于±0.13 μm，約為滿幅行程的±1.73%，由此表明所辨識的模型能夠很好地描述三軸FTS的遲滯非線性特性。

表3 XYZ三軸的遲滯模型參數(shù)Tab.3 Parameters of hysteresis models for XYZ axes

圖8 動態(tài)遲滯模型的辨識結(jié)果Fig.8 Identification results of dynamic hysteresis model

為了驗證所辨識模型的準(zhǔn)確性，采用另一組頻率成分不同的諧波疊加信號作為各軸驅(qū)動，XYZ三軸模型的預(yù)測結(jié)果和實際測試位移分別如圖9（a）、9（b）和9（c）所示，X軸和Y軸的模型誤差小于±0.8 μm，分別約為滿幅行程的±2.14%和±2.17%，Z軸的模型誤差小于±0.2 μm，約為滿幅行程的±1.7%，進一步驗證了所構(gòu)建模型對不同驅(qū)動響應(yīng)描述的準(zhǔn)確性。

圖9 動態(tài)遲滯模型驗證結(jié)果Fig.9 Verification results of dynamic hysteresis model

值得指出的是，Z軸遲滯模型誤差均小于平面電磁驅(qū)動的遲滯模型。這是由于與壓電驅(qū)動相比，平面電磁驅(qū)動還存在鐵磁材料響應(yīng)非線性和漏磁非線性等多種復(fù)雜非線性因素，會影響建模精度。

3.3.3 遲滯前饋補償

為避免求解非線性PI遲滯模型的逆，在此采用文獻［19］中的近似方法求解等效遲滯逆補償模型，如圖10所示。假設(shè)對于任意k=x， y， z方向的期望軌跡Rk(t)，在任意相鄰兩個采樣時刻的遲滯模型輸出和控制電壓相等，即hk(uk(t))=hk(uk(t-Ts))，uk(t)=uk(t-Ts)。則式（16）可改寫為［19-20］：

圖10 動態(tài)遲滯等效逆補償模型Fig.10 Equivalent inversion-based hysteresis compensation

3.4 PID控制

采用經(jīng)典PID控制器作為FTS各軸運動的主控器，其傳遞函數(shù)可表示為：

式中：Kp，Ki，Kd和N分別為PID控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)以及濾波器系數(shù)。

基于各軸動力學(xué)和軸間耦合補償后的名義模型Pkm(s)，k=x，y，z，以開環(huán)控制系統(tǒng)相位裕度不小于45°為約束，以截止頻率盡可能大為目標(biāo)優(yōu)化獲得各軸的PID控制器參數(shù)，如表4所示。

表4 XYZ三軸PID控制器參數(shù)Tab.4 PID parameters for XYZ axes

4 軌跡跟蹤測試

4.1 基本跟蹤性能測試

為驗證軸間耦合補償和遲滯非線性補償?shù)挠行?，選取頻率從10 Hz線性變化到100 Hz的諧波掃頻信號作為期望軌跡。對于XY軸電磁驅(qū)動，期望軌跡的幅值為12 μm，而Z軸壓電驅(qū)動的期望軌跡幅值和偏置均為3.5 μm。為進行驗證比較，以PID迭加逆動力學(xué)前饋補償達到的軌跡跟蹤結(jié)果作為基準(zhǔn)（PID+FF），分別以PID迭加動態(tài)遲滯補償（PID+Hi-1）和PID迭加動態(tài)遲滯補償和解耦補償（PID+Hi-1+FD）的控制結(jié)果與之進行比較，以驗證補償策略的有效性。

采用三種控制策略的XYZ三軸軌跡跟蹤結(jié)果分別如圖11（a）、11（b）和11（c）所示，而三軸跟蹤誤差（實際位移與期望軌跡之間的差值）如圖11（d）、11（e）和11（f）所示。由圖 11可知，與單獨的逆動力學(xué)前饋補償相比，采用遲滯補償后XYZ三軸的軌跡跟蹤吻合度均有所提高，這也表現(xiàn)為該寬頻范圍內(nèi)跟蹤誤差的降低。進一步迭加軸間耦合補償后（PID+Hi-1+FD），平面XY軸的軌跡跟蹤誤差進一步降低。對于Z軸驅(qū)動，由于未進行耦合補償，軌跡跟蹤誤差變化不明顯，如圖11（f）所示。

圖11 復(fù)雜軌跡跟蹤測試Fig.11 Complex trajectory tracking results

進一步，采用相對最大跟蹤誤差em和均方根誤差erms量化表征軌跡跟蹤誤差，分別定義為：

式中：yd(t)為期望軌跡，ya(t)為實測軌跡，T為跟蹤軌跡的周期。

誤差統(tǒng)計結(jié)果如表5所示。由表5可知，X軸在進行動態(tài)遲滯補償和解耦補償后，最大軌跡跟蹤誤差em分別約為僅采用逆動力學(xué)補償和僅采用遲滯補償?shù)?6.7%和45.1%；Y軸在進行動態(tài)遲滯補償和解耦補償后，最大軌跡跟蹤誤差em分別約為僅采用逆動力學(xué)補償和僅采用遲滯補償?shù)?1.1%和53.2%；XY采用解耦補償對Z軸軌跡跟蹤的影響較小，采用遲滯補償后最大跟蹤誤差約為逆動力學(xué)補償系統(tǒng)誤差的52.2%。對于均方根誤差erms，各軸的軌跡跟蹤誤差變化規(guī)律與最大跟蹤誤差em近似一致，驗證了所采用綜合補償策略的有效性。

表5 不同控制系統(tǒng)的跟蹤誤差Tab.5 Tracking errors of different control systems

4.2 空間軌跡跟蹤

為了進一步驗證所設(shè)計系統(tǒng)的三軸聯(lián)動控制性能，對空間復(fù)雜螺旋球面軌跡進行了跟蹤測試，螺旋球面軌跡的各軸運動為：

對該軌跡的空間跟蹤結(jié)果和XYZ三軸跟蹤誤差分別如圖12（a）和圖12（b）所示，XYZ三軸的最大跟蹤誤差分別約為±0.63 μm，±0.60 μm和±0.012 μm，約為最大行程的±2.45%，±2.30%和±0.15%。結(jié)果表明，所設(shè)計的三軸控制系統(tǒng)能夠同步跟蹤空間復(fù)雜軌跡。

圖12 空間軌跡跟蹤Fig.12 Spatial trajectory tracking

5 結(jié) 論

本文針對三軸電磁-壓電混合驅(qū)動FTS的高性能軌跡跟蹤問題，采用陷波濾波器抑制系統(tǒng)的高頻諧振，以基于耦合模型的前饋解耦補償對XY平面并聯(lián)運動間的強耦合進行補償，使得補償后的平面XY軸間運動耦合比補償前分別降低了約14 dB和15 dB，最終X軸和Y軸獲得了比主運動分別小約32 dB和35 dB的低耦合量。針對動力學(xué)諧振抑制和解耦改善后的三軸被控系統(tǒng)，采用動力學(xué)模型級聯(lián)Prandtl-Ishlinskii模型對各軸動態(tài)遲滯進行描述，XY平面法應(yīng)力電磁驅(qū)動和Z軸壓電驅(qū)動的建模誤差分別小于±2.20%和±1.8%。

以PID控制為主控制器，對性能改善后的各軸進行軌跡跟蹤控制。基于動態(tài)遲滯逆模型構(gòu)建了無需求逆的前饋補償控制器，對系統(tǒng)非線性進行補償控制，并對寬頻諧波信號進行跟蹤測試。對比實驗結(jié)果表明，采用綜合補償策略獲得各軸的最大跟蹤誤差約為僅采用逆動力學(xué)前饋補償?shù)?5%至50%，最后對空間復(fù)雜軌跡進行了跟蹤測試，獲得的XYZ三軸跟蹤誤差分別約為最大行程的±2.45%，±2.30%和±0.15%，驗證了所設(shè)計的控制系統(tǒng)的有效性。